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2018高中数学第2章参数方程22直线和圆锥曲线的参数方程222-224直线和圆锥曲线的参数方程学案北师大版4-4!


2.2 直线和圆锥曲线的参数方程
2.2.2 2.2.3 2.2.4 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程

1.了解圆锥曲线参数方程的推导过程. 2.掌握圆和圆锥曲线的参数方程.(易错易混点) 3.能用圆、椭圆参数方程解决有关问题.(难点)

教材整理 1 圆的参数方程 1.标准圆的参数方程 已知一个圆的圆心在原点,半径为 r,设点 P(x,y)是圆周上任意一点,连结 OP,令 OP 与 x 轴正方向的夹角为 α ,则 α 唯一地确定了点 P 在圆周上的位置.作 PM⊥Ox,垂足为 M, 显然,∠POM=α (如图 2?2?3).则在 Rt△POM 中有 OM=OPcos α ,MP=OPsin α ,

图 2?2?3 即?
? ?x=rcos α , ?y=rsin α ?

(α 为参数).这就是圆心在原点,半径为 r 的圆的参数方程.参数

α 的几何意义是 OP 与 x 轴正方向的夹角. 2.一般圆的参数方程 以(a,b)为圆心,r 为半径的圆,普通方程为(x-a) +(y-b) =r ,它的参数方程为
? ?x=a+rcos α , ? ?y=b+rsin α ?
2 2 2

(α 为参数,a,b 是常数).

填空:
1

(1)圆心为(2,1),半径为 2 的圆的参数方程是________. (2)在圆?
?x=-1+cos α ? ?y=sin α ?

(α 为参数)中,圆的圆心是________,半径是________.

(3)圆?

? ?x=1+cos α , ?y=1+sin α ?

(α 为参数)上的点到 O(0,0)的距离的最大值是________, 最

小值是________. 【解析】 (1)?
?x=2+2cos α , ? ? ?y=1+2sin α

(α 为参数).

(2)由圆的参数方程知圆心为(-1,0),半径为 1. (3)由圆的参数方程知圆心为(1,1),半径为 1. ∵圆心到原点的距离为 2,∴最大值为 2+1, 最小值为 2-1. 【答案】 (1)?
?x=2+2cos α , ? ? ?y=1+2sin α

(α 为参数)

(2)(-1,0) 1 (3) 2+1

2-1

教材整理 2 椭圆与双曲线的参数方程 1.椭圆的参数方程 (1)椭圆的中心在原点 标准方程为 2+ 2=1,其参数方程为?

x2 y2 a b

? ?x=acos φ , ?y=bsin φ ?

(φ 为参数).

参数 φ 的几何意义是以 a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与 x 轴正半轴的夹角. (2)椭圆方程不是标准形式 ?x-x0? ?y-y0? 其方程也可表示为参数方程的形式, 如 + =1(a>b>0), 参数方程 2 2
2 2

a

b

可表示为?

? ?x=x0+acos φ , ?y=y0+bsin φ ?

(φ 为参数).

2.双曲线的参数方程 当以 F1,F2 所在的直线为 x 轴,以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系,双曲 线的普通方程为 2- 2=1(a>0,b>0).

x2 y2 a b

a ? ?x= , 此时参数方程为? cos φ ? ?y=btan φ

(φ 为参数).其中 φ ∈

预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
2

疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

求圆的参数方程 圆(x-r) +y =r (r>0),点 M 在圆上,O 为原点,以∠MOx=φ 为参数,求圆 的参数方程. 【精彩点拨】 根据圆的特点,结合参数方程概念求解. 【自主解答】 如图所示, 设圆心为 O′,连结 O′M,∵O′为圆心, ∴∠MO′x=2φ , ∴?
? ?x=r+rcos 2φ , ?y=rsin 2φ . ?
2 2 2

1.确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题容易把参 数方程写成?
? ?x=r+rcos φ , ?y=rsin φ . ?

2.由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.

1.已知点 P(2,0),点 Q 是圆? 明轨迹是什么曲线. 【解】 设中点 M(x,y).则

? ?x=cos θ , ?y=sin θ ?

