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2014高中数学联赛模拟试题(含答案)


2013 年全国高中数学联赛模拟试题(02)
第一试
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上. 1、设 f ( x) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) 是单调增函数,则满足 f ( x) ? f ( 的所有 x 之和为
2

x ?1 ) x?2

.

/>
2 、过抛物线 y ? 2 px( p >0) 的焦点 F 且斜率为

??? ? ??? ? AF ? ? FB(? ? 1) ,则 ? ?
n n

4 的直线交抛物线于 A, B 两点, 若 3

. (mod25).

3、已知数列 an ? 4 ? 6 ,那么 a2012 ?

4、在面积为 1 的正方形 ABCD 内任取一点 P,那么△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 的面 积均大于

1 的概率是 6
?

.

cos 97? ? sin 97? 5、适合方程 tan17 x ? 的最小正整数 x= cos 97? ? sin 97?



6、已知半球O的半径为R,它的内接长方体ABCD—A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面 上. 这个长方体所有棱长之和的最大值是 .

7、已知正实数 x、y、z 满足 x+y+z=1,若 x、y、z 中没有一个数大于另一个数的 2 倍,则乘 积 xyz 的最小值是 .

8、已知直线 x+y-2a+1=0 与圆 x2+y2=a2+2a-3 的交点为(x0,y0) ,当 x0y0 取最小值时,a = .

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9、(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)= (2-a)(x-1)-2lnx. (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的极值; (Ⅱ)若函数 f(x)在(0,

1 )上恒大于零,求实数 a 的最小值. 2

10、(本小题满分 20 分)
1

过抛物线 y ? 2 px ( p 为不等于 2 的素数)的焦点 F, 作与 x 轴不垂直的直线 l 交抛物线于 M、
2

N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 MN 于点 P,交 x 轴于点 Q. (1)求 PQ 中点 R 的轨迹 C 的方程; (2)证明:曲线 C 上有无穷多个整点,但 C 上任意整点到原点的距离均不是整数. 11、(本小题满分 20 分) 设函数 f(x) = log a

1 (a > 1) x

(1)已知数列:-1,f(a1),f(a2),…,f(an),n,( n = 1, 2, 3, … )是等差数列,试求数列{ an } 的通项公式 an . (2)设数列{ an }的前 n 项和为 S n,规定 S0 = 0,函数 g(x)满足下列条件: ① g(S0) = 0; ② g(Sn) = an , ( n = 1, 2, 3, … ); ③ 当 x ∈( Si , Si+1 ) 时 ( i = 1, 2, 3, … ) ,函数 g(x)的图象是联结两点 Pi( Si ,

g(Si))与 Pi+1(Si+1 , g(Si+1))的线段, 求函数 g(x)的定义域. (3)设(2)中函数 g(x)的图象与 x 轴及直线 x = Si ( n = 1, 2, 3, … )所围成的图形的面积 为 An,求 An 及 lim An .
n ??

2

第二试
一、(本小题满分 40 分) 已知△ABC 的内切圆⊙I 把中线 AM 三等分,求证:△ABC 的三边之比为 5:10:13.

二、(本小题满分 40 分)

求所有的正整数 x、y、z,使得

11 ? x? y

11 ? y?z

11 是整数. z?x

三、(本小题满分 50 分) 已知集合 E ? {1, 2,3, ?, 2 n} , F ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } ? E (n 是正偶数),且集合 F 满足: 对任何 1 ? i ? j ? 2n ,都有 ai ? a j ? 2n ? 1 ;设

?a
i ?1

n

i

?M ,试证明:当 M 是 4 的倍数时,

集合 F 中奇数的个数也是 4 的倍数,且集合 F 中所有数的平方和为定值.

四、(本小题满分50分) 在13 × 13 的正方形方格表中,选择k个小方格的中心,使其中任意4点不是一个矩形(其边 与原正方形的边平行)的顶点.求满足上述要求的k的最大值.

3

2013 年全国高中数学联赛模拟试题(02)参考答案: 第一试 一、填空题: 1、-4.

x ?1 x ?1 ) ,即 x ? 时,得x 2 ? x ? 1 ? 0.此时x1 ? x2 ? ?1, 又 f ( x) 为连 x?2 x?2 x ?1 x ?1 续 的偶 函数, 故另一 种情 形为 f (? x) ? f ( ) ,即 ? x ? , 得 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 , x?2 x?2
解:当 f ( x) ? f (

? x3 ? x4 ? ?3,?所求的所有的 x 之和为-4.
2、 4; 5、46 解:∵ 3、2; 4、

1 ; 9

cos 97? ? sin 97? tan 45? ? tan 97? ? ? tan142? , cos 97? ? sin 97? 1 ? tan 45? tan 97?

