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2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)


2016 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严 格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次给分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第

10、11 小题 5 分一个 档次,不要增加其他中间档次. 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设实数 a 满足 a ? 9a 3 ? 11a ?| a | ,则 a 的取值范围是 答案: a ? (?

2 3 10 ,? ) 3 3

解:由 a ?| a | 可得 a ? 0 ,原不等式可变形为

9a 3 ? 11a | a | 1? ? ? ?1 a a
2 即 ? 1 ? 9a ? 11 ? 1 ,所以 a ? (
2

10 4 2 3 10 , ) .又 a ? 0 ,故 a ? (? ,? ). 9 3 3 3

z , w 分别表示 z , w ( z ? w )(z ? w) ? 7 ? 4i , 2. 设复数 z , w 满足 | z |? 3 , 其中 i 是虚数单位,
的共轭复数,则 ( z ? 2w )(z ? 2w) 的模为 答案: 65 解:由运算性质, 7 ? 4i ? ( z ? w)(z ? w) ?| z |2 ? | w |2 ?( zw ? zw) ,因为 | z | 2 与 | w | 2 为 实数,Re(zw ? zw) ? 0 ,故 | z | 2 ? | w | 2 ? 7 , zw ? zw ? ?4i ,又 | z |? 3 ,所以 | w | 2 ? 2 , 从而

( z ? 2w)(z ? 2w) ?| z |2 ?4 | w |2 ?2( zw ? zw) ? 9 ? 8 ? 8i ? 1 ? 8i
因此, ( z ? 2w )(z ? 2w) 的模为 65 . 3.正实数 u , v, w 均不等于 1,若 log u vw ? log v w ? 5 , logv u ? logw v ? 3 ,则 log w u 的 值为

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 1 页,共 7 页

答案:

4 5

解:令 logu v ? a , logv w ? b ,则

1 1 , log w v ? , logu vw ? logu v ? logu v ? logv w ? a ? ab a b 1 1 5 条件化为 a ? ab ? b ? 5 , ? ? 3 ,由此可得 ab ? ,因此 a b 4 4 log w u ? log w v ? log v u ?? . 5 log v u ?
4.袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币,袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元 纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的 纸币面值之和的概率为 答案:

9 35

解:一种取法符合要求,等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值 a 小于从 B 中取走的两张 纸币的总面值 b ,从而 a ? b ? 5 ? 5 ? 10 .故只能从 A 中国取走两张 1 元纸币,相应的取
2 法数为 C3 ? 3 .又此时 b ? a ? 2 ,即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币,相应有

2 2 C7 ? C3 ? 18种取法.因此,所求的概率为

3 ? 18 54 9 . ? ? 2 2 C5 ? C7 10 ? 21 35

5.设 P 为一圆锥的顶点,A,B,C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC =90°,M 为 AP 的中点.若 AB=1,AC=2, AP ? 答案: arctan

2 ,则二面角 M—BC—A 的大小为

2 3

解: 由 ?ABC =90°知, AC 为底面圆的直径. 设底面中心为 O, 则 PO ?

1 AC ? 1 ,进而 PO ? AP2 ? AO2 ? 1 . 2 设 H 为 M 在底面上的射影, 则 H 为 AO 的中点. 在底面中作 HK ? BC 于点 K,则由三垂线定理知 MK ? BC ,从而 ?MKH 为二面角 M—
平面 ABC,易知 AO ? BC—A 的平面角.

1 HK HC 3 3 ? ? , 即 HK ? , 这 样 , 结 合 HK 与 AB 平 行 知 , 2 AB AC 4 4 MH 2 2 tan ?MKH ? ? .故二面角 M—BC—A 的大小为 arctan . HK 3 3 kx 4 kx ? cos 4 6 .设函数 f ( x ) ? sin ,其中 k 是一个正整数.若对任意实数 a ,均 有 10 10
因 MH ? AH ?

{ f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R} ,则 k 的最小值为
答案:16 解:由条件知, f ( x) ? (sin
2

kx kx kx kx ? cos 2 ) 2 ? 2 sin 2 cos 2 10 10 10 10

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 2 页,共 7 页

? 1 ? sin 2
其中当且仅当 x ?

