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安徽省安师大附中2015届高三第八次模拟考试理科数学试题


2015 届高三第八次模拟考试数学理科试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ卷 第 3 至第 4 页.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

2 ? 4i ( i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) 1? i A. (3,1) B. (?1,3) C. (3, ?1) D. (2, 4) x?2 ? 0} , 2、 已知全集 U ? R , 若集合 A ? { y | y ? 3 ? 2? x }, B ? {x | 则 A (CU B) ? ( x
1、复数 z ? A. (??,0)

)

?2,3?

B. (??,0] C. 8?

? 2,3?

C. ? 0, 2 ?

D. ? 0,3?

3、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



8 A. ? 3

16 B. ? 3

D. 16?

第 3 题图 4、下列程序框图的功能是寻找使 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 最小正整数值,则输出框中应填( A.输出 i ? 2 B.输出 i ? 1 ) C.输出 i

第 4 题图

? i ? 2015 成立的 i 的
D.输出 i ? 1

5、将甲,乙等 5 位同学分别保送到北京大学,复旦大学,中国科技大学就读,则每所大 学至少保送一人的不同保送的方法数共有( A.240 B. 180 C. 150 )种. D. 540

6、 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为

? ? 的等差数列,把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位,得到函数 g ( x) 的图象. 2 6
第 1 页 共 8 页(数学理科)

2015 届高三第八次模考

若在区间 ? 0, ? ? 上随机取一个数 x ,则事件“ g ( x) ? 1 ”发生的概率为( A.



1 4

B.

1 3

C.

1 6

D.

2 3
D1 C1 B1

7、如图,棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 为线段 A1 B 上的 动点,则下列结论错误 的是( ) .. A. DC1 ? D1 P B.平面 D1 A1 P ? 平面 A1 AP
0 C. ?APD 1 的最大值为 90

A1

D A

P B

C

D. AP ? PD1 的最小值为 2 ? 2 8、在直角坐标系中,点 A, B, C 的坐标分别为 (0, 1), ( 2, 0), (0, ? 2) , O 为坐标原点, 动点 P 满足 | CP |? 1 ,则 |OA ? OB ? OP | 的最小值是( 9、已知定义在 ?0, ?? ? 上的函数 f ? x ? 满足 项和为 Sn ,则 Sn 等于( A. 2 ? ) A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C. 3 ? 1 ) D. 3

f ? x ? ? ?2x2 +4x ,设 f ? x ? 在 ?2n ? 2,2n? 上的最大值为 an (n ? N ? ) ,且 ?an ? 的前 n
1 2n ?1
2 2

f ? x ? ? 2 f ? x ? 2? ,当 x ? ?0, 2? 时

B. 4 ?

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n ?1

10、过曲线 C1 :

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x2 ? y 2 ? a2 的切线,设切 2 a b 点为 M ,延长 F1M 交曲线 C3 : y2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N ,其中 C1、C3 有一个共同的
焦点,若 MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为 ( A. 5 B. 5 ? 1 C. 5 ? 1 ) D.

5 ?1 2

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

1 3 dx ,那么 ( x ? ) n 展开式中含 x 2 项的系数为 . x x ? x ? 2 cos ? 12、已知圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 2sin ?
11、已知 n ? ?
e4 1

? ? cos(? ? ) ? 2 ,若极轴与 x 轴的非负半轴重合,则直线 l 被圆 C 截得的弦长 4
为 . .

?x ? 4 y ? 3 ? 0 xy ? 13、已知变量 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 2 的取值范围为 x ? y2 ?x ? 1 ?

