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黑龙江省鹤岗一中2015—2016学年高二上学期期中试题 数学(理)


高二学年期中考试数学试题(理)
2015 年 11 月 4-5 日 第 I 卷(选择题)
一、选择题 1.直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( ) (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

>
5? 6

2.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 B. ?



1 3
2

C. ?

2 3
) C. x ?

D. ?2

3.抛物线 y ? ?8 x 的准线方程是( A. y ?

1 32

B. y ? 2

1 32

D. y ? ?2 )

4.二圆 C1 : x2 ? y 2 ? 1 和 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 5 ? 0 的位置关系是( A.相交 B.外切 C.内切
2

D.外离 )

5.已知直线 l 的方程为 x ? y ? a ? 0(a ? 0) ,则下列叙述正确的是( A. 直线不经过第一象限 B. 直线不经过第二象限 C. 直线不经过第三象限 D. 直线不经过第四象限 6.已知直线

x y ? ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1有公共点,则 a b
B. a 2 ? b 2 ? 1
2



) D.

A. a 2 ? b 2 ? 1
2

C.

1 1 ? 2 ?1 2 a b

1 1 ? ?1 a 2 b2


7.已知圆 x ? y ? 9 的弦过点 P(1,2) ,当弦长最短时,该弦所在直线方程为 ( A. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 B. y ? 2 ? 0 D. x ? 1 ? 0

8.若直线 l1 : y ? 2 ? (k ? 1) x 和直线 l 2 关于直线 y ? x ? 1 对称,那么直线 l 2 恒过定点( A. (2,0) B. (1,-1)
2 2

)

C. (1,1) D. (-2,0)
2 2 2

9.在同一坐标系中,方程 a x ? b y ? 1 与 ax ? by ? 0(a ? b ? 0) 的曲线大致是(



x ? 1, ? ? y ? x, 10.已知点 P ( x, y ) 的坐标满足条件 ? 则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离的 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ?
最小值为( )

14 A. 5

6 B. 5

C. 2

D. 1

11.已知点 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上一点,F1、F2 分别是双曲线的左、右焦 a 2 b2
成立, 则双曲线的离心率为 ( )

点, I 为△PF1F2 的内心, 若 A.4 B. C.2 D.

12. 如图 , 等腰梯形 ABCD 中 , AB ∥ CD 且 AB ? 2 , AD ? 1 , DC ? 2x x ? ? 0,1? .以

?

?

A,B 为焦点,且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点,且过点 A 的椭圆的离心率为

e2 ,则 e1 ? e2 的取值范围为( )

A. ? 2, +? ?

B.

?

5, +?

?

C. ?

? 3 3+1 ? , +? ? ? ? 2 ?

D.

?

5+1, +?

?

第 II 卷(非选择题)
二、填空题 13 .已知双曲线 为

x2 y2 5 ? 2 ? 1 ( a > 0 , b > 0 )的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程 2 2 a b
. .

14.直线 ? 2 ? ? ? x ? ? ? ?1? y ? 2? ?1 ? 0 经过的定点坐标为

15.若实数 x, y 满足 ?

? y ?x ? y ? 2 ,则 的取值范围是 x ? ? x ? y ?1

16.方程

x2 y2 ? ? 1 表示曲线 C,给出以下命题: 4 ? t t ?1
②若曲线 C 为双曲线,则 t ? 1 或 t ? 4 ; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t<

①曲线 C 不可能为圆; ③若 1 ? t ? 4 ,则曲线 C 为椭圆;

5 . 2

其中真命题的序号是____________(写出所有正确命题的序号) . 三、解答题 17. 根据下列条件求直线方程 (1)过点(2,1)且倾斜角为

? 的直线方程; 3

(2)过点(-3,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程. 18.已知方程 x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? 5m ? 0 的曲线是圆 C (1)求 m 的取值范围; (2)当 m ? ?2 时,求圆 C 截直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 所得弦长; 19. 实数 x、 y 满足圆的标准方程 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,

y 的最小值; (Ⅱ)求定点 ?1,0 ? 到圆上点的最大值. x?4 3 20.已知椭圆的焦点是 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) ,又过点 (1, ) . 2
(Ⅰ)求 (1)求椭圆的离心率; (2)又设点 P 在这个椭圆上,且 | PF 1 | ? | PF2 |? 1 ,求 ?F 1PF2 的余弦的大小.