5m ? (m ? Z ) 时, f ( x) 取到最大值.根据条件知,任意一个长为 1 的开 k 5? ? 1 ,即 k ? 5? . 区间 (a, a ? 1) 至少包含一个最大值点,从而 k
反 之 , 当 k ? 5? 时 , 任 意 一 个 开 区 间 均 包 含 f ( x) 的 一 个 完 整 周 期 , 此 时

kx 1 2kx 3 ? cos ? 5 4 5 4

{ f ( x) | a ? x ? a ? 1} ? { f ( x) | x ? R} 成立.综上可知,正整数的最小值为 [5? ] ? 1 ? 16 .
7.双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 ,左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F2 作直线与双曲线 C 3

的右半支交于点 P,Q,使得 ?F1 PQ =90°,则 ?F1 PQ 的内切圆半径是 答案: 7 ? 1 解:由双曲线的性质知,

F1 F2 ? 2 ? 1 ? 3 ? 4 , PF1 ? PF2 ? QF1 ? QF2 ? 2 .
2 2 2 因 ?F1 PQ =90°,故 PF 1 ? PF 2 ? F 1 F2 ,因此

PF1 ? PF2 ? 2( PF12 ? PF22 ) ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 ? 4 2 ? 2 2 ? 2 7
从而直角 ?F1 PQ 的内切圆半径是

r?

1 1 1 ( F1 P ? PQ ? F1Q) ? ( PF1 ? PF2 ) ? (QF1 ? QF2 ) ? 7 ? 1 2 2 2

8.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,…,100 中的 4 个互不相同的数,满足
1 2 2 2 2 2 (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) 2

则这样的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) 的个数为 答案:40 解:由柯西不等式知, (a1 ? a2 ? a3 )(a2 ? a3 ? a4 ) ? (a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ) ,等号成立
1 2 2 2 2 2 2

的充分必要条件是

a1 a 2 a3 ? ? ,即 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列.于是问题等价于计算满足 a 2 a3 a 4

{a1 , a2 , a3 , a4 } ? {1,2,3,… ,100}的 等 比 数 列 a1 , a2 , a3 , a4 的 个 数 .设 等 比 数 列 的 公比
q ? 1 ,且 q 为有理数.记 q ?
n ,其中 m, n 为互素的正整数,且 m ? n . m

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 3 页,共 7 页

先考虑 n ? m 的情况. 此时 a 4 ? a1 (

a n 3 a1 n 3 ) ? 3 , 注意到 m 3 , n 3 互素, 故 l ? 13 为正整数. 相应地, a1 , a2 , a3 , a4 m m m
n ? 1 ,满足 m

分别等于 m3l , m 2 nl, mn2 l , n 3l ,它们均为正整数.这表明,对任意给定的 q ?
3

条件并以 q 为公比的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 的个数,即为满足不等式 n l ? 100 的正整数 l 的 个数,即 [

100 ]. n3

3 由于 5 ? 100,故仅需考虑 q ? 2,3,

3 4 ,4, 这些情况,相应的等比数列的个数为 2 3 100 100 100 100 100 [ ]?[ ]?[ ]?[ ]?[ ] ? 12 ? 3 ? 3 ? 1 ? 1 ? 20 . 8 27 27 64 64

当 n ? m 时,由对称性可知,亦有 20 个满足条件的等比数列 a1 , a2 , a3 , a4 . 综上可知,共有 40 个满足条件的有序数组 (a1 , a2 , a3 , a4 ) . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分 16 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2BA ? BC ? 3CA ? CB .求 sin C 的最 大值. 解:由数量积的定义及余弦定理知, AB ? AC ? cb cos A ?

b2 ? c2 ? a2 . 2

同理得, BA ? BC ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , CA ? CB ? .故已知条件化为 2 2

b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2(a 2 ? c 2 ? b 2 ) ? 3(a 2 ? b 2 ? c 2 )
即 a ? 2b ? 3c .………………………………8 分
2 2 2

由余弦定理及基本不等式,得

1 a 2 ? b 2 ? (a 2 ? 2b 2 ) a ?b ?c 3 cosC ? ? 2ab 2ab
2 2 2

?

a b a b 2 ? ?2 ? ? 3b 6a 3b 6a 3
2

所以 sin C ? 1 ? cos C ?

7 .………………………………12 分 3

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 4 页,共 7 页

等号成立当且仅当 a : b : c ? 3 : 6 : 5 .因此 sin C 的最大值是

7 .……………16 分 3

10 . (本题满分 20 分)已知 f ( x) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1 ,且对任意 x ? 0 ,均有

x ) ? xf ( x) . x ?1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? f ( ) f ( ) ? f ( ) f ( ) ? … ? f ( ) f ( ) 的值. 求 f (1) f ( 100 2 99 3 98 50 51 1 解:设 a n ? f ( )( n =1,2,3,…) ,则 a1 ? f (1) ? 1 . n 1 ? x 1 x k ? 1 ,及 f ( x) 为奇 ) ? xf ( x) 中取 x ? ? (k ? N *) ,注意到 在 f( ? 1 x ?1 k x ?1 k ?1 ? ?1 k f(
函数.可知

f(


1 1 1 1 1 ) ? ? f (? ) ? f ( ) ……………………5 分 k ?1 k k k k

n ?1 n ?1 a k ?1 1 a 1 1 .……………………10 分 ? ,从而 an ? a1 ? ? k ?1 ? ? ? ak k (n ? 1)! k ?1 a k k ?1 k

因此

?a a
i ?1

50

i 101?i

??
i ?1

50

49 1 1 ?? (i ? 1)!(100 ? i)! i ?0 i!?(99 ? i)!

