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2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答


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20 年第 6 05 期 

中学数学月刊 

? 7? 4  

2O 年全国高中数学联赛江苏赛区     O5 初赛试题及解答 




选择题( 本题满分 3 分 , 6 每小题 6分)  

中 点, 那 么 四 面 体 B 一 F 的 体 积 是  。 G E

1函 一  ) 象 量a ÷, 平移   . 数y 厂 的图 按向 =( 2 ) 后,
l. 个数字 12 3 1 由3 ,, 组成的 5 位数中,, ,都至少  123

得到的图 解析 象的 式为Y i +÷) ,   —s  n +2那
么 Y一 厂 )   的解析式为(  
(   — sn A) i  (  — s   + 2 C) i n  

出现 1 这样的 5 次, 位数共有 

.  

) .  

1.已知平面上两个点集 M = { , ) I y+  2    ) I    +

(   — CS B) O  (   — CS + 4 D) O   

1≥  ̄ : ‘   ,   I    


,,   ∈R , ) N={ ,) I (  I      
.  

nI I 1 ≤ 1 , R .  + y一   l , Y∈ )若  nⅣ ≠ 


2 如果二次方程  一p . x—q= Op q∈N。 的正  (, ) 根小于 3那么这样的二次方程有( ,  
( 5 A) 个  ( ) 个  B6 ( ) 个  C7
1  

则 n的取值范围是 

) .  
( ) 个  D8

三、 解答题 ( 3 、 1 题各 1 分, 1 题、 1  第1 题 第 4 5 第 5 第 6
题各 2 4分 )  

3 > >0 么   南 ? 设n b , n 那 +
(   ) .   ( )  B 3 ( 4 C)   ( 5 D)   ( 2 A)  

的小 是 最 值 

l.已知点 M 是 △A C的中线 A 3 B D上的一点 , 直线 

B 交边A M C于点 Ⅳ, B是 /NB 且A X C的外接 圆   的切线 , 设  = 试求   , ( 用 表示) .  

4 设 四棱锥 P A C . — B D的底面不是平行四边形 , 用平  面a 去截此 四棱锥 , 使得截面四边形是平行 四边 
形, 则这样 的平面 a  ( ( 不存在  A) () C 恰有 4 个  ) .   () B 只有 1 个  () D 有无数多个 

1. 4 求所有使得下列命题成立的正整数n n 2 : ( ≥ )对 

于 意 数 。: , 当∑薯=0 , 有 任 实  , ,  ,  … 时总   ∑  +≤0 中   1 。 (  +一X . 其 )  
1. 5 设椭圆的方程为  +   一1 >6 0,   > )线段  P Q是过左焦点 F且不与  轴垂直的焦点弦. 若  在左准线上存在点 R, /P R为正三角形 , 使 xQ 求  椭圆的离心率e 的取值范围, 并用 e 表示直线P   Q
的斜率.  

5 设 数 列 { )n . n :0= 2n 一 1 , +   ,l 6a 2— 1a+ 一   6.l  

6a, ∈ N 则 n。 被 6 除的余数为( 3 , l  , :  4 。  
( 0 A)   ( )  B 2 ( 1  C) 6 ( 4  D) 8

) .  

6 一条走廊宽 2 长 8 用 6 .   m,   m, 种颜色的 1 1   ×   m 的 整块地砖来铺设 ( 每块地砖都是单色的 , 每种  颜 色的地砖都足够 多) 要求相邻的两块地砖颜  , 色不同, 那么所有的不同拼色方法有(  
( 3。 A)0 种 ( )0× 2  C3 0种 ( )0× 2  B3 5 种  ( )0× 2  D3 1 种 

) .  

1.() 7 7∈ N。 个棱长为正整数的正方体的 6 1 若 ll ( )   体 积之和等于 20 5 求  的最小值 ,  0 , 并说 明理 
由;  

二、 填空题 ( 本题 满分 3 6分, 每小题 6   分)

() 2 若 ( N )  ∈   个棱长为正整数的正方体的   体积之和等于 2 0  ,   2 求  的最小值 , 0 并说明  

7 向  绕 0 时 旋 詈得 量 且 . 量 点 逆 针 转 向    设
2 +     一 (,)  ̄ o   79 , 则r - - g= .  
8 设无 穷数列 { 的各项都是正数 ,  .  ) S 是它的前  项之和, 对于任意正整数 , 与 2 n   的等差中项等  于S与 2   的等比中项, 则该数列的通项公式为 n .  


