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上海市十三校2016届高三数学第二次(3月)联考试题理(新)


上海市十三校 2016 届高三数学第二次(3 月)联考试题 理
考试时间 120分钟 满分150分 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个 空格填对得4分,否则一律得零分.

1. 若行列式

2 x ?1 1

4 2

? 0 ,则 x

?

.

2. 二项式 ( 2 x ?

1 6 ) 展开式的常数项为_________. 2x
.

3. 焦点在 x 轴上,焦距为 2 ,且经过 ( 5,0) 的椭圆的标准方程为 4. 若集合 A ? x x ? 3 ? 2 ,集合 B ? ? x 5. 在 ?ABC 中, ?A ?

?

?

? x?4 ? ? 0 ? ,则 A ? B ? x ? ?
_.

.

π , BC ? 3 , AB ? 6 ,则 ?C ? _ 3

6. 从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加体能测试,则选到的 2 名同学中至少有一名女同学的 概率是
2 2

. .

7. 若不等式 a ? b ? 2kab 对任意 a, b ? R 都成立,则实数 k 的取值范围为 8. 已知平面直角系中, 曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ?0 ? ? ? 2? ? ,现以直角坐标系的原点 ? y ? 2 ? 2 sin ?

为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程是__________.

2 9. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C1D 1 的棱长为 ,点 E 为棱 AA 1 的中点,则点 C1 到平面 BDE 的距离
为 .

A1

D1 C1 D C
*

10. 设函数 f ( x) ? ? ? ? x ? 5 的零点为 x1 、 x2 , 函数 g ( x) ? log 1 x ? x ? 5 的零点为 x3 、 x4 ,
3

?1? ? 3?

x

B1

E A

则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的值为

.

B

11. 对于数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? an ??a1, a2 , ???, an ? ( n ? N ),其前 n 项和为 Sn .记满足 条件的所有数列 ?an ? 中, S5 的最大值为 a , 最小值为 b ,则 a ? b ? .

12. 定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 在区间 ? ??,0? 上单调递减,且 f ? 2? ? 0 ,则不等式 xf ? x ? 1? ? 0 的解集为 .

1

13. 已知正四面体 A1 A2 A3 A4 ,点 A5 、 A6 、 A7 、 A8 、 A9 、 A10 分别是所在棱的中点,如图. 则当 1 ? i ? 10 , 1 ? j ? 10 ,

A4 A8
.

A7 A10 A9 A5 A2 A3 A6

????? ???? 且 i ? j 时,数量积 A1 A2 ? Ai A j 的不同数值的个数为

A1

14. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,记 f ( X ) ? y y ? f ? x ? , x ? X ? D ,

?

?

f ?1 (Y ) ? x f ? x ? ? Y , x ? D ,若 f ( x) ? 2sin(? x ?

?

?

5π ) ?? ? 0? , D ? ?0, ? ? , 6

?1 且 f ( f ([0,2])) ? ?0,2? , 则 ? 的取值范围是___________________.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 二元一次方程组 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 , 存在唯一解的必要非充分条件是( ?a2 x ? b2 y ? c2 a b (A)系数行列式 D ? 0 . (B)比例式 1 ? 1 . a2 b2
(C)向量 ?

).

? a1 ? ? b1 ? ? 与 ? ? 不平行.(D) 直线 a1x ? b1 y ? c1 与 a2 x ? b2 y ? c2 不平行. ? a2 ? ? b2 ?
). (B) M ? N 是必然事件.

16.设 M 、N 为两个随机事件,如果 M 、N 为互斥事件,那么( (A) M ? N 是必然事件.

(C) M 与 N 是互斥事件.? (D) M 与 N 不是互斥事件. 17. 将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,??600,采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营 区, 从 301 到 495 住在第Ⅱ营区, 从 496 到 600 在第Ⅲ营区, 三个营区被抽中的人数依次为 ( (A)26, 16, 8. (B)25,17,8. (C)25,16,9. (D)24,17,9. ) .

