直线的倾斜角与斜率关系探究

直线的倾斜角与斜率关系探究
一、实验内容 直线的倾斜角与斜率关系探究，包括以下三个部分 （1）探究过两点的直线的斜率公式 （2）探究两直线平行和垂直的判定条件 （3）探究直线与线段相交时的倾斜角与斜率的取值范围问题 二、设计理念 通过观察直线斜率的变化过程，掌握直线位置关系与斜率之间的关系，并通 过探究逐步学会数学中猜想-论证的方法，培养学生的数学探究能力． 三、实验过程 1. 探究问题 给定两点 P ( x1 , y1 ) ， P ( x2 , y2 ) （ x1 ? 1 2 探究过程 （1） 作一条直线 PP （倾斜角为锐角） ，并测量点 P , P2 的直角坐标； 1 2 1 （2） 尝试利用《超级画板》有几种方法可以测出该直线的斜率； ① 方法一：选中直线，测量斜率 ② 方法二：选中直线，测量倾斜角，测量倾斜角 的正切值 ③ 方法三：测量 PQ 与 QP ，并计算 2 1 ，求直线 PP 的斜率 k x2 ） 1 2

QP2 PQ 1

④ 方法四：改进自方法三，即测量

y2 - y1 x2 - x1

⑤ 方法五：......(自由发挥，学生想出其他方案) （3） 由以上方法归纳斜率公式； （4） 仿照以上方法自行验证当倾斜角为钝角时的斜率公式； 探究结果 经过两点 P ( x1 , y1 ) ， P ( x2 , y2 ) （ x1 ? 1 2

x2 ）的直线的斜率公式

1

k=

y2 - y1 x2 - x1

互动交流 运用上述公式时，与 P , P2 两点的坐标的顺序无关。 1 当直线平行于 y 轴，或与 y 轴重合时，上述公式不成立。 2. 探究问题 探究两直线平行和垂直的判定条件 探究过程 （1） 做出直线 AB 与它的一条平行线 CD，分别测量其斜率 k1 , k2 ； （2） 拖动点 A、B 改变其倾斜角，观察直线 AB 与其平行线 CD 的斜率之间的关系； （3） 以相同的斜率 k 做 2 条直线，拖动表示 k 的滑动块，观察两直线的位置关系。 （4） 请学生参考上述方法，尝试自行设计实验验证 l1 ^ l2 的充要条件是 k1 ? 2 =-1 k ．．．． 探究结果 由步骤（1） （2）可得 l1 / /l2 ? k1 由步骤（3）可得 k1 = k2

k2

l1 / /l2

\ k1 = k2
l1 ^ l2
3.

ì l1 / /l2 ? í ? 或l1与l2重合 ?
k1 ? 2 =-1 k

探究问题 经过点 P(0,-1)作直线 l ，若直线 l 与连接 A（1，-2） ，B（2，1）的线段总 有公共点，找出直线 l 的倾斜角 a 与斜率 k 的取值范围。 探究过程 （1） 做出线段 AB 与点 P，过 P 点作斜率为 k 的直线； （2） 拖动斜率 k 的滑动块，观察何时直线 l 与线段 AB 有公共点； （3） 若将点 A 的坐标改为（-1，2） ，观察情况有怎样的改变 探究结果 斜率 k 的取值范围为 - 1,1 ，倾斜角 a 取值范围为 犏 -

[

]

轾p p , 犏4 4 臌

若将点 A 的坐标改为（-1，2） ，此时斜率 k 与倾斜角 a 不再是一个连续的区
2

间 ， 斜 率 k 的 取 值 范 围 为 - ? , 3 ? 1, +

(

] [

) ，倾斜角 a 取值范围为

纟p 轹 p p 琪 , - arctan 3? ? , 琪 ?滕 2 4 棼2

互动交流 若线段 AB 穿过 y 轴（即与 y 轴有交点） ，则斜率 k 与倾斜角 a 的取值范围 将被分为两个区间。

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