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双曲线


预习课程˙解析几何˙双曲线

双曲线
知识导引
《悲伤的双曲线》 如果我是双曲线 你就是那渐近线 如果我是反比例函数 你就是那坐标轴 虽然我们有缘 能够生在同一个平面 然而我们又无缘 慢慢长路无交点 为何看不见 等式成立要条件 难到正如书上说的 无限接近不能达到…… 我们在初中学过的反比例函数,图象即为双曲线,正如上面歌词所讲,坐标轴为其渐近线,无限逼近 但是不相交.那么什么是双曲线?它又有哪些性质呢? ——王渊超

知识讲解
一、双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义:平面内
这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 依定义,设 P 是双曲线上一点,则有 PF1 ? PF2 ? 2a 且 2 a ? 2c 2.双曲线的标准方程: ① ② 点的轨迹叫做双曲线.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) ,焦点坐标为 a 2 b2
y 2 x2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) ,焦点坐标为 a 2 b2

, ,

, c2 ? a 2 ? b2 ; , c2 ? a 2 ? b2 ;

二、双曲线的几何性质 1.范围: x ≥ a 或 x ≤ ? a ;如图.
2. 对称性:以 x 轴、 y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,这个对称中心又叫做双曲线的中心. 3. 顶点:双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点. 4. 实轴与虚轴:两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴.如图中, A1 , A2 为顶点,线段 A1 A2 为双曲线
? b) , B2 (0 , b) ,线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴. 的实轴.在 y 轴上作点 B1 (0 ,
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预习课程˙解析几何˙双曲线 5. 渐近线:直线 6. 离心率: e ? ;

c 叫做双曲线的离心率, e ? 1 .双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. a
y x=a B2

x=-a

P M

F1 A 1

O B1

A 2 F2

x

探究
一、双曲线的画法
画法 1: 1.在 x 轴上取两点 F1、F2,使|OF1|=|OF2|,用它们作为两个焦点; 2.在图形外作一条线段 AB,使|AB|=2a,(|AB|<|F1F2|); 3.以 O 为中心,在 x 轴上取两点 A1、A2,使|A1A2|=|AB|; 4.在 AB 延长线上分别取 C',使|BC'|=|A1F1|;在 ABC'的延长线方向 上作射线 C'C,并用“作图”菜单中的“对象上的点”功能在 C'C 上 作点 C; 5.分别以 F1、F2 为圆心,用|BC|、|AC|为半径作圆,两圆相交于 P1、 P2 两点;同样方法分别以 F1、F2 为圆心,用|AC|、|BC|为半径作 圆,两圆相交于 P3、P4 两点;并将这四个点定义为“追踪点”; 6.依次选中点 C、点 P1 (或点 C、点 P2 , 或点 C、点 P3, 或点 C、点 P3),用“作图”菜单中的“轨迹”功能,作出双 曲线. 理论根据:点 P1 是两圆的交点,∴ 点 P1 到 F1 与 F2 的距离的差等于两圆的半径的差, 即 ||PF1|-|PF2||=|AC|-|BC|=|AB|=2a. 画法 2: 1.在 x 轴上取两点 F1、F2,使|OF1|=|OF2|,用它们作为两个焦点; 2.在图形外作一条线段,使它的长度为 2a,(2a<|F1F2|); 3.以 F1 为圆心,2a 为半径作圆,在圆上任取一点 P; 4.连接 PF1、PF2,作 PF2 的中垂线与直线 PF1 交于点 M,连接 MF2; 5.将点 M 定义为“追踪点”,分别选中点 M、点 P,用“作图”菜单中的“轨 迹”功能画出双曲线. 理论根据: 点 M 在 PF2 的中垂线上,∴ |MP|=|MF2|, ∴ |MF1|-|MF2|=|MF1|-|MP|=|F1P|=2a. 即点 M 到两个定点 F1 和 F2 的 距离的差等于定长 2a.点 M 的轨迹是一个双曲线. 画法 3:
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A 2a B C

y

P1 F1 O P2

P3 F2 P4

x

2a

y

P F1 O F2

M x

预习课程˙解析几何˙双曲线 1.在平面直角坐标系中取点 F1、F2,使|OF1|=|OF2|,把它们作 为焦点,在 OF1 上取一点 A1,使它作为双曲线的顶点; 2.度量 OF1、OA1,把它们的长分别作为 c 和 a,使 a<c;

