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第一章 解三角形 章末检测(A)(人教A版必修5)


第一章

章末检测(A)
5 b,A= 2

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.△ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a= 2B,则 cos B 等于( ) 5 5 A. B. 3 4 答案 B 解析 5 5 5 6

C.

D.

a sin A 由正弦定理得b= , sin B 5 sin A 5 ∴a= b 可化为 = . 2 sin B 2 sin 2B 5 5 又 A=2B,∴ = ,∴cos B= . sin B 2 4

→ 等于( 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10 ,则 BA · AC ) 3 2 2 3 A.- B.- C. D. 2 3 3 2 答案 A 解析 由余弦定理得 AB2+AC2-BC2 9+4-10 1 cos A= = = . 2AB· AC 12 4 1 3 → =|AB → |· → |· ∴ AB · AC |AC cos A=3×2× = . 4 2 → =-AB →· → =-3. ∴ BA · AC AC 2 3.在△ABC 中,已知 a= 5,b= 15,A=30° ,则 c 等于( ) A.2 5 B. 5 C.2 5或 5 D.以上都不对 答案 C 解析 ∵a2=b2+c2-2bccos A, 3 ∴5=15+c2-2 15×c× . 2 化简得:c2-3 5c+10=0,即(c-2 5)(c- 5)=0, ∴c=2 5或 c= 5. 4.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是( ) A.a=8,b=16,A=30° ,有两解 B.b=18,c=20,B=60° ,有一解 C.a=5,c=2,A=90° ,无解 D.a=30,b=25,A=150° ,有一解 答案 D a b 解析 A 中,因 = , sin A sin B

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16×sin 30° =1,∴B=90° ,即只有一解; 8 20sin 60° 5 3 B 中,sin C= = , 18 9 且 c>b,∴C>B,故有两解;C 中, ∵A=90° ,a=5,c=2, 2 ∴b= a -c2= 25-4= 21, 即有解,故 A、B、C 都不正确. 1 5.△ABC 的两边长分别为 2,3,其夹角的余弦值为 ,则其外接圆的半径为 3 ( ) 9 2 9 2 A. B. 2 4 9 2 C. D. 9 2 8 答案 C 解析 设另一条边为 x, 1 则 x2=22+32-2×2×3× , 3 1 2 2 ∴x2=9,∴x=3.设 cos θ= ,则 sin θ= . 3 3 3 3 9 2 9 2 ∴2R= = = , R= . sin θ 2 2 4 8 3 A b+c 6.在△ABC 中,cos2 = (a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边),则△ 2 2c ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 答案 A A b+c b 解析 由 cos2 = ?cos A=c , 2 2c b2+c2-a2 又 cos A= , 2bc ∴b2+c2-a2=2b2?a2+b2=c2,故选 A. 7.已知△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a=c= 6+ 2,且 A=75° ,则 b 等于( ) A.2 B. 6- 2 C.4-2 3 D.4+2 3 答案 A 6+ 2 解析 sin A=sin 75° =sin(30° +45° )= , 4 所以 sin B=
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1 由 a=c 知,C=75° ,B=30° .sin B= . 2 6+ 2 b a 由正弦定理: = = =4. sin B sin A 6+ 2 4 ∴b=4sin B=2. 7 8.在△ABC 中,已知 b2-bc-2c2=0,a= 6,cos A= ,则△ABC 的面 8 积 S 为( ) 15 8 15 A. B. 15 C. D.6 3 2 5 答案 A 解析 由 b2-bc-2c2=0 可得(b+c)(b-2c)=0. ∴b=2c,在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A, 7 即 6=4c2+c2-4c2·. 8 1 1 15 ?7? ∴c=2,从而 b=4.∴S△ABC= bcsin A= ×2×4× 1-?8?2= . 2 2 ? ? 2 9. 在△ABC 中, AB=7, AC=6, M 是 BC 的中点, AM=4, 则 BC 等于( ) A. 21 B. 106 C. 69 D. 154 答案 B a 解析 设 BC=a,则 BM=MC= . 2 2 2 2 在△ABM 中,AB =BM +AM -2BM· AM· cos∠AMB, 1 a 即 72= a2+42-2× ×4· cos∠AMB ① 4 2 在△ACM 中,AC2=AM 2+CM 2-2AM· CM· cos∠AMC 1 a 即 62=42+ a2+2×4× · cos∠AMB ② 4 2 1 ①+②得:72+62=42+42+ a2,∴a= 106. 2 sin A cos B cos C 10.若 a = b = c ,则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.有一内角是 30° 的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一内角是 30° 的等腰三角形 答案 C sin A cos B 解析 ∵ a = b ,∴acos B=bsin A, ∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0. ∴cos B=sin B,∴B=45° .同理 C=45° ,故 A=90° . 11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B = 3ac,则角 B 的值为( )
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π π B. 6 3 π 5π π 2π C. 或 D. 或 6 6 3 3 答案 D 解析 ∵(a2+c2-b2)tan B= 3ac, a2+c2-b2 3 ∴ · tan B= , 2ac 2 3 即 cos B· tan B=sin B= . 2 π 2π ∵0<B<π,∴角 B 的值为 或 . 3 3 π 12.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为( ) 3 π? π? ? ? A.4 3sin?B+3?+3 B.4 3sin?B+6 ?+3 ? ? ? ? π π ? ? ? ? C.6sin?B+3?+3 D.6sin?B+6?+3 ? ? ? ? 答案 D π BC AC AB 解析 A= ,BC=3,设周长为 x,由正弦定理知 = = =2R, 3 sin A sin B sin C AB+BC+AC BC 由合分比定理知 = , sin A sin A+sin B+sin C 3 x 即 = . 3 3 +sin B+sin C 2 2 ? 3 ? ∴2 3? +sin B+sin?A+B??=x, ?2 ? π? ? ? ? 即 x=3+2 3?sin B+sin?B+3 ?? ? ? ?? π π? ? =3+2 3?sin B+sin Bcos3+cos Bsin 3 ? ? ? ? ? 1 3 =3+2 3?sin B+ sin B+ cos B? 2 2 ? ? ?3 ? 3 =3+2 3? sin B+ cos B? 2 ?2 ? ? 3 ? 1 =3+6? sin B+ cos B? 2 ?2 ? π ? ? =3+6sin?B+6 ?. ? ? 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 2a b c 13.在△ABC 中, - - =________. sin A sin B sin C 答案 0 14.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a2+c2-b2= 3ac, 则角 B A.
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的值为________. π 答案 6 解析 ∵a2+c2-b2= 3ac, a2+c2-b2 3ac 3 π ∴cos B= = = ,∴B= . 2ac 2ac 2 6 15.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边.若 a=1, b= 3, A+C=2B,则 sin C=________. 答案 1 解析 在△ABC 中,A+B+C=π,A+C=2B. π ∴ B= . 3 asin B 1 由正弦定理知,sin A= b = . 2 又 a<b. π π ∴A= ,C= . 6 2 ∴sin C=1. 16.钝角三角形的三边为 a,a+1,a+2,其最大角不超过 120° ,则 a 的取 值范围是________. 3 答案 ≤a<3 2 a+?a+1?>a+2 ? ?a2+?a+1?2-?a+2?2<0 由? 2 a +?a+1?2-?a+2?2 1 ? ≥- 2 2a?a+1? ?