上一动点,求 PQ 中点的轨迹方程,并说

3

2+cos θ x= , ? ? 2 ? 0+sin θ ? ?y= 2 , 这就是所求的轨迹方程.

1 x=1+ cos θ , ? ? 2 即? 1 y= sin θ ? ? 2

(θ 为参数),

1 它是以(1,0)为圆心,以 为半径的圆. 2 椭圆的参数方程及其应用 如图 2?2?4 所示, 已知点 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上在第一象限的点, A(a,0) 和 B(0,b)是椭圆的两个顶点,O 为原点,求四边形 MAOB 的面积的最大值.

x2 y2 a b

图 2?2?4 【精彩点拨】 本题可利用椭圆的参数方程, 把面积的最大值问题转化为三角函数的最 值问题求解. 【自主解答】 M 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上在第一象限的点, 由椭圆 2+ 2=1 的参数方程为
? ?x=acos φ , ? ?y=bsin φ ?

x2 y2 a b

x2 y2 a b

(φ 为参数),

故可设 M(acos φ ,bsin φ ), π 其中 0<φ < ,因此,S 四边形 MAOB=S△MAO+S△MOB 2 1 1 = OA?yM+ OB?xM 2 2 π? 1 2 ? = ab(sin φ +cos φ )= absin?φ + ?. 4? 2 2 ? π 2 所以,当 φ = 时,四边形 MAOB 面积的最大值为 ab. 4 2

本题将不规则四边形的面积转化为两个三角形的面积之和,这是解题的突破口和关键, 用椭圆的参数方程,将面积表示为参数的三角函数求最大值,思路顺畅,解法简捷,充分体
4

现了椭圆的参数方程在解决与椭圆上点有关最值问题时的优越性.

2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与 x 轴的正向交于点 A,若这个椭圆上存在点 P,使 OP⊥AP, (O 为原点),求离心率 e 的范围. 【导学号:12990024】 【解】 设椭圆的参数方程是?
?x=acos φ , ? ? ?y=bsin φ

x2 y2 a b

(a>b>0),

则椭圆上的点 P(acos φ ,bsin φ ),A(a,0). ∵OP⊥PA,∴
2 2

bsin φ bsin φ ? =-1, acos φ acos φ -a
2 2 2

即(a -b )cos φ -a cos φ +b =0, 解得 cos φ =1(舍去)或 cos φ = ∵-1≤cos φ ≤1, ∴-1≤ 从而

b2
2

a -b2

.

b2
2

a -b2

≤1.又椭圆离心率 0<e<1.

2 ≤e<1. 2 双曲线的参数方程及其应用 如图 2?2?5 所示,设 P 为等轴双曲线 x -y =1 上的一点,F1,F2 是两个焦点,
2 2

证明:|PF1|?|PF2|=|OP| .

2

图 2?2?5 1 ? ?x= , 【精彩点拨】 将双曲线方程化为参数方程? cos φ ? ?y=tan φ , 明. 【自主解答】 因为双曲线的方程为 x -y =1, 所以设 P?
2 2

再利用三角运算进行证

? 1 ,tan φ ?. ? ?cos φ ?
5

∵F1(- 2,0),F2( 2,0), ∴|PF1|=

? 1 + 2?2+tan2φ ?cos φ ? ? ?



2 2 2 + +1, 2 cos φ cos φ

|PF2|=

? 1 - 2?2+tan2φ ?cosφ ? ? ?



2 2 2 - +1, 2 cos φ cos φ

∴|PF1|?|PF2|=

? 22 +1?2- 8 = 2 -1. ?cos φ ? cos2φ cos2φ ? ?

1 2 2 2 ∵|OP| = 2 +tan φ = 2 -1, cos φ cos φ ∴|PF1|?|PF2|=|OP| .
2

1.与双曲线上点有关的问题,常利用其参数方程转化为三角的计算与证明问题. 2.对由参数方程给出的双曲线确定其几何性质问题,常将其化为普通方程后,再求解.

