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等比数列-答案


等比数列答案和解析
【答案】1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 7.-4 8.2 9.31 10.1 11.± 212.±6 13.解:在等比数列中,a1=6,a2=12, ∴q= 1 =2, ∴an=6×2 -1=3×2 ,Sn=
n n

6.D

n (2)等比数列{an}中,an=a1?q -1, ∴4 = ?1 × 3 = 64, 解得 q=-4;

5

又 Sn= ∴S3=

1 (1? ) 1 ?

,且 a1=-1,
?(1?(?4)3 ) 1?(?4)

1 (1? 3 ) 1?

2

=

=-13.┅┅(12 分)

6(1?2 ) 1 ?2

=3×2

n+1

-6.

14.解: (1)∵{an}为等差数列, ∴a1+a3=2a2=8,S5=5a3=30, ∴a2=4,a3=6, ∴公差 d=a3-a2=2, ∴an=a2+(n-2)d=2n (2)由(1) =
(2+2 ) 2

= 2 + ,

∴ +2 = ( + 2)2 + + 2 = 2 + 5 + 6, 2 若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,则 = 1 +2 , 2 2 2 k k k k 即 4 =2( +5 +6) ,化简可得 -5k-6=0, 解得 k=6 或 k=-1, ∵k∈N*,∴k=6 15.解: (Ⅰ)∵数列{an}是等差数列,前 n 项和为 Sn, a1=9,S3=21. ∴3 = 3 × 9 +
3×2 2

18.解: (I)设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1=1,a2a4=16, 2 4 q4 ∴1 = =16, ∵q>0,解得 q=2, n ∴an=2 -1.∴b3=a4=23=8. ∵6Sn=bn2+3bn+2(n∈N*) , 2 2 当 n≥2 时,6Sn-1=?1 + 3?1 + 2,可得6 = + 2 3 ? ?1 -3bn-1, 化为(bn+bn-1) (bn-bn-1-3)=0, ∵bn>0,∴bn-bn-1=3, ∴数列{bn}是等差数列,公差为 3. ∴bn=b3+(n-3)×3=8+3n-9=3n-1. (II)cn= = 2 ?1 ,




3?1

(1)Tn=1+2+22 +?+ 2 ?1 ,2 =2 × 2+22 +
8 23

2

5

8

3?1

1

1

5

= 21,

+?+ 2 ?1 +
1

3?4

3?1 2


1 3?1 2

解得 d=-2, ∴an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11. (Ⅱ)∵a5,a8,Sk 成等比数列, 2 ∴8 = 5 ? , 即(-2×8+11)2=(-2×5+11)?[9k+
(?1) 2

∴2 =2 + 3(2 + 22 + ? + 2 ?1 )1 1 (1? ?1 ) 2 2 1 1? 2

1

1

=2 + 3 ×

-

3?1 2

=5-

3 +5 2



∴Tn=10 ? × (?2)],

3 +5 2 ?1


5 11 8

解得 k=5. 16.解: (1)由角 A、B、C 成等差数列,则 2B=A+C, 再由三角形内角和 A+B+C=180°, 则 B=60°,即 cosB=2; (2)由 a、b、c 成等比数列,则 b2=a2+c2-2accosB,可知(a-c)2=0,即 a=c, 再由(1)知 B=60°,则三角形△ABC 为等边三角形, 即 A=B=C=60°. 则 sinAsinC=sin60°sin60°= ? =4.
2 2 3 3 3 1

c1=2>1, c2= >1, c3=2>1, 4 = (2 ) 2 下面证明:当 n≥5 时,cn<1, cn+1-cn= 当 n≥5 时,
7 3 +2 2 3?1 2 ?1 4?3 2

>1, c5=8<1.

7

?

