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迎初赛苦练本领系列训练天天练050答案


迎初赛苦练本领系列训练天天练 050 答案
(2013 年 4 月 5 日) 姓名 ____________ 得分 ____________ 一、填空题( 4 ?10' ? 40' ) 295.若集合 A 中的每个元素都可表为 1,2,┅,9 中两个不同的数之积,则集合 A 中元素个数的 最大值为 ________ 解:从 1,2,┅,9 中每次取一对作

乘积,共得 C92 ? 36 个值; 但其中有重复,重复的情况为:

1? 6 ? 2 ? 3, 1? 8 ? 2 ? 4, 2 ? 9=3? 6, 2 ? 6 ? 3? 4, 3? 8 ? 4 ? 6 ,共 5 种,
因此集合 A 中至多有: C92 ? 5 ? 31 个数. 296.设函数 f ( x) 的定义域为 R ,若 f ( x ?1) 与 f ( x ? 1) 都是关于 x 的奇函数,则函数 y ? f ( x) 在区 间 [0, 100] 上至少有 ________ 个零点. 解:易知: f (2k ? 1) ? 0 , k ? Z ,可看作一个函数 f ( x) 满足问题中的条件, 且 f ( x) 的零点恰为: x ? 2k ?1 , k ? Z ,所以至少有 50 个零点. 297.在三棱锥 A ? BCD 中,已知 ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? , 且 cos ? ?

10 ;已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 ________ 10
A

解:三棱锥的四个面均为全等的等腰三角形, 右图中,绿色的线是腰,蓝色的线是底,红色是中线; 其底为 6 2 且底角的余弦值为

10 ; 10

D B M C

1 可计算体积: V ? S?ABM ? CD ,得三棱锥的体积为 144. 3
298.设复数列 {xn } 满足 xn ? a ? 1, 0 且 xn ?1 ?

axn ;若对任意 n? N* 都有 xn ? 3 ? xn , xn ? 1

则 a 的值是 ________ (预习选修 2-2 最后一章) 解:由 xn ?1 ?
a 3 xn axn axn ? 2 a 2 xn ?1 ? xn 恒成立, , xn ? 3 ? ? ? 2 xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn ?1 ? 1 ? a ? a ? 1? xn ? 1

即 ? a 2 ? a ? 1? xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 ;而 xn ? a ? 1 或 0,因此只有: a 2 ? a ? 1 ? 0 ;

1

1 3 所以 a ? ? ? (其实就是一个数列题,只是最后求解,是复数而已) i. 2 2
二、解答题( 2 ? 30' ? 60' ) 299.设整数列 {an } 满足: a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次成等比数列; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? am am?1am? 2 . 解: (1)设数列前 6 项的公差为 d,则 a5 ? ?1 ? 2d , a6 ? ?1 ? 3d ,d 为整数; 又 a5 , a6 , a7 成等比数列,所以 (3d ? 1)2 ? 4(2d ? 1) , 即 9d 2 ? 14d ? 5 ? 0 ,得 d ? 1; 当 n ? 6 时, an ? n ? 4 ; 由此 a5 ? 1 , a6 ? 2 ,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2;
?n ? 4, 1 ? n ? 4 所以,当 n ? 5 时, an ? 2n ?5 ;故 an ? ? n ?5 . n?5 ?2 ,

(2)由(1)知,数列 {an } 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,┅ 当 m ? 1 时,等式成立,即-3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m ? 3 时,等式成立,即-1+0+1=0; 当 m ? 2、 时,等式不成立; 4 当 m ? 5 时, am am?1am? 2 ? 23m?12 , am ? am?1 ? am? 2 ? 2m?5 (23 ? 1) ? 7 ? 2m?5 ; 然而 7 ? 2m?5 ? 23m?12 ,所以 am ? am?1 ? am? 2 ? am ? am?1 ? am? 2 ; 故所求的 m 的值为:1 或 3. 300.求所有正整数 x , y ,使得 x 2 ? 3 y 与 y 2 ? 3x 都是完全平方数. 解:若 x ? y ,则 x2 ? 3x 是完全平方数; ∵ x2 ? x2 ? 3x ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)2 ,∴ x 2 ? 3x ? ( x ? 1)2 ,∴ x ? y ? 1 ; 若 x ? y ,则 x2 ? x2 ? 3 y ? x2 ? 3x ? x 2 ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2)2 ; ∵ x 2 ? 3 y 是完全平方数,∴ x 2 ? 3 y ? ( x ? 1)2 ,得 3 y ? 2x ? 1 ,由此可知 y 是奇数; 设 y ? 2k ? 1 ,则 x ? 3k ? 1, k 是正整数; 从而有: y 2 ? 3x ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 9k ? 3 ? 4k 2 ? 13k ? 4 是完全平方数, 且有: (2k ? 2)2 ? 4k 2 ? 8k ? 4 ? 4k 2 ? 13k ? 4 ? 4k 2 ? 16k ? 16 ? (2k ? 4) 2 ; ∴ y 2 ? 3x ? 4k 2 ? 13k ? 4 ? (2k ? 3)2 ,解得 k ? 5 ,从而求得 x ? 16, y ? 11 ; 若 x ? y ,与 x ? y 情形类似(对称式) ,可求得 x ? 11, y ? 16 ;
2

综上所述: ( x, y) ? (1, 1)、(11, 16)、(16, 11) 共三组解.

3


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