21.已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦点为 F,抛物线上横坐标为
与其到准线的距离相等.

1 的点到抛物线顶点的距离 2

y

A

O F
B

P

x

(1)求抛物线的方程; (2)设过点 P 的直线 l 与抛物线交于 A, B 两点,若以 AB 为直 (6, 0)

径的圆过点 F ,求直线 l 的方程.

22.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b

过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时, | AB | ? | CD |? 3 2 .

(1)求椭圆的方程; (2)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

鹤岗一中 2015~2016 学年度上学期期中考试 高二数学理科试题答案
一、选择题

1 D

2 D
1 2

3 A

4 C
14、 ?1,1?

5 B

6 D

7 A

8 C

9 D

10 C

11 C

12 B

二、填空题 13、 y ? ? 15、 ? ,3 ?

?1 ? ?3 ?

16、②④

三、解答题 17. (1) y ? 3x ? 2 3 ? 1 (2) y ? ? 18. (1) m ? 1或m ? 4 (2) 2 13 19. (Ⅰ) (

2 x ; y ? ?x ?1 . 3

y 20 ) min ? ? , ; (Ⅱ)最大值 2 2 ? 2 . x?4 21

x2 y2 1 3 ? ? 1, e ? 20. (1)方程为 ; (2) 2 5 4 3
21. ( 1 ) 抛 物 线 线 上 横 坐 标 为

1 的 点 纵 坐 标 y02 ? p , 到 原 点 的 距 离 2

p?

1 , 4

? p?

1 1 p ? ? 解得 p ? 2 ,抛物线的方程为: y 2 ? 4 x . 4 2 2

(2)由题意可知,直线 l 不垂直于 y 轴 可设直线 l : x ? my ? 6 ,

? y2 ? 4 x ? y ? y2 ? 4m 则由 ? 可得, y 2 ? 4my ? 24 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 1 , ? y1 y2 ? ?24 ? x ? my ? 6

因为以 AB 为直径的圆过点 F ,所以 FA ? FB ,即 FA ? FB ? 0 可得:( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? 5m( y1 ? y2 ) ? 25 ? ?24(1 ? m 2 ) ? 20m 2 ? 25 ? 0 , 解

1 1 得: m ? ? ,∴直线 l : x ? ? y ? 6 ,即 l : 2 x ? y ? 12 ? 0 . 2 2

22.



1













e? c ? 2 a 2





a ? 2c, b ? c



?| AB | ? | CD |? 2a ? 2
x2 ? y 2 ? 1 . 2

b2 ? 2 2c ? 2c ? 3 2 , 所 以 c ? 1 . 所 以 椭 圆 的 方 程 为 a
4分

(2)① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 由题意知 S四边形 ?
1 1 AB ? CD ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ; 2 2

5分

②当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 所以 | AB |?

k 2 ? 1 | x1 ? x2 |? k 2 ? 1 ?
2 2(

2 2 k 2 ? 1 2 2 (k 2 ? 1) . ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

8分

同理, | CD |?

1 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) k2 . ? 2 2 k ? 2 1? 2 k

10 分

所以 S四边形 ?

1 1 2 2 (k 2 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1) 2 ? AB ? CD ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 k2 ? 2 2k 4 ? 2 ? 5k 2

4 k?1 k 2 ? ? 2? 2 2 k ? 1 ?1 2 k?1 k k

?

?

?

?

2

?

? ?1
2



2 ? 1? 1? ? k ? ?1 时取等号 Q 2? k ? ? ?1 ? 2? 2 k ? ? ? ? ? 1 ? 9 当且仅当 k? k ? ? ?

2

11 分

?16 ? 16 ∴ S四边形 ?[ ,2) 综合①与②可知, S四边形 ? ? ,2? 9 ?9 ?

12 分


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