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对数函数图像及性质


高一数学必修1课件

复习对数的概念 1) 定义: 一般地,如果 a(a > 0, a ≠
的b次幂等于N, 就是

a =N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N = b a叫做对数的底数,N叫做真数。

由前面的学习我们

知道:如果有一种细胞分裂时, 由1个分裂成2个,2个分裂成4个,· · ·,1个这样的 细胞分裂x次会得到多少个细胞?

y=2

x

如果知道了细胞的个数y,如何确定分裂的次 数x呢? 由对数式与指数式的互化可知:

x ? log2 y
上式可以看作以y为自变量的函数表达式

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:对数函数

一、对数函数的概念

一般地,函数y = loga x (a>0,且 a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是( 0 , +∞)值域 R
判断:以下函数是对数函数的是 ( D )
A. y=log2(3x-2) B. y=log(x-1)x

C. y=log1/3x2

D. y=lnx

二、对数函数的图象
用描点法画出对数函数

y = log 2 x和y = log 1 x的图象。
2

作图步骤:

①列表, ②描点, ③连线。

二、对数函数的图象和性质
文件名

求下列复合函数的定义域:
(1) y = loga x 2
1 (3) y = log 7 x- 1

(2) y = loga (4 - x)

1 (4) y = log 3 x

(1){x|x≠0}

(2){x|x<4} (3){x|x>1} (4){x|x>0且x≠1}

定点问题

1.函数f ( x) ? loga (3 x ? 2) ? 2 (a ? 0且a ? 1)的图象
(1,2) 。 恒过定点_________

2.函数f ( x) ? log3 ( 2x - 1 ) ? n恒过定点( 2, -1 ), 则n ? -2

? ?

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

解法1:画图找点比高低 解法2:利用对数函数的单调性 y = log2 x 考察函数y=log 2 x , y log28.5 ∵a=2 > 1, log23.4 ∴函数在区间(0,+∞) 上是增函数;
0 1 3.4 8.5

x

∵3.4<8.5

∴ log23.4< log28.5

∴ log23.4< log28.5

? ?

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

(2)解法1:画图找点比高低 解法2:考察函数y=log 0.3 x ,

∵a=0.3< 1,
∴函数在区间(0,+∞)上是减函数;

∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
小结

? ?

比较下列各组中,两个值的大小: (1) log23.4与 log28.5 (2) log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7

比较两个同底对数值的大小时: 1.观察底数是大于1还是小于1( a>1时为增函数



2.比较真数值的大小; 3.根据单调性得出结果。

0<a<1时为减函数)

比较下列各组中,两个值的大小: ?(3) loga5.1与 loga5.9

解: ①若a>1则函数在区间(0,+∞)上是增函数;
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9 ②若0<a<1则函数在区间(0,+∞)上是减函 数; ∵5.1<5.9

∴ loga5.1 > loga5.9
注意:若底数不确定,那就要对底数进行分类讨论

即0<a<1 和 a > 1

你能口答吗?

变一变还能口答吗?

log10 6     < log10 8 log10 m<    log10 n 则 m   n < <n    log0.5 n 则 m   > log 0.5 8 log0.5 m> log 0.5 6    
< log m    log n  则 m    n > 2 2 log 2 0.6    log 0.8 > 2
3 3
3 3

log1.5 6     < log1.5 8

<n log1.5 m    < log1.5 n 则 m  



比较下列各组中两个值的大小: log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示: log a1=0

提示 : log aa=1

解: ⑴∵log67>log66=1 log76<log77=1 ∴ log67>log76

⑵ ∵log3π>log31=0 log20.8<log21=0 ∴ log3π>log20.8

注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小 小技巧:判断对数 log b 与0的大小是
a

只要比较(a-1)(b-1)与0的大小

y

图 形

y=log

2

x

y=log

10

x

0

1
y=log
0.5

y=log 0.1 x x

x

补充 性质 一 补充 性质 二

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴 对称。 函数图像在第一象限底数按顺时针方向越来越 大

比较下列两值大小
?

(4) log8 3.4 与 log2 3.4

我分析我发展

y

1.如图 :曲线C1 , C2 , C3 , C4 分别为函数 o 1 y=logax, y=logbx, y=logcx, y=logdx,的 图像,试问a,b ,c, d的大小关系如何?

c1 c2 x c3
c4

一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质;

三、比较两个对数值的大小.

比较两个对数值的大小.
㈠ 若底数为同一常数,则可由对数 函数的单调性直接进行判断. ㈡ 若底数为同一字母,则按对数函 数的单调性对底数进行分类讨论. ㈢ 若底数、真数都不相同,则常借 助1、0、-1等中间量进行比较

2 想一想:函数f(x)=log2 ( x ? ax ? 1)的定义域为R, 求a的取值范围?

作业:P74 习题2.2 A组

第 7、8题


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