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函数的单调性与最值


第三节 函数的单调性与最值
1. (2010?北京)给定函数:①y=x

1 1 ,②y=log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间 2 2

(0,1)上单调递减的是( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 2. 函数 f(x)=|x|和 g(x)=x(2-x)的单调递增区间分别是( A. (-∞,0],(-∞,1] B. (-∞,0],[1,+∞) C. [0,+∞),(-∞,1] D. [0,+∞),[1,+∞) 3. 已知 f(x)= ? 是( ) A. (0,1)

)

?(3a ? 1) x + 4a, ( x < 1) 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数 a 的取值范围 ?log a x, ( x ≥ 1)
? 1? ? 3? ?1 ? D. ? 1? ?7 ?
B. ? 0 ?

C. ? ? ?7 3 ? 4. (2011?杭州学军中学月考)设 M 为实数区间,a>0 且 a≠1,若“a∈M”是“函数 f(x)=loga|x-1|在(0,1)上单调递增”的一个充分不必要条件,则区间 M 可以是( ) A. (1,+∞) B. (1,2) C. (0,1) D. ? 0

?1 1 ?

? 1? ? ? 2?

5. 函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调递增函数,满足 f(x?y)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x-8)≤2 时,x 的取值范围是( ) A. (8,+∞) B. (8,9] C. [8,9] D. (0,8) 6. 用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0), 则 f(x)的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2 7. (2011?海安如皋联考)若函数 f(x)=mx +x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则实数 m 的取值 范围是________. 8. (2010?重庆)已知 t>0,则函数 y=

t 2 ? 4t + 1 的最小值为________. t

9. (改编题)已知函数 y=f(x),当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0 恒成立,则 f ?

?5? ?, ?2?

f(2),f(3)的大小关系为________. 10. 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围为________. 11. 对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 12. 已知函数 f(x)=

1 1 - (a>0,x>0). a x ?1 ? ? ?

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)在 ? , 2 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值. 2 2

?1 ?

? ?

13. 若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对于任意 x>0 满足 f ? (1)求 f(1)的值; (2)若 f(6)=1,试求解不等式 f(x+3)-f ?

?x? ? =f(x)-f(y). ? y?

?1? ? <2. ?x?

考点演练 1. B 解析: 可以画出四个函数的图象,由图象可知①④在(0,1)上增,②③在(0,1)上减,故选 B. 2. C 解析: ? ?x,x≥0, ∵f(x)=? ∴f(x)的单调增区间为[0, +∞); g(x)=2x-x2, 其对称轴为 x=1, ?-x,x<0, ? 且图象开口向下,故其单调增区间为(-∞,1],故选 C. 3. C 解析: 根据题意要使原函数在定义域 R 上为减函数,只需满足:

?3a-1<0, ? ?0<a<1, ?(3a-1)×1+4a≥log 1 ? a

1 1 ? ≤a< . 3 7

4. D 解析: 函数 y=loga|x-1|可看作由 y=logau 与 u=|x-1|复合而成,∵u=|x-1|在(0,1)上为减函 数,由复合函数单调性知,y=logau 也为减函数,故 0<a<1,又因为是充分不必要条件, 故应选 D. 5. B 解析: 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由 f(x)+f(x-8)≤2,可得 f(x(x-8))≤f(9),因为函数 f(x)是 定义在(0,+∞)上的增函数,所以有 x>0 且 x-8>0 且 x(x-8)≤9,解得 8<x≤9. 6. C 解析: f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图.令 x+2=10-x 得 x=4.当 x=4 时,f(x) 取最大值,即 f(x)max=f(4)=6.

1 7. ?0,4? 解析: ? ? 当 m=0 时,f(x)=x+5,在[-2,+∞)上单调递增,∴m=0 适合; ?m>0, ? 1 当 m≠0 时,f(x)为二次函数,其对称轴为 x=- ,故需满足? 1 2m ? ?-2m≤-2, 1 1 <m≤ .综上可得:0≤m≤ . 4 4 8. -2 解析: t2-4t+1 1 ∵t>0,∴y= =t+ -4≥-2,当且仅当 t=1 时,ymin=-2. t t 5? 9. f(3)>f?2?>f(2) 解析:∵当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ?

解得 0

∴f(x2)-f(x1)>0,∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数, 5 ∴f(3)>f?2?>f(2). ? ? 10. (-2,1) 解析: 当 x≥0 时,f(x)=x2+2x 为增函数, ∵f(x)是奇函数,∴f(x)在 R 上为增函数. ∵f(2-a2)>f(a),∴2-a2>a, ∴a2+a-2<0,∴-2<a<1. ∴实数 a 的取值范围是(-2,1). 11. [-2,+∞) 解析: 令 y=x2+a|x|+1,易知该函数为偶函数, 当 x≥0 时,y=x2+ax+1. a 4-a2 ①当 a<0 时,ymin=f?-2?= , ? ? 4 4-a2 又∵函数为偶函数,∴在 R 上 ymin= , 4 4-a2 ∴ ≥0,解得-2≤a≤2, 4 又∵a<0,∴-2≤a<0; ②当 a≥0 时,ymin=f(0)=1, 又∵函数是偶函数,∴在 R 上 ymin=1,此时 y≥0 恒成立. 综上可知,a 的取值范围是[-2,+∞). 12. (1)方法一:设 x2>x1>0,则 x2-x1>0,x1x2>0. 1 1 1 1 1 1 x2-x1 ∵f(x2)-f(x1)=?a-x ?-?a-x ?= - = >0, ? ? x1 x2 x1x2 2? 1? ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 1 1 1 方法二:∵f(x)= - ,∴f′(x)=?a-x?′= 2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为是增函数. ? ? a x x 1 1 1 1 1 (2)∵f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,又 f(x)在?2,2?上单调递增,∴f?2?= ,f(2)=2, ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ∴a= . 5 13. (1)令 x=y>0,则 f(1)=f(x)-f(x)=0. 1 (2)∵f(6)=1,由 f(x+3)-f?x?<2, ? ? 1 得 f(x+3)-f?x?<2f(6). ? ? ∴f[x(x+3)]<f(6)+f(6), ∴f[x(x+3)]-f(6)<f(6), x(x+3)? ∴f? ? 6 ?<f(6). x(x+3) x(x+3) -3+3 17 又∵f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数, 且 >0, ∴ <6, 解得 0<x< . 6 6 2


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