理 由.  

参考答案 


选择题 

1 —ix 詈 + ] y 1 .选 . s ( ) 詈, =0 故   Y n+ f 即 2 s  
9 函数 Y= I S I I S s  ∈R 的最小值是  . C   + C  o O O21 )
l. 0 在长方体 A C — l ll 中, B一 2A — B D A B CDl A , Al  

B  2 由A= P +4 > 0 一q 0知方程的根为  . .   g , < ,


正一负. 厂    一 p 设 ()= x—q 则 厂 3 = 3   , ()  一

3 户一q 0 即 3 > , 户+ q 9 由于 P q∈N。 所以 P < . , ,  


A D一 1点 E F, , , G分别是棱A , l 与B    - D- C的 c

1q 5 ,≤ 或P一 2q 2 于是共有 7 户 g 符合  ,≤ . 组( ,)

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? 8? 4  

中学数学月刊 

20 05年第 6 期 

题意. 故选 C  3 由 n b 0可知 0 ba b  . . > > , < (— )


手 ( 号 ≤ “ 以z 一 一 ) z ,   6   1, n 所 +
“ 

≥  

n+{ ≥4故选C 4   . . .  
设 四棱锥的两组不相邻的  侧面 的交线 为 m, 直线   ,
m,  确定 了一个平面 . 作 

J p  

与 平行的平面 a与四棱  , 锥 的各 个侧 面相截, 则截 
得的四边形必为平行四边 
8 

H, AH 一÷. 使   易证,  
HE I BG.   I 匾   f   H  
BF . V lF — V —1 lG 故 BEG — eB G—V —F V .m 而  F H1 B G— c l B

形. 而这样 的平 面 a 有无  数多个. 故选 D 5 数列  . .

图1  

s 一 , 平 B H 距 为 . V-  △ 号G 面 - 的 离 1 BF B 到 F 故 1 E G


{  模 6 周期地为 21 , , 1 , 又 2 0 被  n} 4 ,6 一2 一 6 …  5 0 4 除余 1 故选 C 6 铺第一列( , . .   两块  地 砖 ) 3 种方法 , 有 O 其次铺第二列.  
设第- N的两格铺了A, - B两色 (   如图 2, )那么, 第二列的上格不能铺 A色.  

÷. 1. 位数中, 只出 次, j :   1在5 若1 现1 有C(   c

+ C + c) 7 个 ; 1 : 1 = 0 若 出现 2 有 C ( ; C ) 次, iC + ;  

曰   口
图2  

一 6 个; 1出现 3 有 CC 一 2 个. 0 若 次, i ; 0 则这样的 5   位数共 有 1O个. 5  
1. 2 由题意知 M  是 以原点为焦点 ,   直线  +y+ 1   =
4  


Y/   


若铺 B色, 则有( — 1 种铺法 ; 6 ) 若不  铺 B色, 则有( —2  6 )种方法. 于是第 


7  
4   6  

N上共有 2 种铺法. 1 同理 , 若前一列铺好, 则其后  列都有 2 种铺法. 1 因此, 共有 3 × 2 种铺法. O 1   故 

0 为准线的抛物线 




上 及其 凹 口内 侧 
的 点 集, 是 以 N  

2  

\  
图4  

选 D  .

