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甘肃省张掖市民乐一中2014-2015学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)


2014-2015 学年甘肃省张掖市民乐一中高二(上)期末数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x ﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④

“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 其中为真命题的是( A.①② B.②③ C.④ D.①②③ )
2

2.设点 P(x,y) ,则“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

3.向量 =(﹣2,﹣3,1) , =(2,0,4) , =(﹣4,﹣6,2) ,下列结论正确的是( A. ∥ , ⊥ B. ∥ , ⊥ C. ∥ , ⊥ D.以上都不对

)

4.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是( A. (¬p)∨q B.p∧q C. (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q) )

5.曲线 y=sinx+e 在点(0,1)处的切线方程是( A.x﹣3y+3=0 B.x﹣2y+2=0 C.2x﹣y+1=0 D.3x﹣y+1=0

x

)

6.函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是( A. (﹣∞,2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2,+∞)

x

)

7.已知 F1,F2 是距离为 6 的两个定点,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆

)

8.若方程

+

=1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是(

)

A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,1) C. (0,1)

D. (﹣∞,0)∪(1,+∞)

9.已知双曲线 ( A.6 B. C. D. )

的左焦点与抛物线 y =﹣12x 的焦点相同,则此双曲线的离心率为

2

10.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,则

等(

)

A. B. C. D.

11.已知函数 y=(x﹣1)f′(x)的图象如图所示,其中 f′(x)为函数 f(x)的导函数, 则 y=f(x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D.

12.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为( A. B.1 C. D. )

2

一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.命题“对任何 x∈R,使得|x﹣2|+|x﹣4|>3”的否定是__________.

14.已知抛物线 x =4y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是__________.

2

15.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为__________.

2

16.若函数 f(x)=x ﹣3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是__________.

3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.求下列函数的导数: (1)y=e
1﹣2x

+ln(3﹣x) ; .

(2)y=ln

18.已知命题 p:c <c,和命题 q:? x∈R,x +4cx+1>0 且 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 c 的取值范围.

2

2

19.已知椭圆的两焦点为 F1(﹣ (Ⅰ)求此椭圆的方程.

,0) ,F2(

, 0) ,离心率 e=



(Ⅱ)若直线 y= +m 与此椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

20. 如图, 正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC⊥BC, 且 AC=BC. (Ⅰ)求证:AM⊥平面 EBC; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 EBC 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 A﹣EB﹣C 的大小.

21.已知函数 f(x)= x +lnx. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求证:当 x>1 时, x +lnx< x .
2 3

2

22.如图,点 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)分别是椭圆 C:

(a>b>0)的左右焦点,

经过 F1 做 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 垂线交直线 (Ⅰ)如果点 Q 的坐标是(4,4) ,求此时椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

于点 Q.

2014-2015 学年甘肃省张掖市民乐一中高二(上)期末数学试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x ﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 其中为真命题的是( )
2

A.①② B.②③ C.④ D.①②③ 考点:四种命题. 专题:简易逻辑. 分析:根据四种命题之间的关系进行判断即可. 解答: 解:①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是:①“若 x,y 互为倒数,则 xy=1” 是真命题,故①正确; ②“面积相等的三角形全等”的否命题是:“面积不相等的三角形不全等”是真命题,故② 正确; ③若 x ﹣2x+m=0 有实数解,则△=4﹣4m≥0,解得:m≤1, ∴若 m≤1?则 x ﹣2x+m=0 有实数解”是真命题, 故“若 m≤1,则 x ﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题是:“若 x ﹣2x+m=0 没有有实数解,则 m >1”是真命题, 故③正确; ④若 A∩B=B,则 A? B,故原命题错误, ∴若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题是错误, 故④错误; 故选:D. 点评:本题考查了四种命题之间的关系,考查基础知识的积累,是一道基础题.
2 2 2 2

2.设点 P(x,y) ,则“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:直线与圆.

)

分析: 当 x=2 且 y=﹣1”可以得到“点 P 在直线 l: x+y﹣1=0 上”, 当点 P 在直线 l: x+y﹣1=0 上时,不一定得到 x=2 且 y=﹣1,得到 x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的充 分不必要条件. 解答: 解:∵x=2 且 y=﹣1”可以得到“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”, 当“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”时,不一定得到 x=2 且 y=﹣1, ∴“x=2 且 y=﹣1”是“点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上”的充分不必要条件, 故选 A. 点评:本题考查条件问题,本题解题的关键是看出点 P 在直线 l:x+y﹣1=0 上时,不能确定这 个点的坐标的大小,本题是一个基础题.