14、已知向量是单位向量 a, b ,若 a · b =0,且 | c ? a | ? | c ? 2b |? 5 ,则 | c ? 2a | 的最小 值是 .
第 2 页 共 8 页(数学理科)

15、设 f ' ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, f ?? ( x )是 f ' ? x ? 的导函数,如果 f ? x ? 同时满足下列 条件:①存在 x0 ,使 f ?? ( x0 )=0;②存在 ? >0,使 f ' ? x ? 在区间( x0 - ? , x0 )单调 递增, 在区问 ( x0 , x0 + ? ) 单调递减. 则称 x0 为 f ? x ? 的“上趋拐点”; 如果 f ? x ? 同 时满足下列条件: ①存在 x0 , 使 f ??( x0 ) =0; ②存在 ? >0, 使 f ' ? x ? 在区间 ( x0 - ? , x0 ) 单调递减,在区间( x0 , x0 + ? )单调递增.则称 x0 为 f ? x ? 的“下趋拐点”.给出以 下命题,其中正确的是
3

①0 为 f ? x ? ? x 的“下趋拐点” ;

(只写出正确结论的序号)

② f ? x ? ? x2 ? e x 在定义域内存在“上趋拐点”; ③ f ? x ? ? ex ? ax2 在(1,+∞)上存在“下趋拐点”,则 a 的取值范围为( ④ f ? x? ?

e ,+∞) ; 2

0 ? a ? 1.

1 ax 1 2 e ? x (a≠0) , x0 是 f ? x ? 的“下趋拐点”,则 x0 ? 1的必要条件是 a 2

三、解答题(本大题共六个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16、(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,向量

m ? (a ? b,sin A ? sin C) ,向量 n ? (c,sin A ? sin B) ,且 m // n ; (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 BC 中点为 D ,且 AD ? 3 ;求 a ? 2c 的最大值及此时 ?ABC 的面积.
17 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 a1 ? 2 , (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ;

nan?1 ? Sn ? n(n ? 1) .

? an ? 的前 n 项和, 求 Tn ; n ? ?2 ? 1 (Ⅲ ) 设 bn ? , 证明: b1 ? b2 ? b3 ? an an ?1an ? 2
(Ⅱ ) 设 Tn 为数列 ?

? bn ?

1 . 32

18、 (本小题满分 12 分) 如图,直角梯形 CDEM 中, CD ∥ EM , ED ? CD , B 是 EM 上一点,且 CD ? BM ? 2 , CM ? 2 , EB ? ED ? 1 ,沿 BC 把 ?MBC 折起得到 ?ABC ,使平面 ABC ⊥平面 BCDE . (Ⅰ)证明:平面 EAD ⊥平面 ACD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AD ? B 的大小.

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2015 届高三第八次模考

19、(本小题满分 12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次. 在 A 处每投进一球得 3 分; 在 B 处每投进一球得 2 分. 如果前两次得分之和超过 3 分就停 止投篮;否则投第三次. 某同学在 A 处的投中率 q1 为 0.25,在 B 处的投中率为 q2 . 该同 学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ? 表示该同学投篮训练结束后所得的总分, 其分布列为

?
P

0

2

3

4

5

p1 ? 0.03

p2

p3

p4

p5

(Ⅰ)求 q2 的值; (Ⅱ)求随机变量 ? 的数学期望 E ? ; (Ⅲ)试比较该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率的大小.

20、(本小题满分 13 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的, 如图,椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点,椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) C : ? ? 1(m ? n ? 0) 短轴长是 1, 的长轴长为 4 , 椭圆 2 a 2 b2 n 2 m2 点 F1 , F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点. C1 :
(Ⅰ)求椭圆 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M , N , 求 ?F2 MN 面积的最大值.

21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x ? (Ⅰ)若 f ? x ? 无极值点,求 a 的取值范围; (Ⅱ)设 g ? x ? ? x ? (Ⅲ)证明不等式:

1 ? a ln x x

1 ? (ln x ) a ,当 a 取(Ⅰ)中的最大值时,求 g ? x ? 的最小值; x

?
i ?1

n

1 2i (2i ? 1)

? ln

2n ?1 (n ? N ? ) . 2n ? 1

理数参考答案:
第 4 页 共 8 页(数学理科)

1-10 ABBAC
11、135

BCCBD
12、 2 2 . 13、 ?

