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课时跟踪训练55


课时跟踪训练(五十五)
一、选择题 1.袋中装有 6 个白球,5 个黄球,4 个红球,从中任取一球抽到白球的概率 为( ) 2 A.5 3 C.5 [解析] 4 B.15 D.非以上答案 从 15 个球中任取一球有 15 种抽法,抽到白球有 6 种,所以抽到白

6 2 球的概率 P=15=5.故选 A. [答案] A )

2.

在区间[-2,3]上随机抽取一个数 X,则 X≤1 的概率为( 4 A.5 2 C.5 [解析] 率 P= 3 B.5 1 D.5

在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1,即-2≤X≤1 的概

1-(-2) 3 = .故选 B. 3-(-2) 5 B

[答案]

3.(2016· 河北邯郸摸底)4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡 片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为偶数的概率是( 1 A.2 2 C.3 [解析] 1 B.3 3 D.4 从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,有 6 种取法,数字之和为偶数的有 )

2 1 两种取法,所以所求概率为 P=6=3,故选 B. [答案] B

4.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2

的概率是( 1 A.2 1 C.4 [解析]

) 1 B.3 1 D.6 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,

3),(2,4),(3,4),共 6 种情形.满足条件“2 个数之差的绝对值为 2”的有(1, 2 1 3),(2,4),共 2 种情形,所以取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率为6=3. 故选 B. [答案] B

5.(2015· 青岛二模 )在边长为 2 的正方形 ABCD 内任取一点 M,则满足 ∠AMB>90°的概率为( π A. 8 1 C.2 [解析] ) π B. 4 1 D.4 如图所示,以 AB 为直径作圆,则圆在正方形 ABCD 内的区域为半

1 1 圆(阴影部分),其面积 S=2×π×12=2π,且满足条件∠AMB>90°的点 M 在 1 2π π S 半圆内,故满足∠AMB>90°的概率 P= = 2 = 8 ,故选 A. S四边形ABCD 2

[答案]

A

6.(2015· 河北唐山摸底)高三毕业时,甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照 相留念,则甲、丙相邻的概率为( 1 A.3 1 C.2 [解析] ) 2 B.3 1 D.6 4 人排成一排,其中甲、乙相邻的情况有(甲乙丙丁)、(甲乙丁丙)、

(丙甲乙丁)、(丁甲乙丙)、(丙丁甲乙)、(丁丙甲乙)、(乙甲丙丁)、(乙甲丁丙)、(丙 乙甲丁)、(丁乙甲丙)、(丙丁乙甲)、(丁丙乙甲),共 12 种,其中甲、丙相邻的有 4 1 4 种,故概率为 P=12=3.故选 A. [答案] A

7.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则这 2 个点的距 离小于该正方形边长的概率为( 1 A.5 3 C.5 [解析] ) 2 B.5 4 D.5 如图所示,正方形 ABCD 的对角线的交点为 O,则从五个点中任取

两点,得线段分别为 AB,AD,AO,AC,BO,BD,BC,CO,CD,DO,共 10 条,其中 2 个点的距离小于该正方形的边长的有 AO,BO,CO,DO,共 4 条, 4 2 则 P=10=5,故选 B.

[答案]

B

8.(2016· 亳州质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M}, A 是集合 N 中任意一点, O 为坐标原点, 则直线 OA 与 y=x2+1 有交点的概率是 ( ) 1 A.2 1 C.4 [解析] 1 B.3 1 D.8 易知过点(0,0)与 y=x2+1 相切的直线为 y=2x(斜率小于 0 的无需

考虑),集合 N 中共有 16 个元素,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3), 4 1 (1,4),(2,4),共 4 个,故所求的概率为16=4.故选 C. [答案] C 9.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( )

1 A.18 1 C.6 [解析]

1 B.9 1 D.12 掷两颗骰子,点数有以下情况:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共 36 种,其中点数之和为 5 的有(1,4), 4 1 (2,3),(3,2),(4,1),共 4 种,故所求概率为36=9.故选 B. [答案] B

→ +PC → +2PA → =0, 10.(2015· 宝鸡质检)已知 P 是△ABC 所在平面内一点,PB 现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是( 1 A.4 1 C.2 1 B.3 2 D.3 )

[解析]

设 BC 中点为 M,

→ +PC → =2PM → ∴PB → +PC → +2PA → =0, ∵PB → =-PA →, ∴PM ∴P 为 AM 中点 S△PBC 1 PM 1 = ,∴ = , AM 2 S△ABC 2 1 ∴一粒黄豆随机撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 的概率是2,故选 C.

