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高中数学直线与圆的方程知识点总结


高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解: 1、倾斜角:①找α :直线向上方向、x 轴正方向; ②平行:α =0°; ③范围:0°≤α <180° 。 2、斜率:①找 k :k=tanα (α ≠90°) ; ②垂直:斜率 k 不存在; ③范围: 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标: k ? tan ? ?
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? y 2 ? y1 x 2 ? x1

①构造直角三角形(数形结合) ; ②斜率 k 值于两点先后顺序无关; ③注意下标的位置对应。 4、直线与直线的位置关系: l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ①相交:斜率 k 1 ? k 2 (前提是斜率都存在) 特例----垂直时:<1> l1 ? x 轴,即 k 1不存在,则
k2 ? 0 ;

<2> 斜率都存在时: k 1 ? k 2 ? ? 1 。 ②平行:<1> 斜率都存在时: k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; <2> 斜率都不存在时:两直线都与 x 轴垂直。 ③重合: 斜率都存在时: k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; 二、方程与公式: 1、直线的五个方程: ①点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ②斜截式: y ? kx ? b
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

将已知点 ( x 0 , y 0 ) 与斜率 k 直接带入即可; 将已知截距 ( 0 , b ) 与斜率 k 直接带入即可;

③两点式: 带入即可;

, ( 其中 x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) 将已知两点 ( x1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 直接

④截距式:

x a

?

y b

?1

将已知截距坐标 ( a , 0 ), ( 0 , b ) 直接带入即可;

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 ,其中 A、B 不同时为 0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。 2、求两条直线的交点坐标:直接将两直线方程联立,解方程组即可

3、距离公式: ①两点间距离: P1 P2 ? ②点到直线距离: d ?
( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2 2

Ax 0 ? By 0 ? C A ?B
2 2

③平行直线间距离: d ?

C1 ? C 2 A ? B
2 2

4、中点、三分点坐标公式:已知两点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ①AB 中点 ( x 0 , y 0 ) : (
x1 ? x 2 2 , y1 ? y 2 2 2 x1 ? x 2 2 y 1 ? y 2 , ) 靠近 A 的三分点坐标 3 3 x ? 2 x 2 y1 ? 2 y 2 ( 1 , ) 靠近 B 的三分点坐标 3 3 )

②AB 三分点 ( s1 , t1 ), ( s 2 , t 2 ) : (

中点坐标公式,在求对称点、第四章圆与方程中,经常用到。 三分点坐标公式,用得较少,多见于大题难题。 5.直线的对称性问题 已知点关于已知直线的对称:设这个点为 P(x0,y0),对称后的点坐标为 P’(x,y) ,则 pp’的斜率与已知直线的斜率垂直,且 pp’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析: 1、解析法(坐标法) : ①建立适当直角坐标系,依据几何性质关系,设出点的坐标; ②依据代数关系(点在直线或曲线上) ,进行有关代数运算,并得出相关结果; ③将代数运算结果,翻译成几何中“所求或所要证明” 。 y 2、动点 P 到两个定点 A、B 的距离“最值问题” : ① PA ? PB 的最小值:找对称点再连直线,如右图所示: ② PA ? PB 的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边” ; ③ PA
2

o

x

? PB

2

的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴” 。

3、直线必过点:① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3 令:x+2=0 => 必过点(-2,3) ②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令:3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析: ① 讨论斜率的存在性: 解题过程中用到斜率,一定要分类讨论:<1>斜率不存在时,是否满足题意; <2>斜率存在时,斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负,不能“错认为”截距就是距离,会丢解; (求解直线与坐标轴围成面积时,较为常见。 )

③ 直线到两定点距离相等,有两种情况: <1> 直线与两定点所在直线平行; <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程 1. 定义:一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆,其中定点称 为圆的圆心,定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法: 第一种:圆的一般方程—— x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 半径 r
D ? E ?4 F 2
2 2

2

2

其中圆心 C ? ?
?

?

D 2

,?

E ? ? 2 ?



?

.
E ? ? 2 ?

当 D 2 ? E 2 ?4 F 当 D 2 ? E 2 ?4 F 当 D 2 ? E 2 ?4 F

? 0 ? 0 ? 0

时,方程表示一个圆, 时,方程表示一个点 ? ? ?
? D 2 ,?

.

时,方程无图形.

第二种:圆的标准方程—— ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 .其中点 C ( a , b ) 为圆心, r 为半径的 圆 第三种:圆的参数方程——圆的参数方程: ?
注:圆的直径方程:已知 A ( x 1 , y 1 ) B ( x 2 , y 2 ) ?
? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?

( ? 为参数)

( x ? x 1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y 1 )( y ? y 2 ) ? 0
: ( x ? a) ?( y ? b) ?r
2 2 2

3. 点和圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C ① M 在圆 C 内 ?
( x 0 ? a ) ? ( y 0 ?b) ? r
2 2 2

.

② M 在圆 C 上 ?( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ? b ) 2 ? r 2 ③ M 在圆 C 外 ?
( x 0 ? a ) ? ( y 0 ?b) ? r
2 2 2

4. 直线和圆的位置关系: 设圆圆 C : ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ( r
? 0)



直线 l : Ax

? By ? C ? 0 ( A ? B ? 0 ) ;
2 2

圆心 C ( a , b ) 到直线 l 的距离 d ①d ②d ③d
? r ? ?

?

Aa ? Bb ? C A ?B
2 2

.

时, l 与 C 相切; r 时, l 与 C 相交; , r 时, l 与 C 相离.

5、圆的切线方程: 2 ①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R . 特别地, 过圆 x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y 有一条)
?r
2

.(注:该点在圆上,则切线方程只

②若点(x0

? y1? y 0 ? k (x1? x 0 ) ? b ? y 1 ? k (a ? x 1 ) ,y0)不在圆上, 圆心为(a,b)则 ? R ? ? 2 R ?1 ?

, 联立求出 k

?

切线方程. (注:

过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于 X 轴的直线。 ) 6.圆系方程: 过 两 圆 的 交 点 的 圆 方 程 : 假 设 两 圆 方 程 为 : C1:x +y +D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 则 过 两 圆 的 交 点 圆 方 程 可 设 为 : x2+y2+D1x+E1y+F1+λ
2 2

(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
过两圆的交点的直线方程:x +y +D1x+E1y+F1- x +y +D2x+E2y+F2=0(两圆的方程相减得到的方 程就是直线方程) 7.与圆有关的计算: 2 2 弦长的计算:AB=2*√R -d 其中 R 是圆的半径,d 等于圆心到直线的距离 2 AB=(√1+k )*∣X1-X2∣ 其中 k 是直线的斜率,X1 与 X2 是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根 过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题 ①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设 P(x,y)是在某个圆上的动点,则(x-a)/(y-b)的最值可以转化为圆上的点与 该点(a,b)的斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的 最值。 ④假设 P x, 是在某个圆上的动点, ( y) 则求 x+y 或 x-y 的最值可以转化为: T=x+y 或 T=x-y, 设 在圆上找到点(X,Y)使得以 y=x+T 或 y=x-T 在 Y 轴上的截距最值化。 9.圆的对称问题 ①已知圆关于已知的直线对称, 则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的, 只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆, 则这个直线必过某定点, 且该定点是圆的圆 心坐标
2 2 2 2


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