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2.3.2平面向量的坐标运算1


平面向量的坐标运算(一) y a O x 引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢? y b a A(a,b) O a x 3.复习平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有 一对实数 λ1 , λ2 使得a= λ1 e1+ λ2 e2. 什么叫平面的一组基底? 不共线的两向量 e1 , e2 叫做这一平面内所 有向量的一组基底. 平面的基底有多少组? 什么叫向量的正交分解? 向量a分解到 e1,e2上得a=λ 1e1+λ 2e2,当e1,e2 所在直线互相垂直时,这种分解称为正交分解。 无数组 (一)平面向量坐标的概念 在直角坐标系内,我们分别 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. y (2)得实数对:以O点为起点作向量a, a j 由平面向量基本定理,有且只 有一对实数x、y,使得a=xi+yj. o i 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, 记作 a ? ( x, y ) y (x,y) x x 其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标. 平面向量的坐标表示: 把 以下三个特殊向量的坐标是: a = (x, y)叫做向量的坐标表示 Y i = (1,0) j= (0,1) 0= (0,0) 若两个向量相等则这两个向量的 那么起点不在原点的向量的坐标是 每个向量都有唯一的坐标. 什么呢?每个向量有几个坐标呢 对应坐标也相等;反之对应坐标 ? 相等的两个向量一定是相等向量. j O 每个向量都有唯一的坐标. 如果a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 那么a ? b ? ? x1 ? x2 ,且y1 ? y2 i a X y A(x,y) 如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作 OA ? a ,则点A的 位置由 a 唯一确定。 a y j O a i x x 设 OA ? xi ? y j,则向量 OA 的坐标 (x,y)就是点A的坐标;反过来, 点A的坐标(x,y)也就是向量 OA 的坐标。因此,在平面直角坐标 系内,每一个平面向量都可以用 一对实数唯一表示。 又因为0A = a ,所以a的坐标就是( x,y) 例1.用基底 i , j 分别表示向量a , b , c , d,并求出它们的坐标. b y 5 4 3 2 1 -2 -1 O B a A j -4 -3 -1 -2 i1 2 3 4 x c d 练习:在同一直角坐标系内画出下列向量. (1)a ? (1, 2) 看书本例1 (2)b ? (?1, 2) (二)平面向量的坐标运算: 请同学们讨论回答: 问题: (1)已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 求 a ? b, a ? b的坐标. (2)已知a ? ( x, y )和实数? , 求? a 的坐标. (1)a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) (2)? a ? (? x, ? y) 结论1:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 结论2:实数与向量数乘积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标. 再来研究刚才的题目 b y 5 4 3 2 1 -2

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