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3.2 简单的三角恒等变换(二)


3.2 简单的三角恒等变换(二) 结 合 右 图 体 会 公 式 的 推 导 过 程 tan 2? = 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 你能把下列各式化为一个角的三角函数形式吗? (1) 3 1 sin ? ? cos ? ; 2 2 ? ? ? ? cos sin ? ? sin cos ? ? sin(? ? ). 6 6 6 (2)sin ? ? cos ? ; 2 2 ? ? ? 2( sin ? ? cos ?) ? 2(cos sin ? ? sin cos ?) 2 2 4 4 ? ? 2 sin(? ? ). 4 那么 a sin x ? b cos x=? 1.通过三角恒等变换,把形如 y=a sin x ? b cos x 的 函数转化为形如 y ? A sin( x ? ? ) 的函数.(重点) 2.灵活利用公式,通过三角恒等变换,解决函数 的最值、周期、单调性等问题.(重点、难点) 3.灵活运用三角公式解决一些实际问题. 探究点1 a sin x ? b cos x的变形及应用 a ,sin ? ? b a sin x ? b cos x能化成一个角的三角函数值吗? 提示: 令 cos ? ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 a sin x ? b cos x a b 2 2 ? a ?b ( sin x ? cos x) a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? a 2 ? b 2 ? cos ? sin x ? sin ? cos x ? ? a 2 ? b 2 ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ? . 【即时练习】 ? π? 已知函数 f(x)=4 cos xsin?x+6 ?-1. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?- 6,4 ?上的最大值和最小值. ? ? ? π? 【解析】(1)因为 f(x)=4cos xsin?x+6 ?-1 ? ? ? 3 ? 1 =4cos x? sin x+ cos x?-1 2 ?2 ? = 3sin 2x+2cos2x-1 = 3sin 2x+cos 2x π? ? =2sin?2x+6 ?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x+ ≤ . 6 4 6 6 3 π π π 于是,当 2x+ = ,即 x= 时, 6 2 6 f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)取得 6 6 6 最小值-1. 例1 求函数 y ? sin x ? 3cos x 的周期,最大值和最 小值. 【解题关键】利用三角恒等变换,先把函数式化 简,再求相应的值. 【解析】y ? sin x ? 3 cos x 1 3 ? 2( sin x ? cos x) 2 2 ? ? ? 2(sin x cos ? cos x sin ) 3 3 ? ? 2sin(x ? ). 3 所以周期T = 2π,最大值为2,最小值为 - 2. 【方法规律】 通过三角恒等变换,我们把形如 y ? a sin x ? b cos x 的函数转化为形如 y ? Asin(?x ? ?) 的函数,从而 使问题得到简化. 【变式练习】 π 已知函数 f(x)=2sin ωx+2 3sinωxsin( - ωx)(ω>0)的 2 2 最小正周期

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