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第八节 函数与方程


第八节

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1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y =f(x)的零点.

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(2)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴 有交 点?函数 y=f(x)有 零点 . (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
f(b)<0 ,那么,函数 y=f(x)在区间 条曲线,并且有 f(a)·

(a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0 ,这 ______ c 也就是方程 f(x)=0 的根. 个__

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Δ>0

Δ=0

Δ<0

图象

与x轴的交点 零点个数

( x1,0),(x2,0) _____________
2 ___

(x1,0) _______ 1 ___

无交点
0 ___

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1.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

(

)

答案:B

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2.函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则 k 的取值范围是 ________.
? 1? 答案:?-1,-2? ? ?

3.(教材习题改编)函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点个数是 ______.
答案:1

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1.函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也 是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标. 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而 不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、 对称性或结合函数图象.

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1.函数 f(x)=(x2-2)(x2-3x+2)的零点为______.

答案:- 2, 2,1,2
2.若函数 f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内: ①函数 f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内; ②函数 f(x)在(3,5)内无零点; ③函数 f(x)在(2,5)内有零点; ④函数 f(x)在(2,4)内不一定有零点; ⑤函数 f(x)的零点必在(1,5)内. 以上说法错误的是______(填序号). 答案:①②③
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1.(易错题)(2016· 宁波模拟)已知实数 a>1,0<b<1,则函数 f(x)= ax+x-b 的零点所在的区间是 A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)
解析

(

)

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2. 设 f(x)=ln x+x-2, 则函数 f(x)的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4)

)

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3.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上______(填“存在”或 “不存在”)零点.

解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)· f(8)<0, 又 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]的图象是连续的, 故 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上存在零点.

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法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0, ∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上存在零点. 答案:存在

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1.(2015· 天津高考)已知函数

? ?2-|x|,x≤2, f(x)=? 2 ? ??x-2? ,x>2,

函数 g(x)=3 ( )

-f(2-x),则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为 A.2 C.4 B. 3 D.5

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2.(2015· 学军中学检测)已知函数

? ?-2,x>0, f(x)=? 2 ? - x +bx+c,x≤0, ?

若 f(0)=-2,f(-1)=1,则函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数 为______.

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1.函数 f(x)=sin(πcos x)在区间[0,2π]上的零点个数是( A.3 B. 4 C.5 D.6

)

解析:令 f(x)=0,得 πcos x=kπ(k∈Z)?cos x=k,所以 k π 3π =0,1,-1.若 k=0,则 x= 或 x= ;若 k=1,则 x=0 2 2 或 x=2π;若 k=-1,则 x=π,故零点个数为 5. 答案:C

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1 2.函数 f(x)=ex+ x-2 的零点有______个. 2
1 解析:∵f′(x)=ex+2>0,∴f(x)在 R 上单调递增, 3 又 f(0)=1-2<0,f(1)=e-2>0, ∴函数在区间(0,1)上有零点且只有一个. 答案:1

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(2015· 宁波期末)已知 f1(x)=|x-1|, fn+1(x)=|(n+1)· fn(x)-1|, n∈N*,若函数 y=f3(x)-kx 恰有 4 个不同零点,则正实数 k 的值为________.

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1.已知函数

? ?log2?x+1?,x>0, f(x)=? 2 ? - x -2x,x≤0, ?

若函数 g(x)=f(x)-m

有 3 个零点,则实数 m 的取值范围是______.

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2. (2016· 吉林实验中学)函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n, n+1)(n∈N)内,则 n=________.

解析: 求函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点, 可以大致估算两个 相邻自然数的函数值,因为 f(2)=-1+ln 2,由于 ln 2<ln e =1,所以 f(2)<0,f(3)=2+ln 3,由于 ln 3>1,所以 f(3)>0, 所以函数 f(x)的零点位于区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2
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