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3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域


复习引入:
? ? 0 ? ? ? 180 1、直线的倾斜角定义及其范围:

2、直线的斜率定义: k ? tan a 3、斜率k与倾斜角? 之间的关系:

(a ? 90 )
?

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式: k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2

r />?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

直线过点 P0 ?x0 , y0 ? (1)斜率为K,
点斜式方程: y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
P0取?0, b?

斜截式方程: y ? kx ? b (对比:一次函数 ) (2)斜率不存在时,即直线与x轴垂直,

x ? x0

直线的一般式方程: Ax ? By ? C ? 0 这是关于x,y的二元一次方程

则直线方程为:

3.3.1 二元一次不等 式(组)与平面区域

1.二元一次不等式(组)的定义
(1)二元一次不等式:

如:x-y<6

含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式;

一般形式:Ax+By+C<0(A,B不同时为0)
(2)二元一次不等式组:
由几个二元一次不等式组成的不等式组;

(3)二元一次不等式(组)的解集:
满足二元一次不等式(组)的有序实数对(x,y)构成

的集合;

(4)二元一次不等式(组)的解集可以看成是直 角坐标系内的点构成的集合。

2、二元一次不等式(组)的解集表示的图形
(1)复习回顾 一元一次不等式(组)的解集所表示的图形 ——数轴上的区间。

如:不等式组

?x ? 3 ? 0 的解集为数轴上的一个区间(如图)。 ? ?x ? 4 ? 0

-3≤x≤4

思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组) 的解集表示什么图形?

探究: 二元一次不等式 x – y < 6 的解集所表示的图形 令 x-y-6=0, 然后作出 x-y-6=0的图象
直线把平面内所有点分成三类:
a)在直线x – y - 6=0上的点 b)在直线x – y - 6=0左上方区域内 c)在直线x – y - 6=0右下方区域 内

y

O
左上方区域
-6

6

x

x – y -6=0

右下方区域

2、探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形

注意:把直
线画成虚线以 结论 表示区域不包 不等式x-y -6<0表示直线 括边界 不等式x –y – 6>0表示直线
x –y – 6=0左上方的平面区域; x –y – 6=0右下方的平面区域; y y

O
-6

6

x

x –y = 6

O
-6

6

x

x –y =6

直线叫做这两个区域的边界。

3、推广得出一般结论
二元一次不等式Ax + By + C>0在平面直角坐标系 几何意义 中表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点组成的平 面区域。(虚线表示区域不包括边界直线)
y

结论一
二元一次不等式表示相应 直线的某一侧平面区域

Ax + By + C = 0 x

O

注意:不等式Ax + By + C ? 0表示的平面区域包括
边界,把边界画成实线。

例1:画出不等式 2x + y<4表示的平面区域

4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入 Ax+By+C所得实数的符号都相同,只需在直 线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的 正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧 区域,C≠0时,常把原点作为特殊点
y Ax + By + C = 0 x

结论二

直线定界,特殊点定域。

O

二元一次不等式的一般形式为
Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0, 二元一次不等式解集的几何意义——

表示相应直线的某一侧区域
二元一次不等式表示区域的判断方法:

直线定界,特殊点定域。
若不等式中不含等号,则边界应画成虚线, 否则画成实线

三、例题示范:
例1:画出不等式 x + 4y ? 4表示的平面区域
解:(1)直线定界:先画直线x + 4y - 4=0(画成实线) (2)特殊点定域:取原点(0,0),代入x + 4y -4, 因为 0 + 4×0 -4<0 所以,原点在x + 4y ?4表示的平面区域内, 不等式x + 4y? 4表示的区域如图所示。 y 1

4
x+4y=4

x

课堂练习1:
(1)画出不等式 4x―3y≤12 表示的平面区域
y
4x―3y-12=0 x x

(2)画出不等式x≥1 表示的平面区域

y

x=1

1.判断下列命题是否正确

(1)点(0,0)在平面区域x+y≥0内; ( √ ) ×) (2)点(0,0)在平面区域x+y+1<0内;( (3)点(1,0)在平面区域y>2x内; (× ) (4)点(0,1)在平面区域x-y+1>0内.( ×)

2.点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则

a的取 值范围是 (
B



A.a<-7或a>24
C.a=-7或a=24

B.-7<a<24
D.以上都不对

解析:点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两 侧,说明将这两点坐标代入3x-2y+a后,符号相反,

所以(9-2+a)(-12-12+a)<0,
解之得-7<a<24.

例2、用平面区域表示不等式组 y < -3x+12 的解集。 x<2y
y

0 x-2y=0

x 3x+y-12=0

二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。

练习1
? y ? 3x ? 6 (1)? ?2 x ? 3 y ? 6 ?7 y ? 7 x ? 5 ( 2) ? ? x?0

练习2
? y? x ?x ? y ? 1 (1)? ? ? y ? ?1 ? 3 y ? 5 x ? 15 ? y ? x ?1 ( 2)? ? ? x ? 5y ? 5

练习2 :求出不等式组 ?x? y?5? 0 ? ? ? x? y ?0 ? x?3 ? ?