二、 填空题 

(,) n 1 为中心的正 

7 设  .
2   + 

一(   ,  ,) 则 方 一 (   , , 以 一  ) 所  
= (m —  ,  +  )一 ( ,) 2 2 7 9 .即 

方 形 及 其 内部 的 

点集( 如图 4 . )考察 M   一 时 , 的取值范围: nN   n  

f I  ~  ’得 解 
m+ 2 n一 9  .
1  

{2 rg  3 一- -   ,
1  1

令 一1代入方程 I+ ,    +1 一  ̄   / I ,  
一 ( 一 
0  

,  

,  

得 z  一2 ,  =2  ̄ 所以,     一4 :o解得 士 / ,  . 当n <2  ̄  一1 1  ̄ 时, nN一 ③. 一 / 广   / 广 M      

【 了‘  一  

警.. 题   )8 意  由 知
±  ① 由 。 s 得 8   。     。 -  


一  

,即 s    一

令  一2代入方程 I + ,    +1  ̄    / I ,  

,  



一  ̄  , / 从而n , 。  
_   ) 于 卜 ( ≥2 ②,    
一   (  

得 一6 一1 ,  z   一o解得 一3  ̄ 所以,   士 / , 而. 当n >3  ̄ 时,      ④. + / 广 MnN一 综合③与④可知,  

:2又由① 式得s一 : .  。  
是有  一 s 一 s一   。 .  =

当1   一

≤  ≤3   +

, ∈[ 一 i , 即n 1    

3  ̄ + / 时, nN≠ . , 而] M     故填[ 一  ̄ ,+ 1 / 3  ,  
] .  
三、 解答题  1.在 AB N 中, Mee u 定 理得 M   3 C 由 nl s a B ? .   = 1 因为 B . D— D 所以而 一  C C, ,B M A


≥ 2, )整理得 ( + a-)n 一 n一 — 4 = G, n n   n1(   1 ) ; .   因

> 0n一 > O 故n 一n一 =4 n 2 ,1 2所以 , 1 ,   .1 ( ≥ )n — ,     数列 { } n 是以 2为首项 、 为公差 的等差数列 ,   4 其通  项公式为 n 2+ 4n一 1 , n 一 4  = ( ) 即   n一 2n∈ (  

N?. 9 令t I s I [ ,3则 Y—t I    ) . — c   ∈ O1,   o + 2一 t
1.    当 I ≤ f 1 , 2 +f —2     ≤ 时  一 f 一1 0+ 1)  

由  

A N 一 A B, AA N    C 则   = B   c 知 B c AA B, A o B  
CB



詈   ≤≤; ≤   时— ,≥   2。r ,  得 当 <  

所以A  B


AC
?  

=丽



(   A— 器) C 

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20 年第 6 05 期 

中学数学月刊 

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( 。  ) ,因此丽   B M= ( 。丽 故M   ) B 丽— 。C B 又 

。  

—: 一 的焦点弦P 它的中垂线交左准线于 R, Q,  
 ̄3 0 1 /P—  
广= 

由上述运算知 , M I   I R 一

IQI故 /P R为正  P . kQ

三角形 , f Ff f Ff 则 由对 称性 得 志Q一 若 P > Q , ,  
1。当 一 2 由 z + 4   时, 1  


z :0 得 zz 2= , 12+ zz   2l=


志2 。 <, 椭   —(   ̄   1以圆 +21 / 3 P 所 y 口 >


1 ?    

“  

2 } 0 所 以  = 2 x≤ 。 时命题 

图 5  

厂 i 

成 立 ;   = 3 , z + z  当 时 由 l 2 + z — 0  得 zz + xz + 3 , l2 23  zz 3l  

b> 0 的离心率 的取值范围是 ∈ ( )   线 P 的斜率为 士 —=  Q .  

, )直  1,

= ±= ± :   兰 兰   二 垒±=±垡 !   兰    
2  

 ̄ 30 1 /P—  

1。1 6 ()因为 1。 10 0 l。 13 11。   0 一   0 ,1 一   3 ,2 一
1 2 ,3 一 217 1。 20 5 1。故  ≠ 1 因   81。  9 ,2 <  0 < 3 , 7 。 


二 叠二   - ±  

≤o所以  =3 时命题成立;   当

为 20 5 1 2 + 15 15 2  0 —   8 2 + 2 + 7— 1。 5 + 7 2+ 。  
= 4 由z + z + +z  0得 zz + zz + 时, l 2   4 , l2 23  
z z + z z 一  l z ) z +  4 34 4l + 3(2 )= 一 ( 2 z )  z + 4。

