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2014届高三临界生辅导材料(十八)


2014届高三临界生辅导材料(十八)
1 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? Asin ??x ? ? ?( A ? 0, ? ? 0, ? ?

?
2

)的部

P, Q 是这部分图象与 x 轴的交点 分图像, (按 图所示) , .


函 数 图 象 上 的 点

R







| RP |? 11,| RQ |? 3 3, cos ?RPQ ?
(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的周期;

3 11 . 11

(Ⅱ)若 P 的横坐标为 1,试求函数 y ? f ? x ? 的解析式,并求 f ?

?4? ? 的值. ?3?

1

2、 (本小题满分 12 分)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并 将所得数据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是 [0,100] ,样本 数据分组为 [0, 20) , [20, 40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] . (Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿, 请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ)从学校的新生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学所需时间
x
0.0065 0.003 频率 /组距 0.025

O

20

40

60

80

100

时间

少于 20 分钟的人数记为 X ,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少 于 20 分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率)

2

3、 (本小题满分 14 分)如图 5,正△

ABC 的边长为 4,CD 是 AB 边上的
高, E , F 分别是 AC 和 BC 边的中点, 现将△ ABC 沿 CD 翻折成直二面角

A ? DC ? B .
(1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的 位置关 系,并说明理由; (2)求二面角 E ? DF ? C 的余弦值; (3)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使 AP ? DE ?如果存在,求出 在,请说明理由。

BP 的值;如果不存 BC

3

4、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率是 ,其左、右顶 2 2 a b

点分别为 A1 , A2 , B 为短轴的端点,△ A 1 BA2 的面积为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)F2 为椭圆 C 的右焦点, 若点 P 是椭圆 C 上异于 A1 ,A2 的任意一点, 直线 A 1P ,A2 P 与直线 x ? 4 分别交于 M , N 两点,证明:以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于点 F2 .

4

过点 R 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,在 RT ?PHR 中, | PR |? 11, cos ?RPQ ?

3 11 ,? 11

?? ? | PH |? 3 , | RH |? 2 , R 4, 2 ,? A sin ? ? ? ? ? 2 , A ? 2 . …..10 分 4? ?

?

?

?? ?? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , 4? ?4
则f?

? ? ? ? 6? 2 ?4? ?? ? ? . ? ? 2sin ? ? ? ? 2sin 3 cos 4 ? 2 cos 3 sin 4 ? 2 ?3? ?3 4?

…….12 分

2 解: (Ⅰ)由直方图可得: 20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 . 所以 x = 0.0125 . ………………………………………2 分 (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 ,…4 分 因为 600 ? 0.12 ? 72 ,所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. …5 分 (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4.………………………………………6 分 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为
4
3

1 , 4

81 ? 3? , P( X ? 0) ? ? ? ? ? 4 ? 256

? 1 ?? 3 ? 27 P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? , ? 4 ?? 4 ? 64
1 4

5

27 3 ?1? ? 3? 3 ?1? ? 3? P( X ? 2) ? C2 , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? , 4? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64

2

2

3

1 ?1? . P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256
所以 X 的分布列为:

4

………………………10 分

X P
EX ? 0 ?

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

81 27 27 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4
………………………………………12 分

所以 X 的数学期望为 1.

6

? c 1 ? a ? 2, ? ? 4.(Ⅰ)解:由已知 ? ab ? 2 3, 解得 a ? 2 , b ? 3 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ? ?
故所求椭圆方程为

…4 分

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

…………5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 A 1 ? ?2,0? , A 2 ?1,0? .设 P x0 , y0 2 ? 2,0 ? , F
2 2 3x0 ? 4 y0 ? 12 .于是直线 A1P 方程为 y ?

?

?? x

0

? ?2 ? ,则

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得 yM ? 0 ;所 x0 ? 2 x0 ? 2
所以 F2 M ? ( 3,

以 M ( 4,

6 y0 2 y0 ) ,同理 N ( 4, ). x0 ? 2 x0 ? 2

?????

???? ? 6 y0 ) , F2 N ? ( 3, x0 ? 2

????? ???? ? 2 y0 6 y0 2 y0 ) .所以 F2 M ? F2 N ? ( 3, ) ? ( 3, ) x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2
? 9?
2 3 ?12 ? 3 x0 ? ? 9 ? 9 ? x02 ? 4 ? ? 9 ? 9 ? 0 . 6 y0 2 y0 12 y 2 ? ? 9? 2 0 ? 9? 2 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4 x0 ?4 x0 ?4

7


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