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高中物理竞赛辅导 机械振动和机械波


高中物理竞赛力学教程
机械振动和机械波
§5.1 简谐振动

v v F 回 与它偏离平衡位置的位移 x 大小成正比,方向相反。即满 如果一个物体受到的回复力
足:

5.1.1、简谐振动的动力学特点

F回 = ? K x 的关系,那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律,物体的



加速度 离平衡位置的位移大小成正比,方何相反。 现有一劲度系数为 k 的轻质弹簧,上端固定在 P 点,下端固定一个质 量为 m 的物体,物体平衡时的位置记作 O 点。现把物体拉离 O 点后松手, 使其上下振动,如图 5-1-1 所示。 当物体运动到离 O 点距离为 x 处时,有

a=

F回 K =? m m ,因此作简谐振动的物体,其加速度也和它偏

P

F回 = F ? mg = k ( x0 + x) ? mg
式中 因此

x

x 0 为物体处于平衡位置时,弹簧伸长的长度,且有 kx0 = mg , F回 = kx

图 5-1-1

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移 x 成正比。因回复力指向平衡位置 O, 而位移 x 总是背离平衡位置,所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反,竖直方向 的弹簧振子也是简谐振动。 注意:物体离开平衡位置的位移,并不就是弹簧伸长的长度。 5.1.2、简谐振动的方程 由于简谐振动是变加速运动,讨论起来极不方便,为此。可 引入一个连续的匀速圆周运动,因为它在任一直径上的分运动为 A ? ?0 简谐振动,以平衡位置 O 为圆心,以振幅 A 为半径作圆,这圆就 x O 称为参考圆,如图 5-1-2,设有一质点在参考圆上以角速度 ω 作 匀速圆周运动,它在开始时与 O 的连线跟 x 轴夹角为 ? 0 ,那么在 时刻 t,参考圆上的质点与 O 的连线跟 x 的夹角就成为

? = ωt + ? 0 ,它在 x 轴上的投影点的坐标

图 5-1-2

x = A cos(ωt + ? 0 )

(2)

这就是简谐振动方程,式中 ? 0 是 t=0 时的相位,称为初相: ωt + ? 0 是 t 时刻的相位。

参考圆上的质点的线速度为 Aω ,其方向与参考圆相切,这个线速度在 x 轴上的投影是

v = ? Aω cos(ωt + ? 0 )
这也就是简谐振动的速度
2

(3)

参考圆上的质点的加速度为 Aω ,其方向指向圆心,它在 x 轴上的投影是

a = ? Aω 2 cos(ωt + ? 0 )
这也就是简谐振动的加速度 由公式(2)、(4)可得

(4)

a = ?ω 2 x
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为

a=

F k =? x m m k m

因此有

ω2 =

(5) 简谐振动的周期 T 也就是参考圆上质点的运动周期,所以

T=

2π m = 2π ? w k

5.1.3、简谐振动的判据 . 物体的受力或运动,满足下列三条件之一者,其运动即为简谐运动: ①物体运动中所受回复力应满足 ②物体的运动加速度满足

F = ?kx ;

a = ?ω x ;
2

0 。 ③物体的运动方程可以表示为 事实上,上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的,由它可以导出另外两个 条件②和③。 §5.2 弹簧振子和单摆 简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆,下面分别加以讨论。 5.2.1、弹簧振子 弹簧在弹性范围内胡克定律成立,弹簧的弹力为一个线性回复力, k 因此弹簧振子的运动是简谐振动,振动周期

x = A cos(ωt + ? )

T = 2π

m k 。

m
k

(1)恒力对弹簧振子的作用 比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子, 如果 m 和 k 都相同(如图 5-2-1),则它们的振动周期 T 是相同的,也就 是说,一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。

m
图 5-2-1

如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子,弹簧原长 l0 ,振子的质量为 m=1.0kg,电梯静止时 弹簧伸长 ?l =0.10m,从 t=0 时,开始电梯以 g/2 的加速度加速下降 t = πs ,然后又以 g/2 加速 减速下降直至停止试画出弹簧的伸长 ?l 随时间 t 变化的图线。 由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动,而电梯是一个有加速度的非惯性系,因此要考虑 弹簧振子所受到的惯性力 f。在匀速运动中,惯性力是一个恒力,不会改变振子的振动周期,

振动周期

T = 2π / ω = 2π / k m 因为 k = mg / ?l ,所以 T = 2π ?l g = 0.2π ( s)
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中,振动的次数都为

n = t / T = π / 0.2π = 5(次)
当电梯向下加速运动时,振子受到向上的惯性力 mg/2,在此力和重力 mg 的共同作用下, 振子的平衡位置在