a=1.283 cm c=2.062 cm

y l D

M1 x

a2 a2 3.计算 ? c ,在 Ox 轴上取一点 N,使|ON|= ? c ,过点 c c N 作 Ox 轴的垂线作为双曲线的准线;
4. 选中 Ox 轴, 用“作图”菜单中的“对象上的点”功能, 取动点 P;

c c ,并度量|NP|的长,计算|NP|× ; a a c 6.以点 F2 为圆心,|NP|× 为半径作圆,此圆与过点 P 且垂直 a
5.计算 e= 于 Ox 轴的直线相交于 M1,M2 两点;

c e= a =1.607 a 2 =0.798 cm c

F1 A1 O N

F2 P

M2

7.分别选中点 M1 和点 P(或点 M2 和点),用“作图”菜单中的“轨迹”功能,画出双曲线. 理论根据: 点 M1 到点 F2 的距离是|NP|× ,点 M1 到准线 l 的距离|M1D|=|NP|, ∴

c a

点M 1到F2的距离 c = =e. ∴ 点 M1 在双曲线上. 点M 1到直线l的距离 a

画法 4: 1.以坐标原点 O 为圆心,分别以 a、b(a, b>0)为半径画两个圆; 2.圆 OA 与 x 轴的正方向交于点 C,过 C 作 x 轴的垂线, 3.在圆 OA 上取一点 P,连接 OP,直线 OP 与过点 C 且和 x 轴 垂直的直线交于点 N,过点 N 作 x 轴的平行线 NM; 4.过点 P 作 PR 垂直于 OP,交 x 轴于点 R; 5.过点 R 在 x 轴的垂线交直线 NM 于点 M; 6.分别选中点 M 和点 P,用“作图”菜单中的“轨迹”功能,画出双 曲线. 理论根据:设∠xOP=φ,则|OR|=|OP|secφ=asecφ, |RM|=|NC| =|OC|tgφ=btgφ, 根据双曲线的参数方程知, 点 M 的轨迹是 一个双曲线.

y

B O

P M N C AR

x

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例题精讲
一、双曲线的定义与方程
0) , F2 (3 , 0) 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹( 【例1】 到两定点 F1 (?3 ,



A.椭圆

B.线段

C.双曲线

D.两条射线 )

? 5) 、 F2 (0 , 5) 满足 PF2 ? PF1 ? 6 ,则点 P 的轨迹方程为( 【例2】 动点 P 与点 F1 (0 ,

A.

x2 y 2 ? ?1 9 16 x2 y 2 ? ? 1( y ≥ 3) 16 9

B. ?

x2 y 2 ? ?1 16 9 x2 y 2 ? ? 1( y ≤ ?3) 16 9
) D. 4 )

C. ?

D. ?

2 2 【例3】 曲线 x - my = 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m 等于(

A.

1 4

B.

1 2

C. 2

【例4】 若 k ? R ,则“ k ? 3 ”是“方程

A.充分不必要条件. C.充要条件
【例5】 双曲线

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线”的( k ?3 k ?3 B.必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件

5 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于_______. 4 16 m

【例6】 已知 P ( x, y ) 是中心在原点,焦距为 10 的双曲线上一点,且

y x

的取值范围为 ( ?

3 3 , ) ,则该双曲 4 4

线方程是( ) x2 y 2 A. ? ?1 9 16 x2 y 2 C. ? ?1 16 9

B.

y2 9 y2 16

? ?

x2 16 x2 9

?1 ?1

D.

二、双曲线的性质
【例7】 双曲线 x 2

y2 ? 2 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? 3x ,则 b ? _________. b
x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的焦距为 4 ,且过点 (2,3) ,则它的渐近线方程为 a 2 b2


【例8】 已知双曲线 C :

【例9】 已知双 曲线

x2 y2 x2 y2 2 6 的离心率为 , 顶点与椭圆 ? ? ? ? 1 的焦点相同, ? ? 1 a ? 0 , b ? 0 8 5 a2 b2 3

那么该双曲线的焦点坐标为__________,渐近线方程为 _______________.

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【例10】 双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4
B.

) D.
4 5 5

A.

2 5

4 5

C.