∴ 17 x ? 142 ? 180k (k ? N ) , 故 x?

142 ? 180k 10k ? 6 . ? 10k ? 8 ? 17 17

∴ 17|10k+6,于是 kmin ? 13 ,进而 x ? 10 ? 3 ? 8 ? 6、12R.

10 ?13 ? 6 ? 46 . 17
a 2 ? b2 ? c2 ? R2 , 4

解:设AB = a,AD = b,AA1 = c ,联结OA1 ,在Rt △A1AO 中,

b2 a2 5a 2 5b 2 2 2 ? ? 8c 2 于是 2ab ? 2bc ? 2ca ? (a ? b ) ? ( ? 4c ) ? (4c ? ) ? 4 4 4 4
2 2

上式两边同时加上a2 + b2 + c2 ,得 (a ? b ? c) ? 9(
2

a 2 ? b2 ? c2 ) 4



(a ? b ? c)2 ? 9 R 2 ,所以, a + b + c ≤3 R.

当且仅当 a ? b ? 4c ?

4R 时,上式等号成立. 3

故长方体所有棱长之和的最大值为 12 R. 7、

1 32

解:设 m=x0y0z0 是乘积的最小值,不妨设 x0≤y0≤z0;再设 x1= x0-t,z1= z0+t,其中 t>0 且充分
4

小,以使 z1≤2x1;于是,x1、y0、z1 也满足题意, 因此 x1y0z1=( x0-t) y0 ( z0+t)= x0y0z0+ y0 [t(x0-z0)-t2]< x0y0z0, 由 x0y0z0 最小性知,上式不成立. 所以 z0=2x0;由题设得 y0=1- x0-2x0=1- 3x0;进而 m ? 2x0 (1 ? 3x0 ) ,
2

由 x0 ? 1 ? 3x0 ? 2 x0 得

1 1 ? x0 ? ; 5 4
2

问题转化为求 f ( x) ? 2 x (1 ? 3x) 在 [ , ] 上的最小值,利用求导可得 f ( x)min ? 8、 2 ?

1 1 5 4

1 . 32

2 2
2 2 2 2 2

解:由不等式 ( x ? y ) ? 2( x ? y ) 得 (2a ? 1) ? 2(a ? 2a ? 3) ,即 2a ? 8a ? 7 ? 0 ,
2

解得 2 ? 又 x0 y0 ? 当a ? 2?

2 2 ? a ? 2? ,当 x=y 时,a 可以取到端点. 2 2

1 1 3 1 2 2 [( x0 ? y0 )2 ? ( x0 ? y0 )] ? (3a 2 ? 6a ? 4) ? (a ? 1) 2 ? , 2 2 2 2
2 3? 2 2 ) 时,x0y0 取最小值 ( 2 2

二、解答题 9、解:(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=x-1-2lnx,则 f′(x)=1由 f′(x)>0,得 x>2;由 f′(x)<0,得 0<x<2. ∴f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). ∴f(x)有极小值 f(2)=1-2ln2,无极大值. (Ⅱ)要对任意的 x?(0,

2 . x

1 1 2 ln x ),f(x)>0 恒成立,即对 x?(0, ),a>2恒成立. 2 2 x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2ln x 2ln x ? ? 2 2 ln x 1 x 令 g(x)=2,x?(0, ),g′(x)=- x , ? x ?1 2 ( x ? 1)2 ( x ? 1) 2
再令 h(x)=2lnx+

2 1 2 2 ?2(1 ? x) -2,x?(0, ),h′(x)= ? 2 ? ? <0, x 2 x x x2

5

1 1 )上为减函数,于是 h(x)>h( )=2-2ln2>0. 2 2 1 从而,g′(x)>0,于是 g(x)在(0, )上为增函数, 2 1 2 ln x ∴g(x)<g( )=2-4ln2.故要使 a>2恒成立,只要 a≥2-4ln2. 2 x ?1 1 综上,若函数 f(x)在(0, )上恒大于零,则 a 的最小值为 2-4ln2. 2 p p 2 10、解:(1)抛物线 y ? 2 px 的焦点为 ( , 0) ,设 l 的直线方程为 y ? k ( x ? ) (k ? 0) . 2 2
故 h(x)在(0,