3.向量 =(﹣2,﹣3,1) , =(2,0,4) , =(﹣4,﹣6,2) ,下列结论正确的是( A. ∥ , ⊥ B. ∥ , ⊥ C. ∥ , ⊥ D.以上都不对 考点:向量的数量积判断向量的共线与垂直. 分析:利用向量的共线和垂直的充要条件即可判断出. 解答: 解:∵ 又∵ 故选 C. 点评:熟练掌握向量的共线和垂直的充要条件是解题的关键. ,∴ , ,

)

=﹣2×2+0+1×4=0,∴

4.已知命题 p:所有有理数都是实数,命题 q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命 题的是( A. (¬p)∨q B.p∧q C. (¬p)∧(¬q) D. (¬p)∨(¬q) )

考点:复合命题的真假. 分析:先判断命题 p 和命题 q 的真假,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,再由真值表对照答 案逐一检验. 解答: 解:不难判断命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,从而?p 为假命题,?q 为真命题, 所以 A、B、C 均为假命题, 故选 D. 点评:本题考查复合命题的真值判断,属基本题.

5.曲线 y=sinx+e 在点(0,1)处的切线方程是( A.x﹣3y+3=0 B.x﹣2y+2=0 C.2x﹣y+1=0 D.3x﹣y+1=0 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用.

x

)

分析:先求出函数的导函数,然后得到在 x=0 处的导数即为切线的斜率,最后根据点斜式可求 得直线的切线方程. 解答: 解:∵y=sinx+e , ∴y′=e +cosx, ∴在 x=0 处的切线斜率 k=f′(0)=1+1=2, ∴y=sinx+e 在(0,1)处的切线方程为:y﹣1=2x, ∴2x﹣y+1=0, 故选 C. 点评: 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程, 解此题的关键是要对函数能够正确求 导,此题是一道基础题.
x x x

6.函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是( A. (﹣∞,2) B. (0,3) C. (1,4)

x

)

D. (2,+∞) 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:函数的性质及应用. 分析:若求解函数 f(x)的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质,对 f(x)求 导,令 f′(x)>0,解出 x 的取值区间,要考虑 f(x)的定义域. 解答: 解:f′(x)=(x﹣3)′e +(x﹣3) (e )′=(x﹣2)e ,求 f(x)的单调
x x x

递增区间,令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质,值得注意的是,要在定义域内求 解单调区间.

7.已知 F1,F2 是距离为 6 的两个定点,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆 考点:轨迹方程. 专题:动点型.

)

分析:可以画出线段 F1F2,根据图形即可找到满足条件的点 M 的分布情况,从而得出 M 点的轨 迹. 解答: 解:M 一定在线段 F1F2 上,如果点 M 不在该线段上,如图所示:

①若 M 不在直线 F1F2 上时,根据两边之和大于第三边 知:|MF1|+|MF2|>|F1F2|=6; 即这种情况不符合条件; ②M 在 F1F2 的延长线或其反向延长线上时,显然也不符合条件; ∴只有 M 在线段 F1F2 上符合条件; ∴M 点的轨迹是线段. 故选:C. 点评:考查点的轨迹的概念,以及两边之和大于第三边定理,可画出图形,也可想象图形.

8.若方程

+

=1 表示双曲线,则实数 m 的取值范围是(

)

A. (﹣∞,0) B. (﹣∞,1) C. (0,1) D. (﹣∞,0)∪(1,+∞) 考点:双曲线的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据双曲线的标准方程,列出不等式 2m(1﹣m)<0,求出实数 m 的取值范围即可. 解答: 解:方程 则 2m(1﹣m)<0, 即 m(m﹣1)>0; 解得 m<0 或 m>1, ∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,0)∪(1,+∞) . 故选:D. 点评:本题考查了双曲线的定义与标准方程的应用问题,是基础题目. + =1 表示双曲线,

9.已知双曲线 ( A.6 B. C. D. )

的左焦点与抛物线 y =﹣12x 的焦点相同,则此双曲线的离心率为

2

考点:抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:确定抛物线的焦点坐标,从而可得双曲线的几何量,由此可求双曲线的离心率.

解答: 解:抛物线 y =﹣12x 的焦点坐标为(﹣3,0) ∵双曲线 ∴m+5=9 ∴m=4 ∴双曲线的离心率为 故选 B. 点评:本题考查抛物线、双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题. . 的左焦点与抛物线 y =﹣12x 的焦点相同,∴c=3,
2

2

10.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,则

等(

)

A. B. C. D. 考点:向量在几何中的应用. 专题:计算题. 分析:由已知中 M、G 分别是 BC、CD 的中点,根据三角形中位线定理及数乘向量的几何意义, 我们可将原式 化为 + + , 然后根据向量加法的三角形法则, 易得到答案.

解答: 解:∵M、G 分别是 BC、CD 的中点, ∴ ∴ 故选 C = , = = + + = + =

点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中将 解答本题的关键.