?l1 =

1 mg / k = ?l / 2 2 3 mg / k = 3?l / 2 2

的地方,同样,当电梯向下减速运动时,振子的平衡位置在

?l 2 =

的地方。在电梯向下加速运动期间,振子正好完成 5 次全振动,因此两个阶段内振子的 振幅都是 ?l / 2 。弹簧的伸长随时间变化的规律如图 5-2-2 所示,读者可以思考一下,如果电 梯第二阶段的匀减速运动不是从 5T 时刻而是从 4.5T 时刻开始的,那么 ?l ~ t 图线将是怎样 的? ?l (2) 弹簧的组合 设有几个劲度系数分别 为 k1 、 k2 …… kn 的轻弹簧串联起来,组成一个 新弹簧组,当这个新弹簧组在 F 力作用下伸长 时,各弹簧的伸长为 x1 ,那么总伸长
n

2?l ?l O

x = ∑ xi
i =1

各弹簧受的拉力也是 F,所以有

T
图 5-2-2

π



t

xi = F / ki
i =1 故 根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

x = F∑

n

1 ki

k =F/x
i =1 即得 如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组,那么各弹簧的伸 长是相同的。要使各弹簧都伸长 x ,需要的外力

1/ k = ∑

n

1 ki

m
图 5-2-3

F = ∑ ki x = x ∑ k i
i =1 i =1

n

n

根据劲度系数的定义,弹簧组的劲度系数

k=

n F = ∑ ki x i =1

导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后,在解题中要灵活地应用,如图 5-2-3 所示的 一个振动装置,两根弹簧到底是并联还是串联?这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征: 串联的本质特征是每根弹簧受力相同; 并联的本质特征是每根弹簧形变相同。 由此可见图 5-2-3 中两根弹簧是串联。 当 m 向下偏离平衡位置 ?x 时,弹簧组伸长了 2 ?x ,增加的弹力为

F = 2?xk = 2?x

k1k 2 k1 + k 2 k1k 2 4k k = 1 2 ?x k1 + k 2 k1 + k 2

m 受到的合外力(弹簧和动滑轮质量都忽略)

ΣF = 2 × 2?x
所以 m 的振动周期

T = 2π

m(k1 + k 2 ) 4k1k 2

π
=

m(k1 + k 2 ) k1k 2

再看如图 5-2-4 所示的装置,当弹簧 1 由平衡状态伸长 ?l1 时,弹簧 2 由平衡位置伸长 了 ?l2 ,那么,由杆的平衡条件一定有(忽略杆的质量)

k ? ?l a = k ?l b
1 1 2 2

?l 2 =

k1 a ? ? ?l1 k2 b
b a
1

2

k2

由于弹簧 2 的伸长,使弹簧 1 悬点下降

a k a2 ?x′ = ?l2 = 1 ? 2 ? ?l1 b k2 b
因此物体 m 总的由平衡位置下降了

k1

? k a2 ? ?x1 = ?l1 + ?x′ = ? 1 ? 2 + 1??l2 ?k b ? ? 2 ?
此时 m 所受的合外力

m
图 5-2-4

ΣF = k1?l1 =

k1k 2b 2 ?x1 k1a 2 + k 2b 2

所以系统的振动周期

m(k1a 2 + k 2b 2 ) T = 2π k1k 2b 2
(3)没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为 m A 和 m B 的两木块 A 和 B,用一根劲度系 数为 k 的轻弹簧联接起来,放在光滑的水平桌面上(图 5-2-5)。现在让两木块将弹簧压缩后 由静止释放,求系统振动的周期。 想象两端各用一个大小为 F、方向相反的力将弹簧压缩,假设某时刻 A、B 各偏离了原来 的平衡位置 x A 和 x B ,因为系统受的合力始终是零,所以应该有

mA x A = mB xB
A、B 两物体受的力的大小

① ②

FA = FB = ( x A + xB )k
由①、②两式可解得

FA = k

m A + mB xA mB m + mB FB = k A xB mB

A
图 5-2-5

B

由此可见 A、B 两物体都做简谐运动,周期都是

T = 2π

m A mB k ( m A + mB )

此问题也可用另一种观点来解释:因为两物体质心处的弹簧是不动的,所以可以将弹簧

mB m A + mB l0 k l0 ,左边一段原长为 m A + mB ,劲度系数为 mB 看成两段。如果弹簧总长为 ;右边 mA m A + mB l0 k 一段原长为 m A + mB ,劲度系数为 mB ,这样处理所得结果与上述结果是相同的,
有兴趣的同学可以讨论,如果将弹簧压缩之后,不是同时释放两个物体,而是先释放一个, 再释放另一个,这样两个物体将做什么运动?系统的质心做什么运动? 5.2.2、单摆 . 、 O 一个质量为 m 的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的 O 点,小球摆动 至与竖直方向夹 θ 角,其受力情况如图 5-2-6 所示。其中回复力,即合力的 切向分力为
θ

