当前位置:首页 >> 数学 >>

第一讲集合及其表示


5、常用数集及其记法:

集合的含义及其表示
一、集合的基本概念

非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N 或 N ; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R; 复数集,记作 C . 例 1-2:判断下列语句是否正确? (1)由 1,3,4,2,1,3,5 构成的一个集合,这个集合 共有 7

个元素; (2) 2012 年参加伦敦奥运会的中国代表团成员构成的集合 是有限集; (3)所有的正方形构成的集合是无限集; (4)面积为 3 cm 2 的三角形构成的集合是有限集; (5)周长为 16 cm 的正方形构成的集合是有限集; 例 1-3:用符号 ? 或 ? 填空: ( 1) ( 3)
* +

家庭作业

1、集合的定义:某些确定的不同对象集在一起,就构成一个 集合.集合中每一个对象称为该集合的元素.集合常用大写字 母 A、B、C ? ? ? 来表示.集合的元素通常用英语小写字母

a、b、c ??? 表示.
空集: 一般地, 我们把不含任何元素的集合叫做空集, 记作 ? . 2、集合中元素的性质 确定性:对于一个元素要么它属于某个指定集合, 要么它不属 于该集合,二者必居其一. 无序性:同一个集合的元素是互不相同的, 相同的元素只能出 现一次. 互异性:集合中的元素没有先后顺序. 小贴士: 集合的互异性在解题中应用非常广泛, 在解题时如果遇到 集合中求解字母的值的问题,一定都要把值带回集合中检验, 集合中是否有元素相等. 例 1-1:下列语句能否确定一个集合? (1)高 一 数 学 课 本 中 的 难 题 ; (2)所 有 的 正 三 角 形 ; (3)方 程

0 ___ N 3.14 ___ Q

( 2)

?3 ___ Z ___ Q

( 4) ? ( 6) ( 8)

( 5) ( 7)

? 2 ___ R

sin 60? ___ Q
0 ___ ?

x2 ? 2 ? 0 的 实 数 解 ;

0 ___ ?0?

(4)中国古代的四大发明; (5)中 央 电 视 台 著 名 节 目 主 持 人 ; (6)某 校 高 一 所 有 聪 明 的 学 生 ; (7)高一(1)班,矮个子的同学全体. (8)平方后值等于 ?4 的实数的全体. (9)与 100 接近的实数的全体. 3、元素与集合的关系 若 a 是集合 属于 就说 a 属于 A , 记作 a ? A , 读作“ a A 的元素,

二、集合的表示法 1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号{}内; 例如: {1, 2, 3, 4, 5} , {1, 2, 3, 4, 5, ?} 2、描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括 号{}内 例如:大于 3 的所有整数表示为: {x ? Z | x ? 3}

? 方 程 x ? 2x ? 5
2 2

0的 所 有 实 数 根 表 示 为 :

{ x ? R | x ? 2x ? 5 ? 0 } 3、图示法:Venn 图法

A ”. A 的元素,就说 b 不属于 A ,记作 b ? A ,读 A ”.

例如:

1

2

3

表示集合 {1, 2 , 3}

若 b 不是集合 作“ b 不属于

4、数集与点集: 代表元素是 x, y, t ??? 的集合是数集,代表元素是 ( x, 合是点集;例如: 第一讲 集合的含义及其表示讲义 第 1 页 共 1 页

4、集合的分类 按元素的属性:数集(构成集合中的元素是数)、点集(构成 集合中的元素数点)等. 按元素的个数:空集、有限集、无限集. 初升高暑假衔接班

y ) 的集

集合 x y ? x

?

2

? 表示自变量 x 的全体,即 ?x x ? R? 是数集;
即 ? y y ≥ 0? 是数集; ? 表示函数值 y 的全体,
2

例题知识小结: 1、 若

集合 y y ? x

?

2

?3 ? ?a ? 3, 2a ? 1, a 2 ? 1? , 求 实 数 a 的 值

y) y ? x 集合 ( x,

?

? 表示抛物线 y ? x ?
2

2

上的点的全体,是点 2、 若

的集合(一条抛物线) ;而集合 y ? x 单元素集,它的元素是 y ? x 2 . 小贴士:

? 则是用列举法表示的

2 ? ?1, x, x 2 ? x? , 求 实 数 x 的 值 .

3、求集合 {x2 ? x,2, x} 中的元素 x 的取值范围.