18. 我们称点 P 到图形 C 上任意一点距离的最小值为点 P 到图形 C 的距离. 那么平面内到定圆 C 的距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可能 是 ( ... (A)圆. (B)椭圆. ).

(C)双曲线的一支. (D)直线.

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在相应编号的规定区域内写出必要的 步骤.

2

19.(本题满分 12 分) 用铁皮制作一个容积为
?

1000? cm3 的无盖圆锥形容器,如图. 若圆锥的母线与底面所成的角 3
2

为 45 ,求制作该容器需要多少面积的铁皮. (铁皮衔接部分忽略不计,结果精确到 0.1 cm )

20.(本题满分 14 分)本大题共 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知复数 z1 ? 2sin ? ? 3i, z2 ? 1 ? (2cos? )i , i 为虚数单位, ? ? [ (1)若 z1 ? z2 为实数,求 sec 2? 的值;

? ?

, ]. 3 2
?

(2)若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 a, b ,存在 ? 使等式 (? a ? b ) ? ( a ? ? b ) ? 0 成立,求实数

? ?

?

?

?

? 的取值范围.

21.(本题满分 14 分)本大题共 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 比数列. (1)求数列

?an ? 是等差数列, a1 ? 3 , a4 ? 12 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 ,且 ?bn ? an ? 是等 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ?cn ? 的 前 n 项 和 Sn , 并 判 断 是 否 存 在 正 整 数 m , 使 得

( 2 ) 设 cn ? bn cosn? , 求 数 列

Sm ? 2016 ?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 已知抛物线 ? : x ? 4 y , P
2
0 ,则称 ? x0 , y0 ? 为抛物线 ? 上的点,若直线 l 经过点 P 且斜率为 x 2

3

直线 l 为点 P 的“特征直线” . 设 x1 、 x2 为方程 x 2 ? ax ? b ? 0 ( a, b ? R )的两个实根,记

? | x |,| x |?| x2 | ? ? a, b ? ? ? 1 1 . ?| x2 |,| x1 |?| x2 |
(1)求点 A

? 2,1? 的“特征直线” l 的方程;
x2 ? y 2 ? 1 经过二、四象限的渐 4
求证: ? ? a, b? ? 2 ;

(2)已知点 G 在抛物线 ? 上,点 G 的“特征直线”与双曲线 进线垂直,且与 y 轴的交于点 H ,点 Q

?a, b? 为线段 GH 上的点.

(3)已知 C 、 D 是抛物线 ? 上异于原点的两个不同的点,点 C 、 D 的“特征直线”分别为 l1 、

l2 ,直线 l1 、 l2 相交于点 M ? a, b? ,且与 y 轴分别交于点 E 、 F . 求证:点 M 在线段 CE 上的充要
条件为 ? ? a, b ? ?

xc (其中 xC 为点 C 的横坐标). 2

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知 ?

? x ? 表示不小于 x 的最小整数,例如 ? ?0.2? ? 1 .

(1)设 A ? x ? ( x ? log 2 x ) ? m , B ? ( , 2) ,若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围; (2)设 g ? x ? ? ? x ? ? x ? , g 个数为 an ,求证: lim

?

?

1 2

?

?

? x ? 在区间 ? 0, n? ? n ? N ? 上的值域为 M n ,集合 M n 中元素的
*

an 1 ? ; n ??? n ? 1 2
2

(3)设 g ( x ) ? x ? a ?

? ? x?
x

? 2 ( a ? 0 ), h ? x ? ?

sin ? x ? 2 ,若对于 x1, x2 ? ? 2,4? ,都 x 2 ? 5x ? 7

有 g ? x1 ? ? h ? x2 ? ,求实数 a 的取值范围.

4



三 学



测 试

数学(理科) 答案及评分标准 一、填空题. 1.

2

2.

?20

3.

x2 y ? ?1 5 4
7 10

4.

