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【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习课件第七章立体几何第3课时


高三大一轮复习学案

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第 3 课时

空间图形的基本关系及公理

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1.了解可以作为推理依据的公理和定理. 2.理解空间直线、平面位置关系的定义. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位 置关系的简单命题.

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1.空间图形的基本关系 (1)点和直线的位置有两种: 点在直线上 和点在直线外. (2)点和平面的位置有两种:点在平面内和 点在平面外 . (3)空间两条直线的位置关系有三种: 线和

平行直线 、相交直

异面直线



(4)空间直线和平面的位置关系有三种:直线在平面内 、直线 和平面相交、 直线与平面平行 .

两平面平行和两平面相交 . (5)空间两平面的位置关系有两种:
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2.空间图形的公理及等角定理

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[基础自测] 1.下面给出了四个条件:①空间三个点;②一条直线和一 个点;③和直线a都相交的两条直线;④两两相交的三条直线, 其中能唯一确定一个平面的条件有( A.0个 C.2个 B.1个 D.3个 )

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解析:确定平面的公理的条件:“经过不在同一条直线上的 三点”,所以①是错误的;②注意到“直线与直线外的一点”, 所以②是错误的;③与直线a都相交的两条直线可能是异面的; ④两两相交的三条直线可能确定3个平面.

答案:A

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2.(教材改编题)

如图所示,将无盖正方体纸盒展开,直线 )

AB、CD在原正方体中的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交成60° D.异面成60°

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解析:由展开图可知,无盖正方体纸盒的直观图如图所示,

显然AB与CD异面,连接AE,由AE∥CD, 知∠EAB为异面直线AB、CD所成的角,连接BE, 由△ABE为等边三角形得∠EAB=60° ,故选D.

答案:D
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3.如图所示,AA1是长方体的一条棱,这个长方体中与AA1 异面的棱共有( )

A.3条 C.5条

B.4条 D.6条

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解析:依据异面直线的判定定理找与AA1异面的棱.∵AA1在 面A1ABB1内,B1在面A1ABB1内,C1不在面A1ABB1内,∴C1B1是与 AA1异面的棱.同理,BC,CD,C1D1都是与AA1异面的棱,故正 确答案为B.

答案:B

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4.(2016· 厦门联考)给出以下四种说法:(设α、β表示平面,l 表示直线,A、B、C表示点) (1)若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l? α; (2)A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB; (3)若l? α,A∈l,则A?α; (4)若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α 与β重合. 则上述说法中正确的个数是________.
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解析:(1)(2)(4)正确;如图所示,可知(3)错误.

答案:3

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5.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则 这四条直线确定平面的个数为________. 解析:由题意知这4条直线中的每两条都确定一个平面,因 此,共可确定6个平面.
答案:6

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考点一 [例1]

平面的基本性质及其应用

如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与

1 ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC∥AD且BC=2 1 AD,BE∥AF且BE=2AF,G,H分别为FA,FD的中点.

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(1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?

审题视点 (1)证明BC、GH平行且相等即可;(2)证明EF∥ CH,由此构成平面,再证点D在该平面上.
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(1)证明:由题设知,FG=GA,FH=HD,

1 所以GH∥AD且GH=2AD, 1 又BC∥AD且BC=2AD, 故GH∥BC且GH=BC, 所以四边形BCHG是平行四边形.

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(2)C,D,F,E四点共面,理由如下: 1 由BE∥AF且BE=2AF,G是FA的中点知, BE∥GF且BE=GF, 所以四边形EFGB是平行四边形, 所以EF∥BG. 由①知BG∥CH,所以EF∥CH,故EC,FH共面. 又点D在直线FH上,所以C,D,F,E四点共面.
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点共线和线共点问题,都可转化为点在直线上的问题来处 理,实质上是利用公理3,证明点在两平面的交线上,解题时要 注意这种转化思想的运用.

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1.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中 点,则这四个点不共面的一个是( )

解析:A,B,C图中四点一定共面,D中四点不共面. 答案:D
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2.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和 AA1的中点.求证:

(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
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证明:(1)连接EF、CD1、A1B. ∵E、F分别是AB、AA1的中点, ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C, ∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F四点共面.

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(2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交, 设交点为P, 则由P∈CE,CE?平面ABCD, 得P∈平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA. ∴CE、D1F、DA三线共点.
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考点二 空间中两条直线的位置关系

[例2] 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是 A1B1、B1C1的中点.问: (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由; (3)求A1C1与B1C所成角的大小.