[答案] C 二、填空题 11.(2016· 福州质检)从 0,1,2,3 这四个数字中一次随机取两个数字,若 用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是 __________. [解析] 所有没有重复数字的两位数有 10,12,13,20,21,23,30,31,

32,共 9 个,其中所得两位数为偶数的有 10,12,20,30,32,共 5 个,所以 5 所求概率为9. 5 [答案] 9 12.(2015· 重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p,则方程 x2+2px+3p -2=0 有两个负根的概率为________. [解析]
2

设方程 x2+2px+3p-2=0 的两个根分别为 x1,x2,由题意,得

?Δ=4p -4(3p-2)≥0, 2 结合 0≤p≤5,解得3<p≤1 或 2<p≤5,所以所求概 ?x1+x2=-2p<0, ?x1x2=3p-2>0.
2? ? ?1-3?+(5-2) ? ? 2 率 P= = 5 3. 2 [答案] 3 13.甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面,并约定先到者应等候另 一人一刻钟,过时即可离去.则两人能会面的概率为________. [解析] 以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能

够会面的充要条件是|x-y|≤15.

在如图所示平面直角坐标系下, (x, y)的所有可能结果是边长为 60 的正方形 区域,而事件 A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示. 由几何概型的概率公式得:

2 2 SA 60 -45 P(A)= S = 602



3 600-2 025 7 =16. 3 600

7 所以两人能会面的概率是16. 7 [答案] 16 三、解答题 14.某校夏令营有 3 名男同学 A,B,C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情 况如下表:

一年级 男同学 女同学 A X

二年级 B Y

三年级 C Z

现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (1)用表中字母列举出所有可能的结果; (2)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同 学”,求事件 M 发生的概率. [解] (1)从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为{A, B},

{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C, X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共 15 种. (2)选出的 2 人来自在不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能 结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共 6 种. 6 2 因此,事件 M 发生的概率 P(M)=15=5. 15.在 3 件产品中,有 2 件正品,记为 a1,a2,有 1 件次品,记为 b1,从中 任取 2 件,每次取 1 件产品. (1)若每次取出后不放回,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)若每次取出后再放回,求两次取出的产品中恰有一次取次品的概率. [解] (1)取后不放回, 所有可能结果组成的基本事件为:(a1,a2),(a1,b1),

(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),取出的两件中,恰有一件次品的事件 A

4 2 包括:(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),所以 P(A)=6=3. (2)每次取后放回,所有可能结果为:(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1), (b1,a1),(b1,a2),(a1,a1),(a2,a2),(b1,b1),两件中恰好只有一件是次品的 4 事件 B 包括:(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),所以 P(B)=9. 16.为了解某校高三 3 月模考数学成绩的分布情况, 从该校参加考试的学习 成绩中抽取一个样本,并分成 5 组,绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第 一组至第五组数据的频率之比为 1∶2∶8∶6∶3,最后一组数据的频数是 6.

(1)估计该校高三学生 3 月模考数学成绩在[125,140]的概率,并求出样本容 量; (2)从样本成绩在[65,95)的学生中任选 2 人,求至少有 1 人成绩在[65,80) 的概率. [解] (1)估计该校高三学生 9 月调考数学成绩在[125,140]上的概率为 P=

3 3 6 3 = ,设样本容量为 n,则n=20,解得 n=40. 1+2+8+6+3 20 1 (2)样本中成绩在[65,80)上的学生有20×40=2 人,记为 x,y,成绩在[80, 2 95)上的学生有20×40=4 人,记为 a,b,c,d.从上述 6 人中任选 2 人的基本事 件有:{x,y},{x,a},{x,c},{x,d},{y,a},{y,b},{y,c},{y,d},{a, b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},共 15 个, 记“从上述 6 人中任选 2 人,至少有 1 人在[65,80)上”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件有:{x,y},{x,a},{x,b},{x,c},{x,d},{y,a},{y, b},{y,c},{y,d},共 9 个. 9 3 故所求概率 P(A)=15=5.


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