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直线的倾斜角与斜率关系探究


直线的倾斜角与斜率关系探究
一、实验内容 直线的倾斜角与斜率关系探究,包括以下三个部分 (1)探究过两点的直线的斜率公式 (2)探究两直线平行和垂直的判定条件 (3)探究直线与线段相交时的倾斜角与斜率的取值范围问题 二、设计理念 通过观察直线斜率的变化过程,掌握直线位置关系与斜率之间的关系,并通 过探究逐步学会数学中猜想-论证的方法,培养学生的数学探究能力. 三、实验过程 1. 探究问题 给定两点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ( x1 ? 1 2 探究过程 (1) 作一条直线 PP (倾斜角为锐角) ,并测量点 P , P2 的直角坐标; 1 2 1 (2) 尝试利用《超级画板》有几种方法可以测出该直线的斜率; ① 方法一:选中直线,测量斜率 ② 方法二:选中直线,测量倾斜角,测量倾斜角 的正切值 ③ 方法三:测量 PQ 与 QP ,并计算 2 1 ,求直线 PP 的斜率 k x2 ) 1 2

QP2 PQ 1

④ 方法四:改进自方法三,即测量

y2 - y1 x2 - x1

⑤ 方法五:......(自由发挥,学生想出其他方案) (3) 由以上方法归纳斜率公式; (4) 仿照以上方法自行验证当倾斜角为钝角时的斜率公式; 探究结果 经过两点 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) ( x1 ? 1 2

x2 )的直线的斜率公式

1

k=

y2 - y1 x2 - x1

互动交流 运用上述公式时,与 P , P2 两点的坐标的顺序无关。 1 当直线平行于 y 轴,或与 y 轴重合时,上述公式不成立。 2. 探究问题 探究两直线平行和垂直的判定条件 探究过程 (1) 做出直线 AB 与它的一条平行线 CD,分别测量其斜率 k1 , k2 ; (2) 拖动点 A、B 改变其倾斜角,观察直线 AB 与其平行线 CD 的斜率之间的关系; (3) 以相同的斜率 k 做 2 条直线,拖动表示 k 的滑动块,观察两直线的位置关系。 (4) 请学生参考上述方法,尝试自行设计实验验证 l1 ^ l2 的充要条件是 k1 ? 2 =-1 k .... 探究结果 由步骤(1) (2)可得 l1 / /l2 ? k1 由步骤(3)可得 k1 = k2

k2

l1 / /l2

\ k1 = k2
l1 ^ l2
3.

ì l1 / /l2 ? í ? 或l1与l2重合 ?
k1 ? 2 =-1 k

探究问题 经过点 P(0,-1)作直线 l ,若直线 l 与连接 A(1,-2) ,B(2,1)的线段总 有公共点,找出直线 l 的倾斜角 a 与斜率 k 的取值范围。 探究过程 (1) 做出线段 AB 与点 P,过 P 点作斜率为 k 的直线; (2) 拖动斜率 k 的滑动块,观察何时直线 l 与线段 AB 有公共点; (3) 若将点 A 的坐标改为(-1,2) ,观察情况有怎样的改变 探究结果 斜率 k 的取值范围为 - 1,1 ,倾斜角 a 取值范围为 犏 -

[

]

轾p p , 犏4 4 臌

若将点 A 的坐标改为(-1,2) ,此时斜率 k 与倾斜角 a 不再是一个连续的区
2

间 , 斜 率 k 的 取 值 范 围 为 - ? , 3 ? 1, +

(

] [

) ,倾斜角 a 取值范围为

纟p 轹 p p 琪 , - arctan 3? ? , 琪 ?滕 2 4 棼2

互动交流 若线段 AB 穿过 y 轴(即与 y 轴有交点) ,则斜率 k 与倾斜角 a 的取值范围 将被分为两个区间。

3


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