审题视点 (1)可证得MN∥AC,故AM、CN共面;(2)利用反 证法;(3)利用A1C1∥AC.
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解 (1)不是异面直线,理由:

连接MN、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C,∴A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC,得 到MN∥AC, ∴A、M、N、C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.
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(2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体, ∴B、C、C1、D1不共面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B? 平面α,CC1? 平面α, ∴D1、B、C、C1∈α, ∴与ABCD-A1B1C1D1是正方体矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
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(3)如图,连接AB1, 由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AA1C1C为平行四边形,所 以AC∥A1C1,从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角. 由AB1=AC=B1C可知∠B1CA=60° , 即A1C1与B1C所成角为60° .

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证明两直线为异面直线的方法 (1)定义法(不易操作) (2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或 相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否 定假设,肯定两条直线异面.

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1.(2015· 高考广东卷)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α 内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的 是( ) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交
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解析:由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1,l2中 至少有一条与l相交.
答案:D

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2.(2016· 江南十校联考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为1,点M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠ 论: 2 ,有以下四个结

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①AA1⊥MN;②A1C1∥MN;③MN∥平面A1B1C1D1; ④MN与A1C1是异面直线. 其中正确结论的序号是________.(注:把你认为正确命题的 序号都填上)

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解析:过N作NP⊥BB1于点P,连接MP,可证AA1⊥平面 MNP,∴AA1⊥MN,①正确.过M、N分别作MR⊥A1B1、NS⊥ B1C1于点R、S,则当M不是AB1的中点、N不是BC1的中点时,直 线A1C1与直线RS相交;当M、N分别是AB1、BC1的中点时,A1C1 ∥RS, ∴A1C1与MN可以异面,也可以平行,故②④错误.由①正 确知,AA1⊥平面MNP,而AA1⊥平面A1B1C1D1, ∴平面MNP∥平面A1B1C1D1,故③对.综上所述,其中正确 命题的序号是①③.
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答案:①③

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考点三 异面直线所成的角

[例3] (2016· 淄博调研)正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大 小.

审题视点 (1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再 计算; (2)可证A1C1与EF垂直.
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解 (1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCD-A1B1C1D1是正

方体,易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成 的角.

∵AB1=AC=B1C,∴∠B1CA=60° . 即A1D与AC所成的角为60° .

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(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AC⊥BD,AC∥A1C1,∵E、F分别为AB、AD的中点,∴EF∥ BD,∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90° .

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求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一 般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的 端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通 常放在三角形中进行.

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1.(2015· 高考浙江卷)

如图,在三棱锥A-BCD中,

AB=

AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中 点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是________.

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解析:如图所示,连接DN,取线段DN的中点K,连接MK, CK.

∵M为AD的中点, ∴MK∥AN,
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∴∠KMC为异面直线AN,CM所成的角. ∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N为BC的中点, 由勾股定理易求得AN=DN=CM=2 2,∴MK= 2. 在Rt△CKN中,CK= ? 2?2+12= 3.

在△CKM中,由余弦定理,得 ? 2?2+?2 2?2-? 3?2 7 cos∠KMC= =8. 2× 2×2 2

7 答案:8
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2.(2016· 揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D 是AC的中点,AA1∶AB= 为________. 2 ∶1,则异面直线AB1与BD所成的角

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解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,

因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面 直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1= 3 以AB1= 3a,B1D1= 2 a,
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2 a,所

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1 2 3 2 4a +2a =2a,

AD1=

所以,在△AB1D1中,由余弦定理得,
2 2 AB2 + B D - AD 1 1 1 1 cos∠AB1D1= 2AB · 1 B1D1

3 2 9 2 3a +4a -4a 1 = =2,所以∠AB1D1=60° . 3 2× 3a× 2 a
2

答案:60°
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构造模型判断空间点、线、面的位置关系 [典例] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,

CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线 有________条.

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审题视点 找与三条异面直线都相交的直线,可以转化成在 一个平面内,作与三条直线都相交的直线.因而可考虑过一条直 线及另外一条直线上的一点作平面,进而研究公共交线问题.

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解析 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,

这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不 同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直 线都有交点.如图所示.

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另解:在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α, 因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接 PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性, 知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.

答案 无数

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失分警示

本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少

学生不会构造平面,因此失分较多.这说明学生还是缺少空间想 象能力,缺少对空间直线位置关系的理解. 备考建议 1.学会观察、画图是成功的第一步.

2.理解公理、定理内容并且要了解其作用和意义. 3.要学会如何将已知条件转化为定理条件,并使用定理进 行判断.

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◆三个公理的作用 (1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由 直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理2的作用:确定平面的依据,它提供了把空间问题转 化为平面问题的条件. (3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两相交平面的交 线;③证明多点共线.
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