用列举法表示集合时, 元素与元素之间必须用“, ”隔开; 当集合中含有的元素较多时,一般用描述法表示,如果用列 举法表示,可用省略号,但必须把元素间的规律表示清楚. 例 2-1:思考下列集合中的元素表示的意义: 4、给定三元集合 {1, x, x2 - x} ,求实数 x 的取值范围.

{x2 - 1 = 0} ; { y = x2 } ; {( x , y) | y = x } .
2

{x | x2 - 1 = 0} ; { y | y = x2 } ;

5









A ? ?面积为1的矩形?




B ? ?面积为1的等边三角形? ,则正确的是(
A. A,B 都是有限集 C.A 是无限集,B 是有限集 6 、 设 集 合 B.A,B 都是无限集

D.A 是有限集,B 是无限集 ,

A= ? 1 , ? 2, , B3? {4,5}
,则

例 2-2:用列举法表示下列集合: (1)自然数集 N ; (2) A ? {x ? Z | ?3 ? x ? 2} ; (3) B ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} ;

M = ? x x ? a ? b, a ? A, b ? B?
数 .

M

中元素的个

7、 已知集合 A ? {x | ax2 ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素, 则a 的取值范围 .

(4) D ? {( x, y ) | ?

?x ? 2 y ? 7 }; ?x ? 2y ? 5

? 5 ? ? Z , m ? Z? ; (5) M ? ?m m ? 1 ? ?
(6) A ? {x ? Z | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} ;

8、 已 知 集 合 (1)若 (2)若 (3)若

A= ? x ? R ax 2 ? 3x ? 4 ? 0? ;

A 中有两个元素,求实数 a 的取值范围;
A 中只且仅有一个元素,求实数 a 的值; A 中至多有一个元素,求实数 a 的取值范围.

例 2-3:用描述法表示下列集合:

2} ; (1) {?2 ,
(2)小于 10 的全体奇数构成的集合; (3)在平面 ? 内,线段

9、 已知 a ? Z ,A ? ( x , y) ax ? y ≤ 3

?

(, 1 ) 且2 ?,

?A,

AB 的垂直平分线;

(1, ? 4) ? A ,求满足条件的 a 的值.

(4)二元一次方程 2 x ? y ? 1 ? 0 的解集.

初升高暑假衔接班

第一讲 集合的含义及其表示讲义

第 2 页 共 2 页

三、集合的基本关系 1、子集:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 则称 A 是 B 的子集 (或 B 包含 A ) , 记作 A ? B(或 A ? B ) , 读作“ A 包含于 B ”或“ B 包含 A ”. 2、真子集:如果集合 则称集合

难点探究
填表 集合 元素个数 子集个数

A ? B ,并且存在 x ? B 且 x ? A ,


A 是集合 B 的真子集,记作:

3、集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若 A ? B 且

{a} {a , b} {a ,, b c} {a ,,, b c d}

B ? A ,则称 A 等于 B ,记作 A ? B .
4、空集:不含任何元素的集合叫做空集. 5、空集的性质: (1)空集是任何一个集合的子集. (2) ? 与 {0} 是不同的, ? 中没有任何元素, {0} 则表示含 有一个元素 0 的集合,它们的关系是 ? ? ?0? . (3) ? 与 {?} 是不同的, ? 中没有任何元素, {?} 则表示 含有一个元素 ? 的集合,它们关系是 ? ?{?} 或 ? ? {?} 或 ? ? ??? . (4)显然, 0 ? ? , 0 ? {?} . 例 3-1:用适当的符号填空: (1) ? ___{0}
2
2

?

?

?

①你能找出“元素个数”与“子集个数”之间的关系的规律 吗?

②如果一个集合有 n 个元素, 则它有多少个子集?多少个真子 集?有多少个非空子集?有多少个非空真子集?

(2) 2 ___ {(1, 2)}

(3) 0 ___ {x | x ? 2 x ? 5 ? 0} (4) {3,5} ____ {x | x ? 8x ? 15 ? 0} (5) {3,5} ___ N (6) {(2, 3)}___{(3, 2)} 6、子集的个数:设集合 A 中元素个数为 n ,则: ①子集的个数为 2n , ②真子集的个数为 2 n ? 1 , 例 3-2:已知集合 p ? {x| x2 ? 1} ,集合 Q ? {x|ax ? 1} ,若 ③非空真子集的个数为 2 n ? 2 . (7) {x | x ? 2n ? 1, n ? Z}___{x | x ? 4k ? 1, k ? Z}

Q ? P ,则 a 的值为(
A .1 B . ?1

) D.0,1 或 ?1

C . 1 或 ?1

2 3 a b c }, 则 例 3-4 : ( 1 ) 已 知 A ? {1,,,,,
个,真子集有 个,非空真子集有 个.