F

F回 = mg ? sin θ
当 θ <5?时,△OAB 可视为直角三角形,切向分力指向平衡位置 A,且

x sin θ = l ,所以

B

x mg

A

图 5-2-6

F回 =

mg x l

F回 = kx (式中

k=

mg l )
m l = 2π k g

说明单摆在摆角小于 5?时可近似地看作是一个简谐振动,振动的周期为

T = 2π

在一些异型单摆中, l 和 g 的含意以及值会发生变 化。 (1)等效重力加速度 g ′ 单摆的等效重力加速度 g ′ 等于摆球相对静止在平 衡位置时,指向圆心的弹力与摆球质量的比值。 如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆,当 摆球相对静止在平衡位置时,绳子中张力为 m( g ± a ) , 因此该单摆的等效重力加速度为 g ′ = g ± a 。周期为

O
θ

图 5-2-7

a
O
α

l T = 2π g±a
再如图 5-2-7 所示, 在倾角为 θ 的光滑斜面上有一单摆, 当 摆球相对静止在平衡位置时,绳中张力为 mg sin θ ,因此单摆 的等效重力加速度为 g ′ = g sin θ ,周期为

A

f = ma

T = 2π

l g sin θ

mg
图 5-2-8

又如一节车厢中悬挂一个摆长为 l 的单摆, 车厢以加速度 a 在水平地面上运动(如图 5-2-8)。由于小球 m 相对车厢受到一个惯性力 f = ma ,所以它可 以“平衡”在 OA 位置, 中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置 A 处时,绳中张力为

tga =

a g ,此单摆可以在车厢中以 OA 为

θ

m a 2 + g 2 ,等效重力加速度 g ′ = a 2 + g 2 ,单摆的周期

l

T = 2π

l a2 + g 2

m B 图 5-2-9 D

(2)等效摆长 l ′ 单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离, 而是指摆球 的圆弧轨迹的半径。如图 5-2-9 中的双线摆,其等效摆长不是 l , 而是 l sin θ ,周期

α
A

l′

m
C

α
图 5-2-10

T = 2π

l sin θ g

再如图 5-2-10 所示,摆球 m 固定在边长为 L、质量可忽略的等边三角形支架 ABC 的顶角 C 上,三角支架可围绕固定的 AB 边自由转动,AB 边与竖直方向成 a 角。 当 m 作小角度摆动时,实际上是围绕 AB 的中点 D 运动,故等效摆长

l ′ = L cos 30 0 =

3 L 2

正因为 m 绕 D 点摆动,当它静止在平衡位置时,指向 D 点的弹力为 mg sin a ,等效重力 加速度为 g sin a ,因此此异型摆的周期

T = 2π

l′ 3L = 2π g′ 2 g sin a

(3)悬点不固定的单摆 如图 5-2-11,一质量为 M 的车厢放在水平光滑地面上,车厢中悬有一个摆长为 l ,摆球的 质量为 m 的单摆。显然,当摆球来回摆动时,车厢也将作往复运动,悬点不固定。 由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆,故取车厢为非惯性系,摆球受到重力 mg, 摆线拉力 N 和惯性力 maM 的作用,如图 分析摆球 N= mg cosθ ? maM sin θ 回复力 分析车厢: ①(忽略摆球向心力) ②
θ

aM

F = mg sin θ + maM cosθ


N

N sin θ = MaM

M
maM

2 因为 θ 很小,所以可认为 sin θ = θ , cosθ = 1 , sin θ = 0 则由①、③式可得

mg

aM =

m gθ M m )θ M

图 5-2-11

把它代入②

F = mg (1 +

摆球偏离平衡位置的位移

所以 因此摆球作简谐振动,周期

x = θl mg ( M + m) F= x MI
ml ( M + m) g

T = 2π

T = 2π
由周期表达式可知:当 M?m 时,

l g ,因为此时 M 基本

T < 2π
不动,一般情况下,

l g

§5.3 振动能量与共振 5. 3.1、简谐振动中的能量 . 、 以水平弹簧振子为例,弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成,在振动过 程中,振子的瞬时动能为:

EK = Ep =

1 2 1 mv = mA 2ω 2 sin 2 (ωt + ? ) 2 2 1 2 1 kx = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ? ) 2 2 1 1 mω 2 A 2 = kA2 2 2