=

<0, 即 cn+1<cn,

b2=ac,再有余弦定理

∵c5=8<1.当 n≥5 时,cn<1, 故满足条件 cn>1 的所有值为 1,2,3,4. 【解析】 1. 解:∵a3=1,a5=4, ∴q2= 3 =4, ∴q=±2, 故选:D 利用等比数列的通项公式及其性质即可得出. 本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题.
5

17.解: (1)等差数列{an}中,an=a1+(n-1)d, ∴-10=a1+14×2, 解得 a1=-38; 又 a15=-10, ∴ = 15 =
15( 1 + 15 ) 2

=

15×(?48) 2

= ?360; ┅┅ (6 分)

2. 解:∵数列{an}是等比数列,b1009 是 1 和 3 的等差中 项, ∴b1009=
1+3 2

=2,

2 b1b2017=1009 =4.

故选:D. 由等差中项求出 b1009=2,由此利用等比数列通项公式 2 能求出 b1b2017=1009 的值. 本题考查等比数列的两项积的求法,是基础题,解题时 要认真审题,注意等比数列、等差中项的性质的合理运 用. 3. 解: 由等比数列的前 n 项和公式的性质可得: S3, S6-S3, S9-S6 成等比数列, ∴(6 ? 3 )2 =S3?(S9-S6) , 2 ∴(60-12) =12×(S9-60) , 解得 S9=252. 故选:C. 由等比数列的前 n 项和公式的性质可得: S3, S6-S3, S9-S6 成等比数列,即可得出. 本题考查了等比数列的通项公式及其求和公式及其性 质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. a6 时方程 x2-34x+81=0 的两根, a2?a6=81, 4. 解: ∵a2, ∴a42=a2?a6=81∴a4=±9∵a4 与 a2,a6 的符号相同, a2+a4=34>0, ∴a4=9, 故选 A. 根据所给的等比数列的两项和方程根与系数的关系,求 出 a4 的平方,根据条件中所给的三项都是偶数项, 得出 第四项是一个正数,得到结果. 本题考查等比数列的性质,本题解题的关键是判断出第 四项的符号与第二项和第六项的符号相同,本题是一个 基础题. 5. 解:∵等比数列{an}前四项和为 1,前 8 项和为 17, ∴
4 =
1 (1 ? 4 )? =1 1? 8 1 (1? )

故选:D. 由等比数列的通项公式列出方程组,求出首项和公比, 由此能求出结果. 本题考查等比数列的第 9 项的求法,是基础题,解题时 要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用. 7. 解:∵等比数列{an}中,a2a5=-32,a3+a4=4,且公 比为整数, ∴a3a4=a2a5=-32, ∴a3,a4 是一元二次方程 x2-4x-32=0, 解得 a3=-4,a4=8,或 a3=8,a4=-4, ∵公比为整数, ∴a3=-4. 故答案为:-4. 由已知得 a3,a4 是一元二次方程 x2-4x-32=0 的根,由 此能求出 a3. 本题考查函数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意等比数列性质的合理运用. 8. 解:等比数列{an}中, ∵a3,a7 是方程 x2-5x+4=0 的两个根, ∴a3?a7=4,a3+a7=5>0, ∴a5= 3 7 =2. 故答案为:2. 利用根与系数的关系,由已知条件能求出 a3?a7=4, a3+a7=5>0,由此利用等比数列的性质能求出 a5. 本题考查等比数列的第 5 项的求法, 解题时要认真审题, 注意根与系数的关系的合理运用. 9. 解:∵a2=2,a3=4, ∴q=2,a1=1, ∴S5=
1?25 1?2

=31,

8 =

1?