A 的子集有

例 3-3 : ( 1 ) 已 知 集 合

A ? ?x a ? 2 ? x ? a ?1? ,

( 2 ) 集 合 A ? { x ? N 0 ? x ?3} 的真子集个数为

个.

B ? ?x 2 ? x ? 4?,求能使 B ? A 成立的实数 a 的取值范
围.

(3)已知集合 M ? ?4,7,8? 且 M 中至多有一个偶数,则这 样的集合共有_______个.

( 2)

A= ? x 2 ? x ? 6? , B = ? x 2a ? x ? a ? 3? , 若

例 3-5:已知

?? 1 ? A?? 1,2,3,4?,则集合 A 有___个.

B ? A ,求 a 的取值范围.

初升高暑假衔接班

第一讲 集合的含义及其表示讲义

第 3 页 共 3 页

数学文化
康托尔 格奥尔格·康托尔(Cantor,Georg Ferdinand Ludwig Philipp,1845.3.3-1918.1.6)德国数学家,集合论的创 始人.生于俄国圣彼得堡(今俄罗斯列宁格勒).父亲是犹太 血统的丹麦商人,母亲出身艺术世家.1856 年全家迁居德国 的法兰克福.先在一所中学, 后在威斯巴登的一所大学预科学 校学习. 康托尔,1862 年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学 攻读数学和神学,受教于库默尔、维尔斯特拉斯和克罗内 克.1866 年曾去格丁根学习一学期.1867 年在库默尔指导下 以解决一般整系数不定方程 ax2 ? by 2 ? cz 2 ? 0 求解问题的 论文获博士学位.毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响, 由数论 转向严格的分析理论的研究, 不久崭露头角. 他在哈雷大学任 教(1869-1913)的初期证明了复合变量函数三角级数展开的 唯一性,继而用有理数列极限定义无理数.1872 年成为该校 副教授,1879 年任教授.由于学术观点上受到的沉重打击, 使康托尔曾一度患精神分裂症,虽在 1887 年恢复了健康,继 续工作,但晚年一直病魔缠身.1918 年 1 月 6 日在德国哈雷 (Halle)-维滕贝格大学附属精神病院去世. 由康托尔首创的全新且具有划时代意义的集合论,是自 古希腊时代的二千多年以来, 人类认识史上第一次给无穷建立 起抽象的形式符号系统和确定的运算, 它从本质上揭示了无穷 的特性,使无穷的概念发生了一次革命性的变化, 并渗透着所 有的数学分支,从根本上改造了数学的结构, 促进了数学的其 他许多新的分支的建立和发展,成为实变函数论、代数拓扑、 群论和泛函分析等理论的基础, 还给逻辑和哲学带来了深远的 影响.不过康托尔的集合论并不是完美无缺的,一方面,康托 尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策; 另一方 面,19 和 20 世纪之交发现的布拉利-福蒂悖论、康托尔悖论 和罗素悖论,使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑. 加 之集合论的出现确实冲击了传统的观念, 颠倒了许多前人的想 法,很难为当时的数学家所接受,遭到了许多人的反对,其中 反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、 构造主义者克罗 内克.克罗内克认为,数学的对象必须是可构造出来的,不可 用有限步骤构造出来的都是可疑的, 不应作为数学的对象, 他 反对无理数和连续函数的理论, 同样严厉批评和恶毒攻击康托 尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义. 他说康托 尔的集合论空空洞洞毫无内容. 除了克罗尼克之外, 还有一些 初升高暑假衔接班