1 49 i 1 49 i 1 1 99 2 98 99 ?i ……………………20 分 ? (C99 ? C99 ) ? ? ?2 ? ? C99 ? 99! ? 99! i ?0 99! 2 99! i ?0

11. (本题满分 20 分) 如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, F 是 x 轴正半轴上的一个动点. 以 F 为焦点,O 为顶点作抛物线 C.设 P 是第一象限内 C 上的一点,Q 是 x 轴负半轴上一点, 使得 PQ 为 C 的切线, 且|PQ|=2.圆 C1 , C2 均与直线 OP 相切于点 P, 且均与轴相切. 求点 F 的坐标, 使圆 C1 与 C 2 的面积之和取到最小值. 解:设抛物线 C 的方程是 y ? 2 px( p ? 0) ,点 Q 的坐
2

标 为 (?a,0)(a ? 0) , 并 设 C1 , C2 的 圆 心 分 别 为

O1 ( x1 , y1 ), O2 ( x2 , y 2 ) .
2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 5 页,共 7 页

设 直 线 PQ 的 方 程 为 x ? my ? a(m ? 0) , 将 其 与 C 的 方 程 联 立 , 消 去 x 可 知

y 2 ? 2 pmy? 2 pa ? 0 .
因为 PQ 与 C 相切于点 P ,所以上述方程的判别式为 ? ? 4 p 2 m 2 ? 4 ? 2 pa ? 0 ,解得

m?

2a .进而可知,点 P 的坐标为 ( xP , y P ) ? (a, 2 pa) .于是 p 2a ? 2 pa ? 2a( p ? 2a) . p

| PQ |? 1 ? m 2 | y P ? 0 |? 1 ?
由|PQ|=2 可得

4a 2 ? 2 pa ? 4

①……………………5 分

注意到 OP 与圆 C1 , C2 相切于点 P,所以 OP ? O1O2 .设 圆 C1 , C2 与 x 轴分别相切于点 M,N,则 OO1 , OO2 分别是

?POM , ?PON 的平分线,故 ?O1OO2 =90°.从而由射
影定理知
2 2 y1 y2 ? O1 M ? O2 N ? O1 P ? O2 P ? OP2 ? xP ? yP ? a 2 ? 2 pa

结合①,就有 y1 y2 ? a ? 2 pa ? 4 ? 3a
2

2

②……………………10 分

由 O1 , P, O2 共线,可得

y1 ? 2 pa 2 pa ? y 2
化简得

?

y1 ? y P OP OM y ? 1 ? 1 ? 1. y P ? y 2 PO2 O2 N y 2

y1 ? y 2 ?
2

2 2 pa
2

y1 y 2

③……………………15 分

令 T ? y1 ? y 2 ,则圆 C1 , C2 的面积之和为 ?T .根据题意,仅需考虑 T 取到最小值的情况. 根据②、③可知,

T ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2 y1 y 2 ?

4 2 2 y1 y 2 ? 2 y1 y 2 2 pa

?

4 (4 ? 3a 2 )(2 ? a 2 ) 2 2 2 ( 4 ? 3 a ) ? 2 ( 4 ? 3 a ) ? . 4 ? 4a 2 1? a2
2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 6 页,共 7 页

2 作代换 t ? 1 ? a ,由于 4t ? 4 ? 4a 2 ? 2 pa ? 0 ,所以 t ? 0 .于是

T?

(3t ? 1)(t ? 1) 1 1 ? 3t ? ? 4 ? 2 3t ? ? 4 ? 2 3 ? 4 . t t t
3 1 ,此时 a ? 1 ? t ? 1 ? ,因此结合①得, 3 3

上式等号成立当且仅当 t ?

p 1? a2 ? ? 2 a

t 1? 1 3

?

3t 3? 3

?

1 3? 3

从而 F 的坐标为 (

p 1 ,0) ? ( ,0) .………………………20 分 2 3? 3

2016 年全国高中数学联合竞赛一试第 7 页,共 7 页


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