2 5 5

【例11】 已知双曲线 C :

x2 y 2 5 ,则 C 的渐近线方程为( ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 2 a b 2 1 1 1 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 3 4
?
4
,则双曲线 C1 :



【例12】 已知 0 ? ? ?

A.实轴长相等

x2 y2 y2 x2 与 ? ? 1 C : ? ? 1 的( 2 cos2 ? sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? tan 2 ? B.虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等



三、离心率
【例13】 设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 a 2 b2

?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.
【例14】 已知双曲线的方程为

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , 过左焦点 F1 作斜率为 的直线交双曲线的右支于点 a 2 b2 3 ) P ,且 y 轴平分线段 F1 P ,则双曲线的离心率为(
B. 5 ? 1 C. 2 D. 2 ? 3

A. 3

F2 分别是双曲线 【例15】 设 F1 ,

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90° 且 a 2 b2

15 2 10 2

| AF1 |? 3 | AF2 | ,则双曲线的离心率等于(

A.

5 2

B.

C.

D. 5

【例16】 已知 F1 (?c, 0) , F2 (c,0) 分别是双曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,双曲线 C1 和 a 2 b2 FF P FF 圆 C2 :x2 ? y 2 ? c2 的一个交点为 P , 且 2?P , 那么双曲线 C1 的离心率为 ( ) 1 2 ?? 2 1
A.

5 2

B. 3

C. 2

D. 3 ? 1

【例17】 已知双曲线

x2 y 2 F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , a 2 b2 | PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为.
x2 y2 ? 2 ? 1(m ? 0) ,则离心率的范围是( m m ?4
B. [ 5, ??) C. [1, ??) D. [3, ??) )

【例18】 已知双曲线的方程为

A. [ 3, ??)

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【例19】 已知点 F1 、F2 分别是双曲线

x2 y 2 右焦点, 过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A 、 ? ? 1 的左、 a 2 b2 ) B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是(
B. (1,

A. (1, ? ?)

3)

C. (1 , 2)

D. (1, 1 ? 2)

四、几何性质的应用
F2 为双曲线 【例20】 设 F1 ,

x2 y2 π ? ? 1(0 ? ? ≤ , b ? 0) 的两个焦点,过 F1 的直线交双曲线的同支于 sin 2 ? b2 2 A, B 两点,如果 | AB |? m ,则 ?AF2 B 的周长的最大值是( ) .
B. 4 C. 4 ? m D. 4 ? 2 m

A. 4 ? m
【例21】 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A, B 两点,则 4 3 BF2 ? AF1 的最小值为( )
19 2
B. 11 C. 12 D. 16

A.

【例22】 已知 F 是双曲线

x2 y 2 4? , P 是双曲线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小 ? ? 1 的左焦点, A?1, 4 12

值为
【例23】 已知双曲线



x2 y 2 F2 , 右焦点分别为 F1 、 其一条渐近线方程为 y ? x , 点P ? ? 1(b ? 0) 的左、 2 b2 ???? ???? ? 在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 ? ( )
A. ?12 B. ?2 C. 0 D. 4

?

3 ,y0

?

0? 分别为双曲线 【例24】 若点 O 和点 F ? ?2 ,
??? ? ??? ? 意一点,则 OP ? FP 的取值范围为(

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任 a2


A. ? ?3 ? 2 3 ,? ?
? 7 ? C. ? ? ,? ? ? ? 4 ?

?

B. ? ?3 ? 2 3 ,? ?
?7 ? D. ? ,? ? ? ?4 ?

?

? 1, 2? ,3 在 )其 右 支 上 , 且 满 足 【例25】 双 曲 线 x2 ? y 2 ? 8 的 左 右 焦 点 分 别 是 F1 , F2 , 点 Pn ( xn , yn ) (n

Pn?1 F2 ? Pn F1 , PF 1 2 ? F 1 F2 ,则 x2012 的值是(

) D. 8040

A. 8040 2

B. 8048 2

C. 8048

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知识总结
一、双曲线及其标准方程
1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | 且不等于零)
的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 依定义,设 P 是双曲线上一点,则有 PF1 ? PF2 ? 2a 且 2 a ? 2c 2.双曲线的标准方程: ① ②

x2 y 2 0) , c 2 ? a 2 ? b 2 ; 0) , (c , ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) ,焦点坐标为 (?c , a 2 b2 y 2 x2 ? c) , F2 (0 , c) , c 2 ? a 2 ? b 2 ; ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) ,焦点坐标为 F1 (0 , a 2 b2