振子的瞬时弹性势能为:

振子的总能量为:

E = EK + E p =

1 2 kA 简谐振动中, 回复力与离开平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量, 2 即 是
恒量,因此振动过程中,系统的机械能守恒。 如以竖直弹簧振子为例,则弹簧振子的能量由振子的动能、重力 势能和弹簧的弹性势能构成,尽管振动过程中,系统的机械能守恒, 但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共

F回 kx

1 2 kx 同提供的,而且是线性力(如图 5-3-1),因此,回复力做的功 2
(图中阴影部分的面积)也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和, 所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式,式中 x 应指振子离开平 衡位置的位移,则 E p 就是弹性势能和重力势能之和,不必分开研究。

x
O
图 5-3-1

x

简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法,这种方法不涉及振子所受的 力,在力不易求得时较为方便,将势能写成位移的函数,即 另有

Ep =

2E 1 2 k = 2p kx 2 x 。 ,

ω=

k = m

2E p mx 2

x c
R
图 5-3-2

也可用总能量和振幅表示为

M

ω=

2E p mx 2

5.3.2、阻尼振动 . 、 简谐振动过程的机械能是守恒的,这类振动一旦开始,就永不停止,是一种理想状态。 实际上由于摩擦等阻力不可完全避免,在没有外来动力的条件下,振动总会逐渐减弱以致最 后停息。这种振幅逐渐减小的振动,称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。 ①振动模型与运动规律 如图 5-3-2 所示,为考虑阻尼影响的振动模型,c 为阻尼器,粘性阻尼时,阻力 R=-cv, 设 m 运动在任一 x 位置,由 ΣF = mα x 有

mα x = ? kx ? cv x
分为

a x + 2nv x + w 2 x = 0

(17)

式中 这里参考图方法不再适用,当 C 较小时,用微分方程可求 出振体的运动规律,如图 4-22 所示。 ②阻尼对振动的影响 由图 5-3-3 可见,阻尼使振幅逐渐衰减,直至为零。同时 也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。

n=

c 2m

x

c =n 愈大,即阻尼愈大,振幅衰减愈快。而增大 此外, 2m
质量 m 可使 n 减小。所以,为了减小阻尼,单摆的重球及弹簧 振子往往选用重球。 ③常量阻力下的振动 例 1、如图 5-3-4 所示,倔强系数为 250g/cm 的弹簧一端固 定,另端连结一质量为 30g 的物块,置于水平面上,摩擦系数

o

t

图 5-3-3

?=

1 4 ,现将弹簧拉长 1cm 后静止释放。试求:(1)物块获得

k

1cm

的最大速度;(2)物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。 解:振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量 力,并不断耗散系统的机械能,故不能像重力作用下那样,化 图 5-3-4 为谐振动处理。 (1)设首次回程中,物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的 x 位置时,达最大速度

x



由 再由能量守恒:

1 30 g × mg? 4 = 0.03(cm) x= = kx = mg? , k 250 g
1 2 1 1 2 kx0 = mg? (1 ? 0.03) + k × 0.032 + mvmax 2 2 2

代入已知数据得

vmax = 485(cm / s )

′ (2)设物体第一次回程中,弹簧的最大压缩量为 x1 ,则
1 2 1 2 ′ ′ kx0 ? kx1 = mg? ( x0 + x1 ) 2 2 2mg? ′ ∴ x0 ? x1 = k
再设物体第一次返回中,弹簧的最大拉伸量为 x1 ,则

1 2 1 2 ′ ′ kx1 ? kx1 = mg? ( x1 + x1 ) 2 2 2mg? ′ ∴ x1 ? x1 = k
可见振体每经过一次弹簧原长位置,振幅减小是相同的,且均为

2mg? = k

2 × 30 ×1000 ×

1 4 = 3 (cm) 250 × 1000 50

而 故物体经过 16 次弹簧原长位置后,停止在该处右方。 5.3.3 受迫振动—— ——在周期性策动外力作用下的振动。 . . 受迫振动—— 例如:扬声器的发声,机器及电机的运转引起的振动。 1、振动模型及运动规律 如图 5-3-5 所示,为策动外力作用下的振动模型。其中,阻力 R=-cv,为常见的粘性阻尼 力。 策动力 F=Hcospt,为简谐力时。 由 ΣF回 = ma x , ma x = H cos pt ? cvx ? kx 化为标准标 有 式

1 = 16 L 0.04(cm) < 0.06cm 3 / 50

o

α x + 2nv x + ω 2 x = h cos pt
式中

x c
R
图 5-3-5

k c H ω= n= h= m, 2m , m

F = H cos pt M

x

x

x

o

t

+

o

t

=

o

t

瞬态振动

静态振动

受迫振动

(a )