= 17



故答案为:31. 首先根据 a2=2,a3=4 求出等比数列的公比 q 和首项, 然后利用等比数列的前 n 项的求和公式, 进而求得结果. 本题主要考查学生运用等比数列的前 n 项的求和公式的 能力,本题较易,属于基础题.
3 10. 解:∵ = 3, 3



q=±2, 解得 ∴它的公比为 2 或-2. 故选:C. 利用等比数列{an}前 n 项和公式列出方程组,能求出它 的公比. 本题考查数列的公比的求法,是基础题,解题时要认真 审题,注意等比数列的性质的合理运用. 6. 解:∵正项等比数列{an}中,a3=2,a4=8a7, 3 = 1 2 = 2 1 ∴ 1 3 = 81 6 ,解得1 = 8, = 2, >0 a9=1 8 =32.
1

1+q4=17,解得



1 + 1 + 1 2 1 2

=3,

∴1+q+q2=3q, 即(q-1)2=0, 解得 q=1, 故答案为:1. 根据所给的条件,把前 3 项的和变为三项和的形式,两 边同乘以分母,移项合并同类项,约分,得到关于公比 的一元二次方程,解方程. 本题考查等比数列的简单运算,本章要求学生系统掌握 解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思想方 法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方

法解决数学和实际生活中的有关问题. 11. 解:∵-1,a1,a2,-4 成等差数列, ∴a2+a1=-1-4=-5, ∵-1,b,-4 成等比数列, ∴b=± (?1) × (?4)=±2, ∴
2 + 1

=±2=± 2.
5

?5

5

故答案为:± 2. 利用等差数列通项公式求出 a2+a1,利用等比数列性质 求出 b,由此能求出结果. 本题考查代数式求和,是基础题,解题时要认真审题, 注意等差数列、等比数列的性质的合理运用. 12. 解:∵三个数 12,x,3 成等比数列, ∴x2=12×3, 解得 x=±6, 故答案为:±6. 利用等比数列的性质求解. 本题考查了等比数列的性质的合理运用,是基础题, 13. 先求出公比, 再分别求出数列 an 的通项公式及前 n 项和 S n. 本题考查了等比数列的通项公式和求和公式,属于基础 题. 14. (1)由等差数列的性质和求和公式可得 a2 和 a3,进而 可得公差 d,可得通项公式; (2)由等差数列的求和公式和 a1,ak,Sk+2 成等比数列 可得 k 的方程,解方程可得. 本题考查等差数列和等比数列,涉及一元二次方程的求 解,属中档题. 15. (Ⅰ) 利用等差数列前 n 项和公式求出 d=-2, 由此能求 出数列{an}的通项公式. 2 (Ⅱ)由 a5,a8,Sk 成等比数列,得8 = 5 ? ,由此 能求出 k. 本题考查等差数列的通项公式的求法,考查项数 k 的求 法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等 比数列的性质的合理运用. 16. (1) 根据等差中项的性质和三角形的内角和即可求出 B 的大小; (2)根据等比中项的性质结合余弦定理,得到三角形 △ABC 为等边三角形,代值计算即可. 本题考查了等差中项的性质和等比中项的性质,以及余 弦定理,属于基础题. 17. (1)根据等差数列的通项公式与前 n 项和公式,列出 方程即可求出 a1 与 Sn 的值;

(2)根据等比数列的通项公式与前 n 项和公式,即可 求出公比 q 与 S3 的值. 本题考查了等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 的应用问题,是基础题目. 18. (I)设等比数列{an}的公比为 q,由 a1=1,a2a4=16, b3=a4. 利用等比数列的通项公式解得 q, 即可得出 an. 由 2 2 * 6Sn=bn +3bn+2(n∈N ) ,当 n≥2 时,6Sn-1=?1 + 3?1 + 2,利用递推式(bn+bn-1) (bn-bn-1-3)=0,再 利用等差数列的通项公式即可得出. (II)cn= = 2 ?1 ,




3?1

(1)利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式 即可得出 Tn=10 ?
3 +5 2 ?1 5


11 8

c1=2>1, c2= >1, c3=2>1, 4 = (2) 2
4?3 2

>1, c5= < 8

7

1.下面证明:当 n≥5 时,cn<1,当 n≥5 时,作差 cn+1-cn= <0,即可得出.

本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等差数列 与等比数列通项公式及前 n 项和公式、“作差法”,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.


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