? 3 1? , ?10 2 ? ?

14、

6 5 5

15、1 3 4

16、解: (Ⅰ)因为 m // n ,故有 (a ? b)(sin A ? sin B) ? c(sin A ? sin C ) ? 0 由正弦定理可得 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 ,即 a 2 ? c2 ? b2 ? ac 由余弦定理可知 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ? ,因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? 3 2ac 2ac 2

(Ⅱ)设 ?BAD ? ? ,则在 ?BAD 中,由 B ? 由正弦定理及 AD ? 3 有

?
3

可知 ? ? (0,

2? ), 3

BD AB AD ? ? ? 2; sin ? sin( 2? ? ? ) sin ? 3 3
2? ? ? ) ? 3 cos ? ? sin ? , 3

所以 BD ? 2sin ? , AB ? 2sin(

所以 a ? 2BD ? 4sin ? , c ? AB ? 3 cos? ? sin ? 从而 a ? 2c ? 2 3 cos ? ? 6sin ? ? 4 3 sin(? ? 由 ? ? (0, 即? ?

?
6

)

2? ? ? 5? ? ? ) 可知 ? ? ? ( , ) ,所以当 ? ? ? , 3 6 6 6 6 2

?
3

时, a ? 2c 的最大值为 4 3 ;

此时 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 S ? 17、解: (Ⅰ ) an ? 2n ;

1 3 3 . ac sin B ? 2 2

n?2 ; 2n ?1 1 1 1 1 ? [ ? ] (Ⅲ )由(Ⅰ ) ,得 bn ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 2) 16 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)
(Ⅱ ) Tn ? 4 ?

b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ?
18、(1)略,(2)

1 1 1 1 1 1 1 ( ? ? ? ??? ? ) 16 1 ? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ? . 16 2 (n ? 1)(n ? 2) 32 16(n ? 1)(n ? 2) 32

? 6
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2015 届高三第八次模考 19、解: (Ⅰ)设该同学在 A 处投中为事件 A, 在 B 处投中为事件 B. 则事件 A,B 相互独立,且 P ? A? ? 0.25 , P( A) ? 0.75 , P ? B ? ? q2 , P(B) ? 1 ? q2 . 根据分布列知: ? =0 时, P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75 ? (1 ? q2 ) ? 0.03 ,
2

所以 1 ? q2 ? 0.2 , q2 ? 0.8 . (Ⅱ)当 ? =2 时, p2 ? P( ABB ? ABB) ? P( ABB) ? P( ABB)

? P( A) P( B) P( B) ? P( A) P( B) P( B) ? 0.75 q2 ( 1 ? q2 ) ?2 ? 0.24 .
当 ? =3 时, p3 ? P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.25?(1 ? q2 ) ? 0.01 .
2

当 ? = 4 时, p4 ? P( ABB) ? P( A)P(B)P(B) ? 0.75q2 ? 0.48 .
2

当 ? = 5 时, p5 ? P( ABB ? AB) ? P( ABB) ? P( AB)

? P( A)P(B)P(B) ? P( A)P(B) ? 0.25q2 (1 ? q2 ) ? 0.25q2 ? 0.24 .
所以随机变量 ? 的分布列为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?
P

0

2

3 0.01

4

5 0.24

p1 ? 0.03

0.24

0.48

∴随机变量 ? 的数学期望

E? ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24
. (Ⅲ)该同学选择都在 B 处投篮得 分超过 3 分的概率为

P( BBB ? BBB ? BB) ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) ? 2(1 ? q2 )q22 ? q22 ? 0.896 .
该同学选择(1)中方式投篮得分超过 3 分的概率为 0.48 ? 0.24 ? 0.72 . 由此看来该同学选择都在 B 处投篮得分 超过 3 分的概率大.

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