表示的平面区域的面积。

x-y+5=0
y

x+y=0

6
4
2 x

-6

-4

-2

O

2

4

6

x=3

引例 : 一家银行的信贷部计划年初 投入25万元用于企业和个人贷款,希望 这笔资金至少可带来3万元的收益,其中 从企业贷款中获益12%,从个人贷款中 获10%.那么,信贷部应该如何分配资金 呢?

设用于企业贷款的资金为x万元,用于个 人贷款的资金为y万元。则分配资金应该 满足的条件为:

? x ? y ? 25 ?12 x ? 10 y ? 3 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

例2.要将两种大小不同的钢板截成A、
B、C三种规格,每张钢板可同时截得三 种规格的大小钢板的块数如下表所示:
规格类型

A规格 B规格 C规格
钢板类型

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别15,

18,27块,用数学关系和图形表示上述要求

规格类型

钢板类型

A规格 (15)

B规格 (18)

C规格 (27)

张数

第一种钢板

2 1

1 2

1 3

x
y

第二种钢板 成品块数

2x+y x+2y x+3y

解:设第一种钢板x张,第二种钢板y张,则

?2 x ? y ? 15 ? ? x ? 2 y ? 18 ? ? x ? 3 y ? 27 ? ? x ? 0, x ? N ? ? y ? 0, y ? N ? ?

y

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -2
x

M

2

4

6

8

10

12

14 16 18 20 22 24 26 28 30

2x+y=15

x+2y=18

例3.一个化肥厂生产甲乙两种混合化 肥,生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙 种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝 酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料 .列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.

盐类
肥料

磷酸盐 硝酸盐 (10t) (66t)

车皮数

甲种肥料

4t

18t

x y

乙种肥料

1t

15t

总吨数

4x+y 18x+15y

设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x、y

?4 x ? y ? 10 ?12x ? 9 y ? 60 ? ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

y
15

10

4x+y=10
5

x

-1

O

1

2

3

18x+15y=66

4

探究拓展 1:根据所给图形,把图中的平面区域用不等式表示出来:

y

(1)

1

?1

O

x

(2)

y

2
O

5

x

2、画出不等式(x+2y-1)(x-y+3)>0表示的区域

解:

y

x-y+3=0

o

x x+2y-1=0

3,求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。

解:此平面区域在x-y=0的右下方, x-y≥0

它又在x+2y-4=0的左下方, x+2y-4≤0
Y x+2y-4=0 2 o 4 x -2 y+2=0 x-y=0

它还在y+2=0的上方, y+2≥0 则用不等式可表示为:

?x ? y ? 0 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?y ? 2 ? 0 ?

小结:
⑴ 二元一次不等式表示平面区域: 直线某一侧所有点组成的平面区域。 ⑵ 判定方法:
直线定界,特殊点定域。 ⑶ 二元一次不等式组表示平面区域: 各个不等式所表示平面区域的公共部分。

(4)画二元一次不等式(组)所表示的平面区 域,应注意哪些事项? 1)、若不等式中不含等号,则边界应画成虚线, 否则画成实线 2)、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。

?

投资生产A产品时,每生产100吨需要

资金200万元,需场地200平方米;投资
生产B产品时,每生产100吨需要资金 300万元,需场地100平方米.现某单位 可使用资金1 400万元,场地900平方米 ,用数学关系式和图形表示上述要求.

? 先将已知数据列成表,如下所示:
消耗量
产品
A产品(百吨) 资金(百万元) 场地(百平方米)

2

2

B产品(百米)

3

1

? 然后根据此表设未知数,列出限制条件,最后作 图即可.

[解题过程] 设生产 A 产品 x 百吨, 生产 B 产品 y 百米, ? ?2x+3y≤14 ?2x+y≤9 则? ?x≥0 ? ?y≥0

.

用图形表示以上限制条件,得其表示的平面区域如图所 示(阴影部分).

课堂练习:
?x ? 3y ? 6 ? 0 3、不等式组 ? ?x ? y ? 2 ? 0
表示的平面区域是(

B)

课堂练习2:
1、不等式x-2y+6>0表示的平面区域在直线的 x-2y+6=0的( A. 右上方 D、左下方 )
3 y

B. 右下方

C、左上方
-6 -3 图(1) x

2、不等式3x+2y-6≤0表示的平面区域是(
Y y y


y

X A B

x C

x D

x

y

?2 x ? y ? 4 ?x ? 2 y ? 6 ? ? x ? 0 ? ? y ? 0 ?
2x+y=4

y

4

2

?2 x ? y ? 4 ?x ? 2 y ? 6 ? ? x ? 0 ? ? y ? 0 ?
x

-1

O

2

4

6

2x+y=4

x+2y=6

以下各点的坐标代入x –y – 6=0中,结果是 什么?有何规律?

(5,?1), (5,3), (5,?4)


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