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高中数学命题及其关系(一)


命题及其关系(一)
思考:你能判断下列语句的真假吗? 这些语句的表述形式有什么特点? a?b ? ab ? b ;(√)真命题 ⑴若 a ? b ? 0 ,则 a ? 2 ⑵5>3; ( √ ) 真命题 (√) 真命题 ⑶垂直于同一条直线的两个平面平行; 2 ⑷若 b ? ac ,则 a 、b 、c 成等比数列;(×)假命题 ⑸若函数 y ? kx2 ? kx ?

1 的值恒小于 0, 则 ? 4 ? k ? 0 . (×)假命题 注:语句都是陈述句, 并且可以判断真假。
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命题及其关系(一)
一、知识学习
二、例题分析
命题 若 1 p则q 强调若 p则q 1

例1

例2

例3

三、课外练习
作业:课本选修 2─1 P 1
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一般地,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈 述句叫做命题.
其中判断为真的语句叫做真命 题,判断为假的语句叫做假命题. 注: 判断命题的两个基本条件:

①必须是一个陈述句;
②可以判断真假.
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例 1 判断下列语句中哪些是命题? 是真命题还是假命题? ⑴3 是 12 的约数; (真命题) (假命题) ⑵若整数 a 是素数,则 a 是奇数; ⑶个位数是 5 的自然数能被 5 整除吗(不是命题) ? 2 ⑷对于任意的实数 a,都有 a ? 1 ? 0 . (真命题) ⑸若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行; (真命题) a?b ≥ ab (不是命题) ⑹ 2 ⑺ x > 6 (不是命题)

注:命题(2)(5)具有共同形式: “若p,则q”.
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练习

知识点

例 1中

(2) 若整数a是素数,则a是奇数;
(5)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行; 观察具有什么共同的表达形式? 例 1 中的命题( 2 )( 5 )具有“若 p ,则 q” 的共同形 式. 通常,我们把这种形式的命题中的 p 叫做命题的条 件,q叫做命题的结论. (注:本章中我们只讨论这种“若p,则q”形式的命题) 具有 “若p,则q”形式的命题其条件和结论是非常清楚的.
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数学中有一些命题虽然表面上不 是“若 p,则 q”的形式 , 但是把它的 形式作适当改变,就可以写成“若p, 则q”的形式.
例如命题 :“ 垂直于同一条直线的两 个平面平行”,可写成:若两个平面垂 直于同一条直线,则这两个平面平 行. 这样,它的条件和结论就很清楚了.
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习题:课本P4 2 判断下列命题的真假:

(真命题) (1)能被6整除的整数一定能被3整除;

(2)若一个四边形的四条边相等,则这个 四边形是正方形;(假命题) (3)二次函数的图象是一条抛物线; (真命题)

(4)两个内角等于450 的三角形是等腰三角 形. (真命题)
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例2 指出下列命题的条件p和结论q:

(1)若整数a能被2整除,则a是偶数;
(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直 且平分. 解:(1)条件 p:整数a能被2整除, 结论q:整数a是偶数; (2)条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直平分.
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强调

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形 式,并判断真假:
(1) 面积相等的两个三角形全等;
解:(1)若两个三角形的面积相等,则这两个三角 形全等;它是假命题

(2) 负数的立方是负数;
(2)若一个数是负数,则这个数的立方是负数;它是 真命题

(3) 对顶角相等.
(3)若两个角是对顶角,则这两个角相等; 它是真命题
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练习

习题:P4



3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断它们的真假
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行.

解:(1)若一个三角形是等腰三角形,则该三角形的两腰的 中线相等;它是真命题.
(2)若一个函数是偶函数,则它的图象关于y轴对称; 它是真命题. (3)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行; 它是假命题.
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课外练习 : 已知命题 P: lg(x 2 ?2x ? 2) ≥ 0 的解集是 A; 命题 Q: x(4 ? x) ≤0 的解集不是 B.若 P 是真命题,Q 是假命题,求 A∩ B.

解:由 lg(x -2x-2)≥0,得 x -2x-2≥1 ∴x≥3 或 x≤-1,∴ A ? ? ??, ?1? ? ?3, ???
) 得 0 x≤0 或 x≥4 由 x( 4? x ≤ ∵命题 Q 假,∴ B={x|x≤0 或 x≥4}. 则{x|x≥3 或 x≤-1}∩{x|x≤0 或 x≥4} ={x|x≤-1 或 x≥4}; ∴A∩B=(-∞,-1]∪[4,+∞)
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