著名数学家也对集合论发表了反对意见.法国数学家庞加莱 说:“我个人,而且还不只我一人,认为重要之点在于,切勿 引进一些不能用有限个文字去完全 定义好的东西”.他把集合论当作 一个有趣的“病理学的情形”来 谈,并且预测说:“后一代将把集 合论当作一种疾病,而人们已经从 中恢复过来了”.德国数学家魏尔 认为,康托尔关于基数的等级观点 是“雾上之雾”.克莱因也不赞成 集合论的思想.数学家 H.A.施瓦 兹原来是康托尔的好友,但他由于反对集合论而同康托尔断 交. 集合论的悖论出现之后, 他们开始认为集合论根本是一种 病态,他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉 主义、 构造主义等学派, 在基础大战中, 构成反康托尔的阵营. 1884 年,由于连续统假设长期得不到证明,再加上与克 罗内克的尖锐对立, 精神上屡遭打击, 5 月底, 他支持不住了, 第一次精神崩溃. 他的精神沮丧, 不能很好地集中研究集合论, 从此深深地卷入神学、哲学及文学的争论而不能自拔.不过每 当他恢复常态时, 他的思想总变得超乎寻常的清晰, 继续他的 集合论的工作. 康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说 首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出 来. 瑞士苏黎世理工大学教授胡尔维茨在他的综合报告中,明 确地阐述康托尔集合论对函数论的进展所起的巨大推动作用, 这破天荒第一次向国际数学界显示康托尔的集合论不是可有 可无的哲学, 而是真正对数学发展起作用的理论工具.在分组 会上, 法国数学家阿达玛, 也报告康托尔对他的工作的重要作 用.随着时间的推移,人们逐渐认识到集合论的重要性.希尔 伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”, “是人类纯粹智力活动的最高成就之一”, “是这个时代所能 夸耀的最巨大的工作”. 在 1900 年第二届国际数学家大会上, 希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性, 并把康托尔的连续 统假设列入 20 世纪初有待解决的 23 个重要数学问题之首. 当 康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时, 克罗内克的后继者布 劳威尔等人借此大做文章, 希尔伯特用坚定的语言向他的同代 人宣布: “没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱 赶出来”

第一讲 集合的含义及其表示讲义

第 4 页 共 4 页


相关文章:
第一讲:集合的概念及表示方法
第一讲:集合的含义与表示教学目标:理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 初步了解属于关系和集合相等意义,初步了解集合的分类及性质; 初步掌握集合的表示方法,并...
第一讲 集合的含义及其表示
第一讲 集合的含义及其表示典例分析: 例 1.(1) 用列举法表示下列集合: ① {( x, y) | 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N} ;② {( x, y)...
第一讲集合及其表示
第一讲集合及其表示_数学_高中教育_教育专区。5、常用数集及其记法: 集合的含义及其表示一、集合的基本概念 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记...
第一讲《集合的含义与表示》学案
——数学思维训练方法讲义 学习改变命运 思考成就未来 第一讲 集合的含义与表示 课标考纲解读 1.理解集合的概念,会判断一组对象能否构成集合。 2.了解元素与集合...
第一讲 集合
第一讲 集合_数学_高中教育_教育专区。第一讲 集合一、基础知识 定义 1 有限...有一个抽 屉放有无穷多个元素. 定理 6 容斥原理:用 A 表示集合 A 元素...
第一讲:集合的含义与表示
第一讲:集合的含义与表示一.教学目的与要求:理解集合的概念与元素的特征,掌握各种表示法的含义,会利用元素特征解决相关的问题; 二.重点与难点:概念的了解与集合的...
高中 必修1 第一讲 集合
高中 必修1 第一讲 集合_高一数学_数学_高中教育_教育专区。博途教育学科教师辅导...如果用 A 表示萧山中学全体高一学生组成集合, a 表示萧山中学高一学生中一...
第一章 第一讲 1.1.1集合的含义与表示
第一集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 温故知新 1.自然数的集合包含:零和 ;有理数的集合包含:整数和 2.在平面上,到一个定点的距离...
高中数学必修一第一讲集合
高中数学必修一第一讲集合_数学_高中教育_教育专区。要提分来搏分 暑期提分...课堂教学过程(4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②...
第01讲:集合的概念及其表示方法
第01讲:集合的概念及其表示方法_高一数学_数学_高中教育_教育专区。集合的概念及其表示方法,必修一,预学,导学案第一讲 集合的概念及其表示方法 第一小节:集合的含...
更多相关标签:
集合及其表示法 | 集合的含义及其表示 | 集合及其表示教案 | 集合及其表示 | 集合的表示方法 | 集合的含义与表示 | 集合的含义与表示教案 | 集合表示 |