?4,5?
??1,1?
10
9

5.

? 4

6.

7. 10.

8. 11.

? ? 4sin ?
16
5 [ , ??) 3

9. 12.

6

??1,0? ? ?1,3?

13.

14.

二、选择题 15.

D ??????16. ? A ??????17. ? B ?????18. D

三、解答题. 19.(本题满分 12 分) 解:设圆锥的底面半径为 r

cm ,高为 h cm ,母线长为 l cm
..........3 分 ..........6 分 ..........8 分
2

? 因为母线与底面所成的角为 45 ,所以 r ? h ,



? r 2h
3

?

1000? 3

所以 r ? h ? 10 , l ? 10 2 , 进而得圆锥的侧面积 S ? ? rl ? 100 2? ? 444.3 cm 所以该容器所需铁皮的面积约为 444.3 cm 20.(本题满分 14 分).
2

..........11 分 ..........12 分

解:因为 z1 ? z2 ? 2sin? ? 2 3cos? ? (4sin? cos? ? 3)i 为实数 ..........2 分 所以 2sin 2? ? 3 ? 0 因为 2? ? [ ..........4 分 ..........7 分

2? 2? , ? ] ,所以 2? ? , sec 2? ? ?2 3 3

5

(2)由已知 ? a ? b

?

?2

?2

?

? ? ? ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0

因为 a ? b ? 4sin2 ? ? 3 ? 1 ? 4cos2 ? ? 8

?2

?2

? ? ? a ? b ? 2sin ? ? 2 3 cos ? ? 4sin(? ? ) 3 2? ? 所以 2 ? sin(? ? ) , ? ?1 3
因为 ? ?

..........3 分

? ? 1 ? [0, ] ,所以 0 ? sin(? ? ) ? , 3 6 3 2 2? 1 进而 0 ? 2 ? , ? ?1 2
解得 ? ? ?0, 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3, ??

?

..........5 分 ..........7 分

?

?

?

?

.

21.(本题满分 14 分). 解:(1)因为 a4 ? a1 ? 3d ,所以 12 ? 3 ? 3d ,得 d ? 3 所以 an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n ..........3 分

b1 ? a1 ? 1 , b4 ? a4 ? 8 ,且 8 ? 1? q3 ,得 q ? 2
所以 bn ? an ? 1? 2 (2) cn ? ?
n?1

,进而 bn ? 2

n?1

? 3n
,k ?N
*

..........6 分

? ?22 k ?2 ? 6k ? 3, n ? 2k ? 1 ? 22 k ?1 ? 6k , n ? 2k

..........2 分

c2k ?1 ? c2k ? 22k ?2 ? 3 , k ? N *
所以 S2 k ?

1 2k (2 ? 1) ? 3k , 3

..........4 分

? 1 2 k ?1 ? (2 ? 1) ? 3k , n ? 2k ? 1 ? ? 3 * Sn ? ? ,k ?N 1 ? (22 k ? 1) ? 3k , n ? 2k ? ? 3 11 ? 1 n 3 ? ? 2 ? ? n ? , n为奇数 ? ? 3 2 6 * (或 Sn ? ? ,n?N ? 1 ? 2n ? 3 ? n ? 1 , n为偶数 ? 2 3 ? 3

..........6 分

..........6 分)

因为 S2 k ?1 ? 0 , S2 k ? 0 ,数列 ?S2 k ? 是递增数列,且 S12 ? 1383 , S14 ? 5482

6

所以,不存在正整数 m ,使得 Sm ? 2016 . 22.(本题满分 16 分). 解:(1)由题意 l 的斜率为 1, 所以点 A

..........8 分

? 2,1? 的“特征直线” l 的方程为 y ? x ? 1 .

