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2015必修5正弦定理与余弦定理的应用


高中数学新课标复习讲座之必修 5 正弦定理和余弦定理的应用

石嘴山市光明中学 潘学功

必修 5 正弦定理和余弦定理的应用
【课前测试】 1、 (2014 市三月考)在△ABC 中,已知 b ? 4 3 , c ? 2 3 , ?A ? 120? ,则 a ? ( A.6 A.60° A.等腰 A.10 A. 4 3 B. 2 21 B.60°或 120° B.直角 B. 10 3
?

)

C. 2 21 或 6 C.30°或 150° C. 锐角 C. 10 5
?

D. 2 15 ? 6 3 ) D.120° )三角形 D. 等腰或直角 ) km D. 10 7 ) D. 3
2

2、 (2014 市三月考)在△ABC 中,已知 a ? 1 , b ? 3 , ?A ? 30? ,则 B ? ( 3、 (2015 市三月考)在△ABC 中, a cos A ? b cos B ,则△ABC 是(

4、已知 A、B 两地相距 10km,B、C 两地相距 20km,且∠ABC=120°,则 A、C 两地相距 ( 5、 (2012 广东)在△ ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? ( B. 2 3 C. 3

1 1 ? ? 2? ) ? ( , tan ? ? ,则 tan( ) 7 3 1 5 1 A. B. C. 1 D. 2 7 7 7、 (2010 湖北)在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =( )
6、 (2013 市三月考)若 tan ? ? A.- 2 2 3 B. 2 2 3 C.- 6 3 D. 6 3

8、 (2012 湖南)在△ABC 中,AC= 7 ,BC=2,B =60°,则 BC 边上的高等于 A.

3 2

B.

3 3 2

C.

3? 6 2

D.

3 ? 39 4
D C

9、 (2012 四川)如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 , 连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( ) A.

3 10 10
7 25

B.

10 10

C.

5 10

D.

5 15

E

A

B

10、 (2012 天津)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=

7 7 24 C. ? D. 25 25 25 2 2 2 11、 (2012 上海)在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是(
A. B. ? A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 12、 (2014 市三月考)设 a ? sin 14? ? cos 14? , b ? sin 16 ? ? cos 16 ? , c ? 则 a , b , c 的大小关系是( A. a ? b ? c 【知识解读】 1、正弦定理: ) C. c ? b ? a

) D.不能确定

6 , 2

B. b ? a ? c

D. a ? c ? b

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 表示三角形的外接圆半径) sin A sin B sin C

变式: (1) a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ; (2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C ;
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(3) sin A ?

a b c ,sin B ? ,sin C ? 。 2R 2R 2R

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2、余弦定理: b = a ? c ? 2ac cos B ;cosB= a ? c ? b ; b ? c ? 2bc cos A ? a 。 2ac

4、在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ;若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 A ? B 或 A ? B ? 90? 。 5、 在△ABC 中,A ? B ? sin A ? sin B 。 6、 三角形的面积: S ? 【例题示范】 〖例 1〗 (2014 市三月考)已知在面积为

1 1 1 bc sin A ? ac sin B ? ab sin C 。 2 2 2

3 的△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c , 2

且 a 、 b 、 c 成等差数列, B ? 30? 。 (1)求 ac ; (2)求边 b 。

〖例 2〗 (2013 重庆)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c 。
2 2 2

(1)求 C ;(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值。 , ? 2 5 cos ? 5

由题意得

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〖例 3〗 (2013 四川)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

A? B 3 cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 。 2 5 ? ??? ? ??? (Ⅰ)求 cos A 的值;(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影。 3 2 A? B cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos ? A ? C ? ? ? ,得 【答案】解: ? ? ? 由 2cos 2 5 3 ? ?cos ? A ? B ? ? 1? ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? cos B ? ? 5 , 3 即 cos ? A ? B ? cos B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? , 5 3 3 则 cos ? A ? B ? B ? ? ? ,即 cos A ? ? 5 5 3 4 ? ?? ? 由 cos A ? ? 5 ,0 ? A ? ? ,得 sin A ? 5 ,
且 2 cos
2

由正弦定理,有

a b b sin A 2 ? ? ,所以, sin B ? . sin A sin B a 2
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由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ? 根据余弦定理,有 4 2

?

4

.

?

?

2

? 3? ? 52 ? c 2 ? 2 ? 5c ? ? ? ? , ? 5?

解得 c ? 1 或 c ? ?7 (舍去). 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为 BA cos B ?

??? ?

??? ?

??? ?

2 2

b, 〖例 4〗 (2012 宁夏) 已知 a , B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 。 c 分别为△ABC 三个内角 A,
(1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。 【解析】 (1)根据正弦定理

a b c ? ? ? 2R , sin A sin B sin C

得 a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C , 因为 a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 , 所以 (2R sin A) cosC ? 3(2R sin A) sin C ? 2R sin B ? 2R sin C ? 0 , 即 sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0 , (1) 由三角形内角和定理,得 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C , 代入(1)式得 sin A cosC ? 3 sin A sin C ? sin A cosC ? cos A sin C ? sin C ? 0 , 化简得 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C , 因为 sin C ? 0 ,所以 3 sin A ? cos A ? 1,即 sin( A ?

?

6 5? ? ? ? 而0 ? A ? ? ,? ? A? ? ,从而 A ? ? ,解得 A ? 。 6 6 6 6 6 3

)?

?

?

1 , 2

(2)若 a ? 2 ,△ABC 的面积为 3 ,又由(1)得 A ?

?

3



? ?1 bc sin ? 3 ? ?bc ? 4 ?2 3 则? ,化简得 ? 2 , 2 ?b ? c ? 8 ?b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? a 2 ? 4 ? 3 ? 从而解得 b ? 2 , c ? 2 。
【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。

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