(b) 图 5-3-6

(c)

由微分方程理论可求得振子的运动规律 (2)受迫振动的特性 在阻尼力较小的条件下,简谐策动力引起的振动规律如图 5-3-6 所示。在这个受迫振动过 程由两部分组成:一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动,称为瞬态振动(图 (a));另一部分按策动力频率所作的稳定振动(图(b))。在实际问题中,瞬态振动很快 消失,稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关,其振幅与初位 相也不由初始条件确定,而与策动频率 p 密切相关。 5.3.4、共振 . . 、共振—当策动力频率 p 接近于系统的固有频率 ω 时受迫振动振幅出现最大值的 现象。 c0 = 0 如图 5-3-7 所示的一组曲线,描述了不同阻尼系统的 稳态振幅 A 随策动力频率 p 改变而引起的变化规律。由图 A 可见: c1 < c2 < c3 1、当 p 接近 ω 时振幅最大,出现共振。 c1 c2 2、阻尼越小,共振越大。 3、 p → 0 时,振幅就是静力偏移,即

A0

c3

A0 =

4、p>> ω 时,振体由于惯性,来不及改变运动,处于 静止状态。

H k

O

ω

P

图 5-3-7

§5.4 振动的合成 若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用,在一般情况下其中一个力的存在 不会对另外一个力产生影响,这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相 互叠加后的振动,由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动,叫振动的合成。 4. 同方向、 5. 4.1、 同方向、同频率两简谐运动的合成 当一个物体同时参与同方向的两个振动时,它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动 的位移的代数和。当两振动的频率相同时,设此两振动的位移分别为

x1 = A1 cos(ωt + ?1 )

x2 = A2 cos(ωt + ? 2 )
则合振动的位移应为

x = x1 + x2 = A1 cos(ωt + ?1 ) + A2 cos(ωt + ? 2 ) = A1 cos ωt cos ?1 ? A1 sin ωt sin ?1 + A2 cos ωt cos ? 2 ? A2 sin ωt sin ? 2 = ( A1 cos ?1 + A2 cos ? 2 ) cos ωt ? ( A1 sin ?1 + A2 sin ? 2 ) sin ωt = A cos ? cos ωt ? A sin ? sin ωt = A cos(ωt + ? )
上式中

A = ( A1 cos ?1 + A2 cos ? 2 ) 2 + ( A1 sin ?1 + A2 sin ? 2 ) 2
2 A12 + 2 A1 A2 cos(? 2 ? ?1 ) + A2 A sin ?1 + A2 sin ? 2 tg? = 1 A1 cos ?1 + A2 cos ? 2

=

根据以上结论,进一步可以看到 ①若 ? 2 ? ? 1 = 0或2kπ (k 为整数),则

cos(? 2 ? ?1 ) = 1
A=
即合振动的振幅达到最大值,此时合振动的初位相与分振动的初位相同(或相差 2kπ ) ②若 ? 2 ? ?1 = π 或 ( 2 k + 1)π 则
2 A12 + 2 A1 A2 + A2 = A1 + A2

cos(? 2 ? ?1 ) = ?1
2 A = A12 ? 2 A1 A2 + A2 = A1 ? A2

即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于 A1 和 A2 的大小。即当 A1 > A2 时, 合振动的初位相等于 ?1 (?1 + 2kπ ) ; A2 > A1 时, 当 合振动的初位相等于 ? 2 (或? 2 + 2kπ ) ; 当 A2 = A1 时,则 A=0,物体不会发生振动。 ③一般情况下, ? 2 ? ?1 可以任意值,合振动的振幅 A 的取值范围为

A1 + A2 ≥ A ≥ A1 ? A2
4. 同方向、 5. 4.2、 同方向、频率相近的两振动的合成 设物体同时参与两个不同频率的简谐运动,例如

为简单起见,我们已设 ? 2 = ?1 = 0 ,这只要适当地选取时间零点,是可以做到的。如果 再设 A1 = A2 = A ,则合振动

x1 = A1 cosω1t x2 = A2 cos ω 2t

由于 ω1 和 ω 2 相差不多,则有( ω1 + ω 2 )比( ω1 ? ω 2 )大很多,由此,上一合振动可 以看成是振幅为

x = x1 + x2 = A(cosω1t + cos ω 2t ) ω ? ω2 ω + ω2 = 2 A cos 1 t cos 1 t 2 2

2 A cos

ω1 ? ω 2
2

t

x
(随时间变化)。角 T

ω1 + ω 2
频率为 的振动。这种振动称为“拍”。拍的位 移时间图像大致如图 5-4-1 所示。由图可见,振幅的变 化周期 T ′ 为

o

2

t

2 A cos

ω1 ? ω 2
2

t

变化周期的一半,即

1 2 2π T′ = ? ? 2π = 2 ω1 ? ω 2 ω1 ? ω 2
或拍频为

图 5-4-1

v′ =

1 ω1 ? ω 2 = = v1 ? v2 T′ 2π

ω ′ = ω1 ? ω 2
5.4.3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成 当一物体同时参与相互垂直的振动时