5+ 3, 。 。所以存在 一4 使  ≤ 4若 一 2因 1。 , . , O  
+ 1。 20 5则最大 的正方体边长 只能为 l 或  O<  0, 1 1, 2计算 205一 l。 6420 5— 1。 2 7而   0 1 = 7 , 0 2 一 7, 64 27 7 与 7 均不是完全立方数,   = 2 所以 不可能是  的最小值 ; 若 =3 设此三个正方体 中最大一个的 ,   棱长为z, 3 ≥ 205 3 。知最大的正方体  由    0 > ×8 , 棱长只能为 9 1 ,l 1. ,0 1 或 2  
由于 20 5 3× 9, 0 5— 2× 9 = 5 7  0 < 。2 0   。 4,   2 0 — 9 一 2×8 > 0所以z≠ 9 由于 2 0 —   5 0 。 。 , ;   5   0
2 × 1 。一 5 2 0 5— 1 。 9 0 , 0 0 一 。一 2 6,   0 7 20 5— 1 。 0 一 

≤ 0所 以 ,  一 4 时命题成立 ;  ≥ 5 令 z =z  当 时, 。 2

=1   一 幽= 5 一  = 测 ∑矗 , , 一 2 z一 z o =0  
—l  

但∑z 。 1 ,对于 ≥5 题 成 . 上  + >o 一 故   命 不 立综  
月 1 一  

可知, 使命题成立 的自然数是  = 23 4 ,,。  
1。 5 如图 6设线段 尸 , Q的中点为M. 过点 尸, , M  Q 分 别作 准线 的垂线 , 足分别 为 P , ,  则  垂     Q,

I MM  1一 I FI Q ) 了
=  

- I v I+ IQ I  1( (v   Q  )=  

+  

8 = 4320 5 1。 。 9 , 0 — O 一2 7 > 0所 以z 1 ;     × 。 , ≠ 0由


假 设 存 在 点 R,则 IM I一 R  

于 20 5— 1 — 8 = 1 2 20 5 l。 7 = 3 1   0 1 0 s 6 ,  0 一 1 一 。 3,

2 0 — 1。 2× 6 > 0 所以 z≠ l ;   5 0 1一 。 , 1 由于 20 5  0 


1。 6 = 6 , 0 5 1。 5 = 12 5, 2 一 。 12 0 — 2 一 。   5 > 。所 


2 IQI所 以,   P ,  
>  . 于是 ,  
=  c s 尺M M '=  o 

 

以 ≠ 1.   2 因此  一 3 不可能是  的最小值. 综上所 

述, 4  一 才是  的最小值.  
() 2 设  个正方体 的棱长分别是 z ,z…,  。z , z ,  

则 z + z + … + z 一 202 ⑤. 202 三 } 2 :   0。  。 由  0 三  三
4mo  )4 E  ( d 9 , 202 E 。 j  ( d9 ,。 1mo  ) 得   0。   4  

4 ” 三 (。“ ×4三4mo  ) 又当z∈N。 “   三 4)。 三 ( d9 ⑥。 三 三  
时,。三0 士 1m d9 , 以z ≠ 4ro )z +  z 三 , ( o )所 三 } ( d9 ,} o

z ≠ 4m d9 ,{ i z ≠ 4ro  ) ⑤ 式  i ( o  )x +z + i ( d9 ⑦。 o 模 9 由⑥ , 可知, 4 而 202— 1。 1。 , ⑦  ≥ .  0 0 + 0 + 

若 I Fl lFI如 图 6 , kQ=  P < Q ( )则 e
一 tn F a   MM ' :   c t RM M  一  O 

1 + 1, 202 一 20 2 × (0 + 1。 1 。 。则  0。    0。   1。 0 + 。  
+ 1)一 (  0   ) 。 20 2 。× ( o + 1 。+ l 1。 o 。+ 1 )一  。 (  0 。 × l ) + ( 0 。 × 1 ) + ( 0 。 ) +  20 2。 。 O。 20 2。 。 0。 20 2。 。 。

当 >   

时' 过点 F作斜率为 

( 0“). 20 2 。 因此  一 4 。 为所求的最小值.  


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