? y 2 ? 2 px 1 2 2 ? 2 2 2 由? p 得 k x ? ( pk ? 2 p) x ? p k ? 0 , 4 ? y ? k(x ? ) ? 2
设 M、N 的横坐标分别为 x1、x2 ; 则 x1 ? x2 ?

x1 ? x2 pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p pk 2 ? 2 p p p ,得 ; x ? ? y ? k ( ? )? , P P 2 2 2 k 2 2k 2k 2 k

p 1 pk 2 ? 2 p 1 ∵ PQ ? l ,∴ PQ 的斜率为 ? ,PQ 的方程为 y ? ? ? ( x ? ). k k 2k 2 k
由 yQ ? 0 得 xQ ? p ?

pk 2 ? 2 p 3 pk 2 ? 2 p . ? 2k 2 2k 2

1 p ? x ? ( xP ? xQ ) ? p ? 2 ? ? 2 k 设动点 R 的坐标 ( x, y ) ,则 ? ; ?y ? 1 (y ? y ) ? p P Q ? 2 2k ?
因此 p( x ? p) ?

p2 ? 4 y 2 ( y ? 0) , 2 k
2

故 PQ 中点 R 的轨迹 L 的方程为 4 y ? p( x ? p)( y ? 0) . (2)显然对任意非零整数 t ,点 ( p(4t ? 1), pt ) 都是曲线 C 上的整点,所以 C 上有无穷多个
2

整点. 假设 C 上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数 m,不妨认为 x ? 0, y ? 0, m ? 0 ,

? x2 ? y 2 ? m2 ① ? 则? 2 , ? ?4 y ? p( x ? p) ②

6

因为 p 是奇素数,于是 p y ,进而 p x ,再由①知 p m ;
2 2 2 ? ? x1 ? y1 ? m1 ③ 令 x ? px1 , y ? py1 , m ? pm1 ,则有 ? , 2 ④ ? ? 4 y1 ? x1 ? 1

由③、④得 x12 ?

x1 ? 1 ? m12 , 于是 (8 x1 ? 1)2 ? (8m1 )2 ? 17 , 4

即 (8 x1 ? 1 ? 8m1 )(8 x1 ? 1 ? 8m1 ) ? 17 , 所以 8 x1 ? 1 ? 8m1 ? 17 ; 8 x1 ? 1 ? 8m1 ? 1 , 得 x1 ? m1 ? 1 ,故 y1 ? 0 ,有 y ? py1 ? 0 , 但 C 上的点满足 y ? 0 ,矛盾! 因此,C 上任意点到原点的距离不为整数. 11、解: (1)设所给等差数列的公差为 d,则 d = ∴ f(an) = (-1) + [(n+1) – 1 ]d = -1 + n 即

n ? ( ?1) =1 ( n ? 2) ? 1

log a

1 ? ?1 ? n an

(a > 1)



an = a 1-n (n ∈ N).

(2)根据题意,函数 g(x)的定义域应为 : { S0}∪ ?S 0,S1 ? ∪ ?S1,S 2 ?∪……∪ ?S n ?1,S n ? ∪…… ∵a > 1 ∴ ∴ ∴ an > 0,且由(1)知,an = a 1-n = 1· a –(n-1)

{ an }是首项为 1,公比为

1 的等比数列; a a 1 l i mS n = = , n ?? 1 a ? 1 1? a
a ? ? ?. ? a ?1?
y P1 · O S0



g(x)的定义域是: ?0,

(3) 由(1)知,{ an }是首项为 1,公比为

1 的等比数列; a

∵ S0 = 0 , S1 = a1 = 1 , ∴ P1(1,1).

P2 · S2

P3 · S3

x

S1

7

1 n 1? ( ) an ?1 a ∴ Sn = = n , 1 a ? a n ?1 1? a
又两点 Pi、Pi+1 ( i = 1, 2, 3, … )所确定的直线的斜率 为:

y P1 · O S0

P2 · S2

P3 · S3

x

k Pi Pi ?1 =

g ( S i ?1 ) ? g ( S i ) S i ?1 ? S i

S1

=

a i ?1 ? a i ai =1 = 1 – a ( i = 1, 2, 3, … ) a i ?1 a i ?1

可见, k P P 与 i 无关,所以,所有点 Pi( i = 1, 2, 3, … )都共线,而 A1 就是 Rt△OS1P1 的
i i ?1

面积.