3.求证:双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值. 【证明】 由双曲线 2- 2=1,得 两条渐近线的方程是:bx+ay=0,bx-ay=0, 设双曲线上任一点的坐标为(asec φ ,btan φ ), 它到两渐近线的距离分别是 d1 和 d2, |absec φ +abtan φ | |absec φ -abtan φ | 则 d1?d2= ? b2+a2 b2+?-a?2 = |a b ?sec φ -tan φ ?| a b = 2 2(定值). a2+b2 a +b
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b

圆的参数方程的应用 探究 1 给定参数方程?
? ?x=a+rcos α , ?y=b+rsin α , ?

其中 a,b 是常数.

(1)如果 r 是常数,α 是参数,那么参数方程表示的曲线是什么?

6

(2)如果 α 是常数,r 是参数,那么参数方程表示的曲线是什么? 【提示】 (1)参数方程表示的曲线是以(a,b)为圆心,r 为半径的圆(r≠0). (2)参数方程表示的曲线是过(a,b)点,且倾斜角为 α 的直线. 探究 2 圆的参数方程中,参数有什么实际意义? 【提示】 在圆的参数方程中,设点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω (ω 为常数),转动的 某一时刻为 t,因此取时刻 t 为参数可得圆的参数方程为:
? ?x=rcos ω t, ? ?y=rsin ω t ?

(t 为参数),此时参数 t 表示时间.
?x=rcos θ , ? ? ?y=rsin θ

若以 OM 转过的角度 θ (∠M0OM=θ )为参数, 可得圆的参数方程为? 为参数),此时 θ 具有明显的几何意义.



探究 3 利用圆的参数方程表示其上任意点坐标时有什么优越性? 【提示】 将其横纵坐标只用一个参数(角)来表示, 可将与点的坐标有关的问题转化为 三角问题求解. 设方程?

?x=1+cos θ , ?y= 3+sin θ

(θ 为参数)表示的曲线为 C.

(1)判断 C 与直线 x+ 3y-2=0 的位置关系; (2)求曲线 C 上的动点到原点 O 的距离的最小值; (3)点 P 为曲线 C 上的动点,当|OP|最小时(O 为坐标原点),求点 P 的坐标; (4)点 M 是曲线 C 上的动点,求其与点 Q(-1,- 3)连线中点的轨迹. 【精彩点拨】 本题考查圆的参数方程的应用,以及运算和转化与化归能力. (1)利用圆心到直线的距离与半径的关系判断. (2)设 P 的坐标表示出|OP|,利用三角函数知识求最值. (3)利用(2)取最小值的条件即可. (4)设出点 M 的坐标,进而表示出 MQ 中点坐标,即得轨迹的参数方程. 【自主解答】 (1)曲线 C 是以(1, 3)为圆心,半径为 1 的圆,则圆心(1, 3)到直 |1+ 3? 3-2| 线 x+ 3y-2=0 的距离为 =1,故直线和圆相切. 2 2 1 +? 3? (2)设圆上的点 P(1+cos θ , 3+sin θ )(0≤θ <2π ). |OP|= ?1+cos θ ? +? 3+sin θ ? = π? ? 5+4cos ?θ - ?, 3? ?
2 2

4π 当 θ = 时,|OP|min=1. 3
7

4π 4π 1 (3)由(2)知,θ = ,∴x=1+cos = , 3 3 2

y= 3+sin

4π 3 3? ?1 = ,P? , ?. 3 2 ?2 2 ?

(4)设 MQ 的中点为(x,y). ∵M(1+cos θ , 3+sin θ ),Q(-1,- 3), 1+cos θ -1 1 x= = cos θ , ? 2 2 ? ∴? - 3+ 3+sin θ 1 = sin θ ? ?y= 2 2

(θ 为参数).

1 所以中点轨迹是以原点为圆心, 为半径的圆. 2

1.与圆的参数方程有关的问题求解时, 可直接利用参数方程求解, 也可转化为普通方程 问题求解. 2.与圆上点有关的距离最值问题,需建立目标函数求解时,常利用圆的参数方程,将圆 上的点用角表示,从而将待求最值,转化为三角函数的最值问题求解,但要注意参数 θ 的 取值范围.