二、双曲线的几何性质 1.范围: x ≥ a 或 x ≤ ? a ;如图.
2. 对称性:以 x 轴、 y 轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,这个对称中心又叫做双曲线的中心. 3. 顶点:双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点. 4. 实轴与虚轴:两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴.如图中, A1 , A2 为顶点,线段 A1 A2 为双曲线
? b) , B2 (0 , b) ,线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴. 的实轴.在 y 轴上作点 B1 (0 ,

b 5. 渐近线:直线 y ? ? x ; a c 6. 离心率: e ? 叫做双曲线的离心率, e ? 1 .双曲线的离心率越大,它的开口就越开阔. a
y x=-a B2 F1 A 1 O B1 A 2 F2 x=a P M

x

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课后巩固
【题1】 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ? 3,0 ? ,离心率等于

3 ,在双曲线 C 的方程是( 2
x2 y 2 ? ?1 2 5



A.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 4 5 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

D.

【题2】 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 16 9

【题3】 已知椭圆

x2 y2 x2 y2 和双曲线 那么双曲线的渐近线方程是 ( ? ? 1 ? ? 1有公共的焦点, 3m2 5n2 2m2 3n2
B. y ? ?
15 x 2



A. x ? ?

15 y 2

C. x ? ?

3 y 4

D. y ? ?

3 x 4

【题4】 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( a 2 b2
B.y= ? 2 x


2 x 2

A.y=± 2x

1 C. y ? ? x 2

D. y ? ?

【题5】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 A 在双曲线上,且 AF2 ? x 轴, a 2 b2
) C. 2 D. 3
y



AF1 AF2

?

5 ,则双曲线的离心率等于( 3

A. 2

B. 3

F2 ,过 F1 的直 【题6】 如图,已知双曲线的左、右焦点分别为 F1 ,

B 两点,若 AB ? 5 且实轴长为 8 ,则 线与左支交于 A ,
△ ABF2 的周长为

A F1 B O F2 x



【题7】 P 是双曲线

x2 y 2 - = 1 的右支上一点, M 、N 分别是圆 C1 : 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为 .

期中对接
【题1】 (2010-2011 京五中)已知曲线 C :

x2 y2 ? ? ?1 ,则“ 4 ≤ k ? 5 ”是“曲线 C 表示焦点在 y 轴上 k ?5 3? k

的椭圆”的______________条件.

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【题2】 (2010-2011 京五中) 若双曲线 C 与双曲线

x2 y 2 且过点 A 3 , 2 , 则双曲线 C 的 ? ? 1 共渐近线, 12 8

?

?

方程为______________.
【题3】 (2011-2012 京 66 中)已知双曲线的离心率为 2,焦点是(-4,0) , (4,0) ,则双曲线方程为

A.

x2 y2 ? ?1 4 12 x2 y2 ? ?1 10 6

B.

x2 y2 ? ?1 12 4 x2 y2 ? ?1 6 10


C.

C.

【题4】 (2010-2011 京五中)双曲线

4 A. y ? ? x 9 3 C. y ? ? x 2

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9 4 B. x ? ? y 9 3 D. x ? ? y 2

【题5】 (2010-2011 京五中)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲 a 2 b2

e 线的右支,且 PF 1 ? 4 PF 2 ,则此双曲线的离心率 的取值范围为 .
【题6】 (2011-2012 京 5 中) P 为双曲线

x2 y 2 M 、N 分别是圆 (x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ? ? 1 的右支上一点, 9 16
( )

( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【题7】 (2010-2011 京五中)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线交双曲 a 2 b2
) B. b ? a ? MO ? MT D. b ? a 与 MO ? MT 大小不定

线右支于点 P ,切点为 T , F1 P 中点 M 在第一象限,则以下正确的是( A. b ? a ? MO ? MT C. b ? a ? MO ? MT

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数学文化
双曲线知识补充
在数学中,双曲线(希腊语“?περβολ?”字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两 半的一类圆锥曲线. 它还可以定义为与两个固定的点 (叫做焦点) 的距离差是常数的点的轨迹. 这个固定的距离差是 a 的两倍, 这里的 a 是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离.a 还叫做双曲线的半实轴.焦点位于贯穿 轴上它们的中间点叫做中心. 从代数上说,双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线
Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