x = A1 cos(ωt + ?1 ) y = A2 cos(ωt + ? 2 )
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为

x 2 y 2 2 xy + 2? cos(? 2 ? ?1 ) = sin 2 (? 2 ? ?1 ) A12 A2 A12
当 ? 2 ? ?1 = 2 Kπ 时, ( K = 0,±1,±2 LL)

(6-17)

x 2 y 2 2 xy + 2? =0 A12 A2 A12
y=


A2 x A1

A2 合成结果仍为简谐振动(沿斜率为 A1 的直线作简谐振动)。 当 ? 2 ? ?1 = ( 2 K + 1)π 时, ( K = 0,±1,±2 LL) x2 y 2 + 2 =1 A12 A2

可见,当

? 2 ? ?1 =

π

3 或 π 2 2 时,合振动均为椭圆振动,但两者旋转方向不同。

§5.5 机械波 5.5.1、机械波 . . 、 机械振动在介质中的传播形成机械波,波传递的是振动和能量,而介质本身并不迁移。 自然界存在两种简单的波:质点振动方向与波的传播方向垂直时,称为横波;与传播方 向一致时,叫纵波,具有切变弹性的介质能传播横波;具有体变弹性的介质可传播纵波,固 体液体中可以同时有横波和纵波,而在气体中一般就只有纵波存在了。 在波动中,波上相邻两个同相位质点间的距离,叫做一个波长,也就是质点作一个全振 动时,振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动,因此它们的振动频率都与振 源的振动频率相等,也就是波的频率,在波动中,波长 λ 、频率 f 与传播速度 v 之间满足 (1) 注意:波速不同于振动质点的运动速度,波速与传播介质的密度及弹性性质有关。 5.5.2、波动方程 . . 、 如图 5-5-1 所示, 一列横波以速度 v 沿 x 轴正方向传播, y 设波源 O 点的振动方程为: v

v = λf =

λ
T

y = A cos(ωt + ? 0 )

在 x 轴上任意点 P 的振动比 O 点滞后时间

tp =

x v ,即

O

x ? ? ?ω (t ? v ) + ? 0 ? ?, P 当 O 点相位为 (ωt + ? 0 ) 时, 点的相位为 ? l f = ω = 2πf , v = λf , T ,P 点振动方程为 由 x ? ? y = A cos ?ω (t ? ) + ? 0 ? v ? ? = A cos(2πft ? ? 0 ? 2πx

P

x

图 5-5-1

这就是波动方程, 它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。 当波向 x 轴负 方向传播时,(2)式只需改变 v 的正负号。由波动方程,可以 (1)求某定点 x1 处的运动规律

λ 2π 2πx = A cos( t + ? 0 ? ) T λ

)

将 x = x1 代入式(6-14),得

x 2π t + ? 0 ? 2π 1 ) T λ = A cos(ωt + ?1 ) 2πx1 ?1 = ? 0 ? λ 为 x1 质点作简谐振动的初相位。 其中 (2)求两点 x1 与 x 2 的相位差 y1 = A cos(
将 x = x2 代入(2)式,得两点 x1 、 x 2 的相位差

?? = ?1 ? ? 2 = 2π


x2 ? x1

x2 ? x1 =

λ
2

λ

? 2k ( k

为整数),则 ?? = 2 kπ ,则该两点同相,它们的位移和速度都

2 为整数),则 ?? = ( 2k + 1)π ,则该两点相位相反,它们的 相同。若 位移和速度大小相同,速度方向刚好相反。 球面波的波动方程与平面波相比,略有不同,对于球面波,其振幅随传播距离的增加而
衰减,设离波源距离为 r1 处的振幅为 A1 ,离波源距离为 r2 处的振幅为 A2 。则有

x2 ? x1 = ( 2k + 1)

λ

(k

A1r1 = A2 r2
即振幅与传播的距离成反比 球面简谐波的方程为

y (r , t ) =

A 2π cos(ωt ? r) r λ

式中 A 是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。 3、波的叠加和干涉 r1 当空间存在两个(或两个以上)振源发出的波时,空间任一 S1 r2 点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和,这叫做波的叠加 d 原理。 当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时,会出 S 2 ?r 现某些地方振动增强, 某些地方振动减弱的现象, 叫做波的干涉, 这样的两列波叫相干波。 图 5-5-2

P

{

设有两列相干波自振源 S1 、 S 2 发出,两振源的位相相同, 空间任一点 P 至 S1 的距离为 r1 ,至 S 2 的距离为 r2 (图 5-5-2),则两列波在 P 点产生的振动 的相位差为

?? = 2π

r2 ? r1

λ

当 ?? = k ? 2π ( k 为整数),即当波程差

?r = r2 ? r1 = 2k ?