4.如图 2?2?6,设矩形 ABCD 的顶点 C 的坐标为(4,4),点 A 在圆 x +y =9(x≥0,y≥0) 上移动,且 AB,AD 两边分别平行于 x 轴,y 轴.求矩形 ABCD 面积的最小值及对应点 A 的坐 标.

2

2

图 2?2?6 【解】 设 A(3cos θ ,3sin θ )(0<θ <90°),则|AB|=4-3cos θ ,|AD|=4-3sin θ , ∴S=|AB|?|AD|=(4-3cos θ )(4-3sin θ ) =16-12(cos θ +sin θ )+9cos θ sin θ . 令 t=cos θ +sin θ (1<t≤ 2),则 2cos θ sin θ =t -1.
2

8

9 2 9 2 23 9? 4?2 7 4 ∴S=16-12t+ (t -1)= t -12t+ = ?t- ? + ,∴t= 时,矩形 ABCD 的面积 S 2 2 2 2? 3? 2 3 7 取得最小值 . 2 4 cos θ +sin θ = , ? ? 3 此时? 7 cos θ sin θ = , ? ? 18 ∴对应点 A 的坐标为?2+ 2 2? ? ?2- ,2+ ?. 2 2 ? ? 4± 2 ? cos θ = , ? 6 解得? 4? 2 ? ?sin θ = 6 .

? ?

2 2? ,2- ?或 2 2?

1.圆的参数方程为:?

? ?x=2+2cos θ , ?y=2sin θ ?

(θ 为参数),则圆的圆心坐标为(

)

【导学号:12990025】 A.(0,2) C.(-2,0) B.(0,-2) D.(2,0)

【解析】 由圆的参数方程知,圆心为(2,0). 【答案】 D 2.圆心在点(-1,2),半径为 5 的圆的参数方程为( A.?
?x=5-cos θ , ? ?y=5+2sin θ ?

) (0≤θ <2π )

(0≤θ <2π )

B.?

?x=2+5cos θ , ? ?y=-1+5sin θ ?

9

C.?

?x=-1+5cos θ , ? ?y=2+5sin θ ?

(0≤θ <π )

D.?

?x=-1+5cos θ , ? ?y=2+5sin θ ?

(0≤θ <2π )
? ?x=a+rcos θ , ?y=b+rsin θ ?

【解析】

圆心在点 C(a , b) ,半径为 r 的圆的参数方程为 ?

(θ ∈[0,2π )).故圆心在点(-1,2),半径为 5 的圆的参数方程为? (0≤θ <2π ). 【答案】 D 3.曲线 C:?

?x=-1+5cos θ , ? ? ?y=2+5sin θ

?x=3cos φ , ?y= 5sin φ

(φ 为参数)的离心率为________.
2 2 2

【解析】 由曲线 C 的参数方程可以看出 a=3,b= 5,得 a =9,b =5,? c =4,

c 2 所以 e= = . a 3
【答案】 2 3
?x=3sec φ , ? ? ?y=4tan φ

4.双曲线 C:?

(φ 为参数)的焦点坐标为________.

【解析】 曲线 C 的普通方程为 - =1,得焦点坐标为 F1(-5,0),F2(5,0). 9 16 【答案】 (-5,0),(5,0) 5.能否在椭圆 + =1 上找一点,使这一点到直线 x-2y-12=0 的距离最小. 16 12 【解】 设椭圆的参数方程为

x2

y2

x2

y2

? x=4cos φ , ? ?y=2 3sin φ

(φ 是参数,0≤φ <2π ).

|4cos φ -4 3sin φ -12| 则 d= 5 = π? ? π? 4 5? ? ? 2cos?φ + ?-3?,当 cos?φ + ?=1 时, ? 3 3? 5 ? ? ? ? ?

5 4 5 即 φ = π 时,dmin= ,此时对应的点为(2,-3). 3 5

我还有这些不足: (1)

10

(2) 我的课下提升方案: (1) (2)

11


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