使得 B 2 ? 4 AC ? 0 ,这里的所有系数都是实数,并存在定义在双曲线上的点对 ( x, y ) 的多于一个的解. 注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线. 等轴双曲线:一双曲线的实轴与虚轴长相等 即: 2 a ? 2b 且 e ? 2 ,这时渐近线方程为: y ? ? x (无论焦 点在 x 轴还是 y 轴) 共轭双曲线:双曲线 S ' 的实轴是双曲线 S 的虚轴 且 双曲线 S ' 的虚轴是双曲线 S 的实轴时,称双曲线 S ' 与 双曲线 S 为共轭双曲线.

x2 y 2 y 2 x2 S ' ? ? 1 ? ?1 : a 2 b2 b2 a 2 特点:(1)共渐近线;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点. (2)焦距相等 .
几何表达: S : (3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于 1. 笛卡尔坐标 中心位于 (h, k ) 的东西开口的双曲线:

( x ? h)2 ( y ? k )2 ? ?1 a2 b2
2 2

( y ? k ) ( x ? h) ? ?1 中心位于 (h, k ) 的北南开口的双曲线: a2 b2 实轴贯穿双曲线的中心并交双曲线两臂于它们的顶点(拐点).焦点位于双曲线实轴的延长线上.虚
轴贯穿双曲线中点并垂直于实轴. 在两个公式中, a 是半实轴(在双曲线两臂之间沿着实轴测量的距离),而 b 是半虚轴. 如果用双曲线的两个顶点的切线交渐近线形成一个矩形,在切线上的两边的长度是 2b ,平行于实轴的 两边的长度是 2a ,注意 b 可以大于 a . 如果计算从双曲线上任意准线上的点到每个焦点的距离,这两个距离的差的绝对值总是 2a . 对于以直线 x ? h 和直线 y ? k 为渐近线的直角双曲线: ( x ? h)( y ? k ) ? c , 这种双曲线最简单的例子是 y ? 极坐标 东西开口的双曲线: r 2 ? a 2 sec 2? 北南开口的双曲线: r 2 ? ?a 2 sec 2? 北东南西开口的双曲线: r 2 ? a 2 csc 2? 北西南东开口的双曲线: r 2 ? ?a 2 csc 2? 在所有公式中,中心在极点,而 a 是半实轴和半虚轴.
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m , x

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参数方程
? x ? a sec t ? h ? x ? a cosh t ? h 东西开口的双曲线: ? 或? ? y ? b tan t ? k ? y ? b sinh t ? k ? x ? a tan t ? h ? x ? a sinh t ? h 北南开口的双曲线: ? 或? ? y ? b sec t ? k ? y ? b cosh t ? k

在所有公式中, (h, k ) 是双曲线的中点, a 是半实轴而 b 是半虚轴.
2 2 x2 y 2 y 轴上时为: y ? x ? 1 焦点在 ? ? 1 a 2 b2 a 2 b2 b a ep 双曲线的渐近线方程: 焦点在 x 轴:y ? ? x . 焦点在 y 轴:y ? ? x . 圆锥曲线 ? ? , 当 e ? 1 时, a b 1 ? e cos? 表示双曲线.其中 p 为焦点到准线距离, ? 为弦与 x 轴夹角.

双曲线的标准方程;焦点在 x 轴上时为:

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双曲线专题复习(精心整理).
《圆锥曲线》---双曲线主要知识点 1、 双曲线的定义: (1) 定义:___ (2) 数学符号:___ (3) 应注意问题: 2、 双曲线的标准方程: 图像 标准方程 不同...
高考复习—双曲线相关知识点
高考复习—双曲线相关知识点_数学_高中教育_教育专区。第一部分 双曲线相关知识点讲解一.双曲线的定义及双曲线的标准方程: 1 双曲线定义:到两个定点 F1 与 F2...
双曲线经典例题讲解
双曲线经典例题讲解_数学_高中教育_教育专区。第一部分 双曲线相关知识点讲解一.双曲线的定义及双曲线的标准方程: 1 双曲线定义:到两个定点 F1 与 F2 的距离...
双曲线典型例题
【解析】如图设直线 l 的倾斜角为α ,双曲线渐近线 .显然。当β >α 时直线 l 与双曲线的两 O F X m 的倾斜角为β 个交点分别在左右两支上.由 l b...
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