λ
2 时,P 点的合振动加强;

当 ?? = ( 2 k + 1)π ,即当波程差

?r = r2 ? r1 = ( 2k + 1)

λ
2 时,P 点的合振动减弱,可见 P 点振动
C1 C2

的强弱由波程差 ?r = r2 ? r1 决定,是 P 点位置的函数。 总之,当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的 整数倍时,该点振动的合振幅最大,即其振动总是加强的;当某一点 距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时,该点振动 的合振幅最小,即其振动总是削弱的。 4、波的反射、折射和衍射 当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时, 一部分 返回原介质中,称为反射波;另一部分将透入第二种介质继 续传播,称为折射波,入射波的传播方向与交界面的法线成 i 角,( i 叫入射角),反射波的传播方向与交界面的法线 成 i′ 角 i′ 叫反射角) 折射波的传播方向与法线成 γ 角 γ ( 。 ( 叫折射角),如图 5-5-3,则有

i

i

r

图 5-5-3

i = i′ sin i c1 = sin r c2 式中 c1 为波在入射介质中的传播速度, c2 为波在折射

图 5-5-4

介质中的传播速度,(1)式称为波的反射定律,(2)式称 为波的折射定律。 弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反 射,反射的波形有所不同。 设弦上有一向上脉冲波,如图 5-5-4,传到自由端以后反 射,自由端可看成新的振源,振动得以继续延续下去,故反 身波仍为向上的脉冲波,只是波形左右颠倒。当弦上有向上 脉冲波经固定端反射时,固定端也可看成新的“振源”,由 牛顿第三定律,固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端 的作用力方向相反,故反射脉冲向下,即波形不仅左、右颠 图 5-5-5 倒,上、下也颠倒,这时反射波可看成入射波反向延伸的负 值(如图 5-5-5),将周期波看成一系列连续脉冲,周期波经 自由端或固定端的反射也可由此得出。 波在传播过程中遇到障碍物时,偏离原来的传播方向,传到障碍物“阴影”区域的现象

叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多时,衍射现象比较明显; 当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候,衍射现象仍然存在,只是发生衍射的部分跟直进部分 相比,范围较小,强度很弱,不够明显而已。此外,在障碍物或小孔尺寸一定的情况下,波 长越长,衍射现象越明显。 5.6.5、驻波 . . 、 驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果, 如图 6-5-6,设弦上传递的是连续的周期波,波源的振动方程为

y0 = A cos ωt
向左传播的入射波表达式为

y1 = A cos(ωt +



λ

x)

考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反,即入射波在反射时产生了 π 的相位突 变,故反射波在反射点的相位为

5 λ 设波源到固定端的距离为 4 ,则入射波传到反射点时的相位为 2π 2π 5 5 x = ωt ? ( ? λ ) = ωt ? π ωt + λ λ 4 2

ωt ? π ? π = ωt ? π
反射波在原点 P 的相位为

5 2

7 2

ωt ? π ? π = ωt ? 6π
因而,反射波的波动方程为

7 2

5 2

y2 = A cos(ωt ? 6π ?
合成波为:



λ

x ) = A cos(ωt ? 2π



λ

x) 2π

y = y1 + y 2 = A cos(ωt + = 2 A cos( 2π

λ

x ) + A cos(ωt ?

λ

x)

λ

x ) cos ωt

2 A cos(
合成波的振幅为 腹的位置为



λ

x)
与 x 有 关,振幅最大处为波腹,振幅最小处为波节。波



λ

x = kπ

2 k = 0,±1,±2 LL 如图 5-6-6 中的 D、
即 E、F 等处。 波节的位置为

x=k?