A1 =

1 1 · 1· 1= ; 2 2

当 n ≥ 2 时,An 是一个直角三角形(即 A1)与一个梯形面积之和, ∴ An = A 1 +

1 [ g(S1) + g(Sn) ]( Sn - S1 ) 2

=

an ?1 1 1 + (a1 + an )[ n -1] 2 2 a ? a n ?1

=

1 1 a 2n?2 ? 1 + ; 2 a ? 1) 2 2 a 2 n ?( 1 1 a 2n?2 ? 1 + · ] 2 a ? 1) 2 2 a 2 n ?(
(a > 1)



l i mAn = lim [
n ?? n ??

1 1 1 + 2 2 a ?1 a = . ( 2 a ?1 )
=

8

第二试 一、证明:如图,设△ABC 的内切圆⊙I 切三边于 D、E、F,AM 交⊙I 于 P、Q,连 IA、 IM、IC、IE、IP.作 IN⊥PQ 于 N,则 PN=QN, 又 AP=MQ, 则 AN=NM, 有 IA=IM, ∠ACI=∠MCI, A 在△ACI 与△MCI 中,
P D E C I N Q M F

B

CI IA IM CI ; ? ? ? sin ?CAI sin ?ACI sin ?MCI sin ?CMI
则 sin ?CAI ? sin ?CMI ; 又 ∠CAI+∠CMI≠180° ,所以∠CAI=∠CMI,△ACI≌△MCI,CA=CM,且 C、I、N 共 线;不妨设 CA=CM=1,AB=x,IE=IP= r, 则 BC=2,CE=

1 3? x , AM ? 2x2 ? 2 ; 2 2
IE AN ,即 ? IC AC
r 3? x 2 r2 ? ( ) 2 1 2 x2 ? 2 , ?4 1

由△CAN∽△CIE 得

所以 r ?
2

( x 2 ? 1)(3 ? x)2 ; 4(9 ? x 2 ) ( 3? x 2 2 1 1 ) ? r ? r2 ? ( 2 x 2 ? 2) 2 ? 1 ? ( 2 x 2 ? 2) 2 ; 2 12 4

而 CI+IN=CN,即

把 r2 的值代入并化简得

2 9 ? x2 ?
2

1 1 (3 ? x)( x 2 ? 1)(51 ? 19 x) ? (3 ? x)2 (9 ? x 2 ) , 6 2
2 2

即 (9 ? x )(9 ? 3x ? 12) ? (3 ? x)( x ? 1)(51 ? 19 x) , 整理 2( x ? 3) ( x ? 1)(5 x ? 13) ? 0 ,
2

解得 x1=-3(舍) ,x2=1(舍) ,x3= 故 AC:CB:AB=1:2:

13 ; 5

13 = 5:10:13. 5

二、解:先证一个引理,
9

引理:若 p、q、r 是有理数,且 S ? 是有理数.

p ? q ? r 也是有理数,则 p 、 q 、 r 都

引理的证明:注意到 S ( p ? q ) ? ( S ? r ) ,
2 2

得 2 pq ? S ? r ? p ? q ? 2S r ,
2

2 设 M ? S ? r ? p ? q ? 0 ,则 2 pq ? M ? 2S r ,两边平方得

4 pq ? M 2 ? 4S 2 r ? 4M r ,所以 r ?
同理, q 、 r 也是有理数. 下面证明原题,

M 2 ? 4S 2 r ? 4 pq 是有理数, 4MS

假设 x、y、z 是满足条件的正整数,又

11 ? x? y

11 ? y?z

11 是整数, z?x

由引理知

11 、 x? y

11 11 、 是有理数, y?z z?x 11 a 11 a ? , ? , y?z c z?x d
2



11 a ? ,且(a,)=1, x? y b
2 2

则 11b ? ( x ? y)a , 因此 a |11 ,所以 a =1, 从而 x + y =11b2 ① 同理 y + z =11c2 ② z + x=11d2 ③

11 2 ? 2 2 ? x ? 2 (b ? d ? c ) ? 11 2 2 ? 2 ①,②,③式联立,可解得 ? y ? (b ? c ? d ) 2 ? ? 11 2 2 2 ? z ? 2 (c ? d ? b ) ?
由于

