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第10章《概率统计》易错题


我的高考数学错题本
第 10 章 概率统计易错题

易错点 1.重复计算或漏算导致错误 【例 1】4 名考生在三道选做题中任选一道进行做答,则这三道题都有人选做的概率为 ( A.

)

4 9

B.

8 27

C.

2 9

D.

4 27

【错解】

【错因分析】 第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个 题”这种情况;第二种做法在计算过程中出现了重复计算. 【正解】4 个人做三道题目,每题至少一人,则必有一个题目有两个人做,因此要先将四个人
2 3 分成三组,然后再排列,方法数为 C4 A3 ? 36 ,所求概率为

36 4 ? .选 A 81 9

【巩固练习 1】 从 1,2,3,?,9 这 9 个数中任取 5 个不同的数,则这 5 个数的中位数是 5 的 概率等于 ( )

5 7 【答案】 C
A.

B.

5 9

C.

2 7

D.

4 9

易错点 2.超几何分布与二项分布混淆 【例 2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将 所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图如图所示, 已知图中从左 1: 2 : 3 到右的前组的频率之比为 , 其中第组的频数为 12 . (1)求该校报考飞行员的总人数; (2) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据, 若从全省报考 飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤

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的学生人数,求 X 的分布列和数学期望. 【错解展示】

【错因分析】 (1)对随机变量的含义不清楚,不能区分超几何分布与二项分布; (2)对于何 时可以样本的频率代替总体的概率不清楚; 【纠错提醒】 (1)超几何分布的本质是“不放回抽样” ,是一种古典概型,而二项分布的随机 实验是“独立重复实验” ,强调每次实验的结果发生的概率相同,可认为是“有放回抽样” .本 题中, “若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人” ,特别强调人数很多,意味着 实验可以看做是“有放回抽样” ,所以是一个二项分布; (2)本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据” ,其意思是:用频率来 代替概率,即 16 个人中每个人的体重超过 60 公斤的概率是 的体重超过 60 公斤的概率为

10 5 = ,也是说,全省每个学生 16 8

5 . 8

【正解】 ( 1 )设报考飞行员的人数为 , 前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,则由条件可得:

? p2 ? 2 p1 ? ,解得, p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375. ? p3 ? 3 p1 ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1
又因为 p2 ? 0.25 ?

12 ,故 ? 48 . n 5 , 8

(2) 由 (1) 可得, 一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ?

? 5? ? 3? 故 X 服从二项分布, P ? X ? k ? ? C ? ? ? ? ?8? ?8?
k 3

k

3? k

∴ 随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

27 512

135 512

225 512

125 512

则 EX ? 0 ?

27 135 225 125 15 5 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? ,或 EX ? np ? 3 ? ? . 512 512 512 512 8 8 8
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【巩固练习 2】盒子里装有大小相同的个球,其中个号球,个号球,个号球. (1)若第一次从盒中任取一个球,放回后第二次再任取一个球,求第一次与第二次取到球的 号码和是的概率; (2)若从盒中一次取出个球,记取到球的号码和为随机变量 X ,求 X 的分布列及期望. 【答案】记“第一次与第二次取到的球上的号码的和是”为事件 A , 则 P( A) ?

3 2 2 3 12 3 ? ? ? ? ? 8 8 8 8 64 16

( Ⅱ ) X 可 能 取 的 值 是 2,3,4,5,6

P( X ? 2) ?

1 1 C32 3 C3 C3 9 , , ? P ( X ? 3) ? ? 2 C8 28 C82 28

P( X ? 4) ?

1 1 1 1 2 C3 C2 ? C32 9 C3 C2 6 C2 3 1 , , ? P ( X ? 5) ? ? ? P ( X ? 6) ? ? 2 2 2 C8 28 C8 28 14 C8 28

∴ X 的分布列为:

X

P

3 28

9 28

9 28

3 14

1 28

? EX ?

3 9 9 3 1 105 15 15 ?2 ? ?3? ? 4 ? ?5? ?6 ? ? ,故所求的数学期望为 . 28 28 28 14 28 28 4 4

易错点 3.几何概型与古典概型混淆 【例 3】心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论, 进行了测试,经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5 ? 7 分钟,乙每次解答 一道几何题所用的时间在 6 ? 8 分钟, 现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. 【错解】

【错因分析】误认为时间是离散度的,将其看成了一个古典概型 【纠错提醒】时间是一个连续性随机变量,在求解时应建立几何概率模型. 【例 3】解析: (1)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的 区域为 ?

?5 ? x ? 7 (如图所示) ,设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y . ?6 ? y ? 8

1 ? 1? 1 1 1 2 ? ,即乙比甲先解答完的概率为 . ∴ 由几何概型 P ( A) ? 2? 2 8 8

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【巩固练习 3】已知函数 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使
2

f ? x0 ? ? 0 成立的概率为(
A.

) B.

4 25

1 2

C.

2 3

D.

【答案】B. 易错点 4.忘记回归直线过样本中心致错 【例 4】某单位为了了解用电量(度)与当天平均 气温(°C)之间的关系,随机统计了某 4 天的当天 平均气温与用电量(如右表) .由数据运用最小二 乘法得线性回归方程 ? y ? ?2x ? a ,则 a ? ___. 【错解】

平均气温(°C) 用电量 y (度)

18 25

13 35

10 37

-1 63

【错因分析】不理解回归直线过样本中心点 ( x , y ) ,随便带入数据导致结果错误. 【纠错提醒】求出样本的中心点 ( x , y ) ,代入回归方程,即可求得.

18 ? 13 ? 10 ? 1 25 ? 35 ? 37 ? 63 ? 10 , y ? ? 40 ,样本中心为 (10, 40) , 4 4 回归直线经过样本中心,所以 40 ? ?2 ?10 ? a ? a ? 60 .
【正解】解析: x ? 【巩固练习 4】已知变量与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 3 , y ? 3.5 ,则由 该观测数据算得的线性回归方程可能是( )

? ? 0.4 x ? 2.3 A. y
【答案】A.

? ? 2 x ? 2.4 B. y

? ? ?2 x ? 9.5 C. y

? ? ?0.3x ? 4.4 D. y

易错点 5.对正态分布的性质及意义不熟悉致错 【 例 5 】 设 随 机 变 量 ? 服 从 正 态 分 布 ? ?1,4? , 若 ? ? ? ? a ?1? ? ? ? ? ? 2a ? 5 ? ,则 . 【错解展示】

a?

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【错因分析】 (1)对正态分布 N (?, ? 2 ) 中的 ? , ? 2 的意义不清;(2)对正态分布的性质及意 义不熟悉. 【纠错提醒】由题意 x ? a ? 1 与 x ? 2a ? 5 关于 x ? 1 对称, a ? 1 ? 2a ? 5 ? 2 ,解得 a ? 2 . 【 正 解 】 解 析 : 由 ? ? ? ? a ?1? ? ? ? ? ? 2a ? 5 ? ,由正态分布的性质知, x ? a ?1 与

x ? 2a ? 5 关于 x ? 1 对称, a ? 1 ? 2a ? 5 ? 1,解得 a ? 2
2 【 巩 固 练 习 5 】 设 随 机 变 量 ? ~ N ? ,?

?

P ?? ? ? 2 ? , 且 P ?? ? ?1? =

则 = 0, .3

______. P ? ?2 ?? ?0 ? = 【巩固练习 5】0.2.

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