解析

.

3 解得 ≤a<3. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(10 分)如图所示,我艇在 A 处发现一走私船在方位角 45° 且距离为 12 海里的 B 处正以每小时 10 海里的速度向方位角 105° 的方向逃窜,我艇立即以 14 海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间.

解 设我艇追上走私船所需时间为 t 小时,则 BC=10t,AC=14t,在△ABC 中, 由∠ABC=180° +45° -105° =120° , 根据余弦定理知: (14t)2=(10t)2+122-2· 12· 10tcos 120° , ∴t=2. 答 我艇追上走私船所需的时间为 2 小时.
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18.(12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边长分别是 a、b、c,且 cos A 4 = . 5 B+ C +cos 2A 的值; 2 (2)若 b=2,△ABC 的面积 S=3,求 a. B+ C 1-cos?B+C? 1+cos A 解 (1)sin2 +cos 2A= +cos 2A= +2cos2 A-1 2 2 2 (1)求 sin2 59 = . 50 4 3 (2)∵cos A= ,∴sin A= . 5 5 1 1 3 由 S△ABC= bcsin A,得 3= ×2c× ,解得 c=5. 2 2 5 2 2 2 由余弦定理 a =b +c -2bccos A,可得 4 a2=4+25-2×2×5× =13,∴a= 13. 5 19.(12 分)如图所示,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形, ∠ACB=90° ,BD 交 AC 于 E,AB=2.

(1)求 cos∠CBE 的值; (2)求 AE. 解 (1)∵∠BCD=90° +60° =150° ,CB=AC=CD, ∴∠CBE=15° . 6+ 2 ∴cos∠CBE=cos(45° -30° )= . 4 (2)在△ABE 中,AB=2, AE AB 由正弦定理得 = , sin∠ABE sin∠AEB AE 2 即 = , sin?45° -15° ? sin?90° +15° ? 1 2× 2 2sin 30° 故 AE= = = 6- 2. cos 15° 6+ 2 4 20.(12 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 3 a=2,cos B= . 5 (1)若 b=4,求 sin A 的值; (2)若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值. 3 解 (1)∵cos B= >0,且 0<B<π, 5 4 ∴sin B= 1-cos2B= . 5
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a b = , sin A sin B 4 2× 5 2 asin B sin A= b = = . 4 5 1 1 4 (2)∵S△ABC= acsin B=4,∴ ×2×c× =4, 2 2 5 ∴c=5. 由正弦定理得 3 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=22+52-2×2×5× =17,∴b= 17. 5 21.(12 分)(2010· 辽宁)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C. (1)求 A 的大小; (2)若 sin B+sin C=1,试判断△ABC 的形状. 解 (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 1 故 cos A=- ,A=120° . 2 (2)方法一 由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C, 3 又 A=120° ,∴sin2B+sin2C+sin Bsin C= , 4 ∵sin B+sin C=1,∴sin C=1-sin B. 3 ∴sin2B+(1-sin B)2+sin B(1-sin B)= , 4 1 即 sin2B-sin B+ =0. 4 1 1 解得 sin B= .故 sin C= . 2 2 ∴B=C=30° . 所以,△ABC 是等腰的钝角三角形. 方法二 由(1)A=120° ,∴B+C=60° , 则 C=60° -B, ∴sin B+sin C=sin B+sin(60° - B) 3 1 =sin B+ cos B- sin B 2 2 1 3 = sin B+ cos B 2 2 =sin(B+60° ) =1, ∴B=30° ,C=30° . ∴△ABC 是等腰的钝角三角形. 22.(14 分)已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m =(a,b), n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形;
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π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 (1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B, a b 即 a· =b· , 2R 2R 其中 R 是△ABC 外接圆半径,∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)解 由题意知 m· p=0, 即 a(b-2)+b(a-2)=0. ∴a+b=ab. 由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 即(ab)2-3ab-4=0. ∴ab=4(舍去 ab=-1), 1 1 π ∴S△ABC= absin C= ×4×sin = 3. 2 2 3

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