λ
y

1 x = ( k + )π λ 2 1 λ x = (k + ) 2 2 即 k = 0,±1,±2 LL
如图 5-5-7 中的 O、A、B 等处。 相邻两波节(或波腹)之间的间



DA E

B F

O

x

图 5-5-6
λ

λ
距为 2 。 不同时刻驻波的波形如图 5-6-7 所示, 其中实线表示 t = 0 、 2T…… T、

λ 2

2A

1 t= T 2 、 时的波形;点线表示 3 T 2 ……时的波形;点划线表示 1 9 t= T T 8 、 8 时的波形。

波节 波腹 波节 波腹

图 5-5-7

5.5.6、多普勒效应 . . 、 站在铁路旁边听到车的汽笛声,发现当列车迎面而来时音调较静止时为高,而列车迅速 离去时音调较静止时为低,此外,若声源静止而观察者运动,或者声源和观察者都运动,也 会发生收听频率和声源频率不一致的现象,这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情 况下多普勒频移的公式: (1)波源静止观察者运动情形 c c 如图 5-5-8 所示,静止点波源发出的球面波波面是 c 同心的,若观察者以速度 vD 趋向或离开波源,则波动相 对于观察者的传播速度变为 c′ = c + vD 或 c′ = c ? vD , 于是观察者感受到的频率为

vD

D c

S c c

c vD D c

f′=

c′

λ

=

c ± vD

λ

图 5-5-8

从而它与波源频率 f 之比为

f ′ c ± vD = f c
(2)波源运动观察者静止情形 若波源以速度 vS 运动,它发出的球面波不再同 心。图 5-5-9 所示两圆分别是时间相隔一个周期 T 的 两个波面。它们中心之间的距离为 vS T,从而对于迎 面而来或背离而去的观察者来说,有效的波长为

λ ′ = λ + vsT λ

λ λ ′ = λ ? vsT

λ ′′ = λ m vS T = (c m vS )T
观察者感受到的频率为

D

D

c c cf = = λ ′′ (c m vS )T c m vS 因而它与波源频率 f 之比为 f′= f′ c = f c m vS

图 5-5-9

(3)波源和观察者都运动的情形 此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况,这时有效波速 和波长都发生了变化,观察者感受到的频率为

c′ c ± vD c ± vD = = f λ ′′ (c m vS )T c m vS 从而它与波源频率 f 之比为 f′= f ′ c ± vD = f c m vS
下举一个例 单行道上,有一支乐队,沿同一个方向前进,乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们 靠近。此时,乐队正在奏出频率为 440HZ 的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。 旅行者从车上的收音机收听演奏,发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合 后产生拍,并测出三秒钟有四拍,车速为 18km/h,求乐队前进速度。(声速=330m/s)。 解:先考虑车上听到的频率,连续两次应用多普勒效应,有

f1 =

c ? f0 c + v乐
f2 =

f 2 = (1 +
c + v车 ? f0

v车 ) ? f1 c ( f 2 为旅行者听到乐队的频率)

c + v乐 得 收音机得到频率为

f3 =

c ? f0 c ? v乐

旅行者听到广播频率为

f4 =

c + v车 ? f3 c

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又拍频为 综上得: v乐 =2.98m/s 5.5.7.声波 . . . 机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳,产生声音感觉。人耳可闻声波频 率是 16~20000 H Z 。频率超过 20000 H Z 的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿 能力。频率小于 16 H Z 的声波称为次声波。在标准情况下,声波在空气中的速度为 331m/s。 (1)声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。 回声和原来的声波在人耳中相隔至少 0.1 秒以上,人耳才能分辨,否则两种声音将混在 一起,加强原声。 室内的声波,经多次反射和吸收,最后消失,这样声源停止发声后,声音还可在耳中继 续一段时间,这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长,前后音互相重叠,分辨不清; 交混时间太短,给人以单调不丰满的感觉,这种房间不适于演奏。 (2)声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。 (3)声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在 17cm—17m 之间,与一般障碍物尺寸可相比拟,可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在 0.4— 0.8 ? m ,一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。 (4)共鸣——声音的共振现象 音叉和空气柱可以发生共鸣。 在一个盛水的容器中插入一根玻璃管, 在管口上方放一个正在发声的音叉, 当把玻璃管 提起和放下, 以改变玻璃管中空气柱的长度时, 便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。

f 4 ? f3 =

4 HZ 3

1 L = ( n + )λ n ,式中 L 为玻璃管的长度, λ 为音叉发出 在这个实验中发生共鸣的条件是:
声波的波长,n 为自然数。 5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音,嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期 性振动的声源发出的,嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。 6、音调、响度与音品为乐音三要素。 音调—基音频率的高低, 基频高则称音调高。 人们对音调的感觉客观上也取决于声源振 动的频率,频率高,感觉音调高。 响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强(单位时间内通过垂直于声波传播方向的 单位面积的能量)也大,人感觉到的声音也大。 音品—音色, 它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。 音品由声音所包含的泛音 的强弱和频率决定。

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