1 1 1 ? ? 是不大于 3 的正整数,可分一下三种情况讨论: a b c

10

1 1 1 ? ? ? 3 ,则 b=c=d=1,代入④式,x、y、z 没有正整数解; a b c 1 1 1 (2)若 ? ? ? 2 ,则 b、c、d 中必有一个等于 1,另外两个等于 2,此时亦不存 a b c
(1)若 在满足条件的 x、y、z;

1 1 1 ? ? ? 1 ,不妨设 b ? c ? d ? 1 , a b c 3 1 1 1 则 ? ? ? ,所以 d =2 或 d =3; d b c d
(3)若 (i)当 d =3 时,b=c=3,此时不存在满足条件的 x、y、z; (ii)当 d =2 时, c>2,且

2 1 1 1 ? ? ? ,所以 c =3 或 c =4; c b c 2

a) 若 c =3,则 b =6,此时不存在满足条件的 x、y、z; b) 若 c =4,则 b =4,代入④式可得

? x ? 22 ? ? y ? 154 ? z ? 22 ?
所以, x、y、z 中一个是 154,另外两个都是 22 满足条件. 三、 证明: 注意到 2n ? 1 ? (2n ? 1) ? 2 ? (2n ? 2) ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n , 而 ai ? a j ? 2n ? 1 , 所以可将集合 E 划分为 n 个子集: {1, 2n}、 {2, 2n ?1}、 {3, 2n ? 2}、 ?、 {n, n ? 1} , 那么,集合 F 的元素只能在这 n 个子集中各取 1 个; 为了方便确定 F 中奇数的个数,再将这 n 个子集分成两类: 一类是:每个子集中,偶数是 4k 型,奇数是 4k+1 型的; 另一类是:每个子集中,偶数是 4k+2 型,奇数是 4k+3 型的; 设集合 F 的 n 个元素中 4k+1 型的奇数有 x 个,4k+3 型的奇数有 y 个, 则集合 F 中 4k 型的偶数有 n-x 个,4k+2 型的偶数有 n-y 个, 于是 F 奇数个数共有 x ? y 个, 由 x ? y ? (4k ? 1) x ? 4k (n ? x) ? (4k ? 3) y ? (4k ? 2)(n ? y)

? ? ai ?M ? 0(mod 4) 知,4| ( x ? y) .
i ?1

n

再证明集合 F 中所有数的平方和为定值.
11

设有两个符合条件的不同的集合:

F1 ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 和 F2 ? {b1 , b2 , b3 ,?, bn } ,
若 F1 ? F2 中有 n-k 个元素,其和为 m, 则 F1 ? F2 关于 F1 的补集有 k 个元素,从小到大排成 ai1 ? ai2 ? ? ? aik ;

F1 ? F2 关于 F2 的补集也有 k 个元素,从大到小排成 bi1 ? bi2 ? ? ? bik ;
于是应有 ai1 ? bi1 ? ai2 ? bi2 ? ? ? aik ? bik ? 2n ? 1, 所以

? ai2 ? ? bi2 ?(2n ? 1)(? ai j ? ? bi j ) ? (2n ? 1)[(? ai j ? m) ? (? bi j ? m)]
i ?1 i ?1 j ?1 j ?1 j ?1 j ?1

n

n

k

k

k

k

? (2n ? 1)(M ? M ) ? 0


? ai2 ? ? bi2 ,所以,集合 F 中所有数的平方和为定值.
i ?1 i ?1

n

n

四、解:设第i列中有xi个点( i = 1 ,2 , …,13) ,则 点对(若xi < 2 ,则规定 Cxi ? 0 );
2

?x
i ?1

13

i

? k ,第i列的xi个点构成 C x2i 个不同

若在13 × 13 的正方形边再加一列,将每个点对投影到这一列上,由于任4个不同点不是 矩形的顶点,故不同点对在新画出的一列上的投影点对是不同的,而新画出的一列上共有
2 2 2 C13 个不同点对,从而得到 ? C xi ? C13 ,即

13

i ?1

? xi ( xi ? 1) ? 13 ?12 ,亦即 ? xi2 ? 156 ? k ,
i ?1

13

13

i ?1



?x
i ?1

13

2 i

?

1 13 k2 (? xi ) 2 ? , 13 i ?1 13



k 2 ? 13k ? 13 ?156 ? 0 ,解得 ?39 ? k ? 52 ,

当 k = 52 时,可以构造出一个符合条件的图(如图),所以 k 的最大值为 52.

12

13


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