..........4 分

(2)设点 G ? m, n ? ,由于双曲线 所以

x2 1 ? y 2 ? 1 所求渐进线的斜率为 ? ..........1 分 2 4
..........2 分

m ? 2 ,进而得 G ? 4,4? 2

线段 GH 的方程为 y ? 2 x ? 4 ? 0 ? x ? 4? 所以 ? a, b? 满足 b ? 2a ? 4 ? 0 ? a ? 4? ..........3 分

?a, b? 所对应方程为: x2 ? ax ? 2(a ? 2) ? 0 ,解得 x1 ? 2 , x2 ? a ? 2
因为 ?2 ? a ? 2 ? 2 ,所以 | x1 |?| x2 | ,进而 ?

?a, b? ? 2

..........5 分

(3)设 C ? xc , yc ? , D ? xd , yd ? ,则 l1 、 l2 的方程分别为

l1 : y ?

xc x2 x x2 x ? c , l2 : y ? d x ? d , 2 4 2 4
..........2 分

xc ? xd xx ,b ? c d , 4 2 x ?x x x ?a, b? 所对应的方程为: x 2 ? c d x ? c d ? 0 , 2 4 x x 得 x1 ? c , x 2 ? d 2 2
解 l1 、 l2 交点可得 a ? 必要性:因为点 M 在线段 CE 上,所以

..........3 分

xc ? xd ? xc ,得 ? xc ? xd ? xc , 2 x ? xd ? 0 ,得 xc ? xd ? ? xc , 当 xc ? 0 时, xc ? c 2 |x | 所以 xc ? xd ,进而 ? ?a, b ? ? c 2 |x | ① 充分性:由 ? ?a, b ? ? c ,得 xc ? xd , 2 x ? xd ? xc , 当 xc ? 0 时, ? xc ? xd ? xc ,得 0 ? c 2 x ? xd ? 0, 当 xc ? 0 时,得 xc ? xd ? ? xc ,得 xc ? c 2
当 xc ? 0 时, 0 ? 所以点 M 在线段 CE 上.

..........5 分

7

综上,点 M 在线段 CE 上的充要条件为 ? ? a, b ? ?

xc 2

..........7 分

23.(本题满分 18 分). 解:(1)因为 y ? x ? log2 x 在区间 ( , 2) 上单调递增, 所以 ?

1 2

1 ? x ? log 2 x ? 3 2

..........2 分 ..........3 分 ..........5 分

进而 ? ? x ? log2 x ? 的取值集合为 ?0,1,2,3? 由已知可知 ? ? x ? log2 x ? ? m 在 ( , 2) 上有解,因此, m ? 3 (2)当 x ? ?n ?1, n? n ? N * 时, ? ?x ? ? n ,
2 2 所以 x? ? x ? ? nx 的取值范围为区间 n ? n, n ? ?

1 2

?

?

?

进而 g ?x ? 在 ?n ? 1, n?上函数值的个数为 n 个,

..........2 分

2 2 2 2 由于区间 n ? n, n ? ? 与 ( n ? 1) ? ( n ? 1),( n ? 1) ? ? 没有共同的元素,

?

?

所以 M n 中元素个数为 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 因此, lim
2

n ( n ? 1) n(n ? 1) ,得 an ? ..........4 分 2 2
.........5 分

an 1 ? n ?? n ? 1 2 1 4 ? , 1 ? sin ? x ? 2 ? 3 (3)由于 0 ? 2 x ? 5x ? 7 3 5 所以 h ? x ? ? 4 ,并且当 x ? 时取等号, 2
进而 x ? ? 2,4? 时, hmax ? x ? ? 4 由题意对任意 x ? ? 2,4? , g ? x ? ? 4 恒成立. 当 x ? ? 2,3? , a ? 2x ?

..........3 分 ..........4 分

x2 x2 恒成立,因为 (2x ? ) max ? 3 ,所以 a ? 3 3 3

当 x ? ? 3,4? , a ?

9 3 x2 3 x2 9 x ? 恒成立,因为 x ? ? ,所以 a ? 4 2 4 2 4 4
...........8 分

+? ? . 综上,实数 a 的取值范围为 ? 3,

8


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