化为

+

+

,是

11.已知函数 y=(x﹣1)f′(x)的图象如图所示,其中 f′(x)为函数 f(x)的导函数, 则 y=f(x)的大致图象是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:计算题. 分析:先结合函数 y=(x﹣1)f'(x)的图象得到当 x>1 时,f'(x)>0,根据函数的单调 性与导数的关系可知单调性,从而得到 y=f(x)在(1,+∞)上单调递增,从而得到正确选 项. 解答: 解:结合图象可知当 x>1 时, (x﹣1)f'(x)>0 即 f'(x)>0

∴y=f(x)在(1,+∞)上单调递增 故选 B. 点评: 本题主要考查了函数的单调性与导数的关系, 同时考查了函数图象的性质, 属于基础题.

12.已知 F 是抛物线 y =x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为( A. B.1 C. D. 考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于 到准线的距离,列出方程求出 A,B 的中点横坐标,即可得到线段 AB 的中点到 y 轴的距离. 解答: 解:由于 F 是抛物线 y =x 的焦点, 则 F( ,0) ,准线方程 x=﹣ , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ∴|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =3, 解得 x1+x2= , ∴线段 AB 的中点横坐标为 . ∴线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 故选 C. 点评:本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.
2

2

)

一、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 命题“对任何 x∈R, 使得|x﹣2|+|x﹣4|>3”的否定是存在 x∈R, 使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3.

考点:命题的否定. 专题:阅读型. 分析:全称命题的否定是特称命题,只须将全称量词“任何”改为存在量词“存在”,并同时 把“|x﹣2|+|x﹣4|>3”否定. 解答: 解:全称命题的否定是特称命题, ∴命题“对任何 x∈R,使得|x﹣2|+|x﹣4|>3”的否定是: 存在 x∈R,使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3. 故填:存在 x∈R,使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3. 点评:本题主要考查了命题的否定,属于基础题之列.这类问题常见错误是,没有把全称量词 改为存在量词,或者对于“>“的否定改成了”<“,而不是“≤”.

14.已知抛物线 x =4y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是﹣4 或 4.

2

考点:抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据点 P 到焦点的距离为 5 利用抛物线的定义可推断出 P 到准线距离也为 5.利用抛物 线的方程求得准线方程,进而可求得 P 的坐标. 解答: 解:根据抛物线的定义可知 P 到焦点的距离为 5,则其到准线距离也为 5. 又∵抛物线的准线为 y=﹣1, ∴P 点的纵坐标为 5﹣1=4. 将 y=4 代入抛物线方程得:4×4=x ,解得 x=﹣4 或 4 故答案为:﹣4 或 4. 点评:活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦 半径.到焦点的距离常转化为到准线的距离求解.
2

15.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为

2



考点:点到直线的距离公式. 专题:转化思想.

分析:由题意知,当曲线上过点 P 的切线和直线 y=x﹣2 平行时,点 P 到直线 y=x﹣2 的距离 最小. 求出曲线对应的函数的导数,令导数值等于 1,可得且点的坐标,此切点到直线 y=x﹣2 的距 离即为所求. 解答: 解:点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点, 当过点 P 的切线和直线 y=x﹣2 平行时, 点 P 到直线 y=x﹣2 的距离最小. 直线 y=x﹣2 的斜率等于 1, 令 y=x ﹣lnx 的导数 y′=2x﹣ =1,x=1,或 x=﹣ (舍去) , 故曲线 y=x ﹣lnx 上和直线 y=x﹣2 平行的切线经过的切点坐标(1,1) , 点(1,1)到直线 y=x﹣2 的距离等于 故点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为 故答案为 . , ,
2 2 2

点评:本题考查点到直线的距离公式的应用,函数的导数的求法及导数的意义,体现了转化的 数学思想.

16.若函数 f(x)=x ﹣3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是﹣2<a<2.

3

考点:函数零点的判定定理. 分析:先构造两个简单函数转化为二者交点的问题,从而可得答案. 解答: 解:设 g(x)=x ,h(x)=3x﹣a ∵f(x)=x ﹣3x+a 有三个不同零点,即 g(x)与 h(x)有三个交点 ∵g'(x)=3x ,h'(x)=3 当 g(x)与 h(x)相切时 g'(x)=h'(x) ,3x =3,得 x=1,或 x=﹣1 当 x=1 时,g(x)=1,h(x)=3﹣a=1,得 a=2 当 x=﹣1 时,g(x)=﹣1,h(x)=﹣3﹣a=﹣1,得 a=﹣2 要使得 g(x)与 h(x)有三个交点,则﹣2<a<2 故答案为:﹣2<a<2
2 2 3 3

点评:本题主要考查函数零点的判定方法﹣﹣转化为两个简单函数的交点问题.属中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.求下列函数的导数: (1)y=e
1﹣2x

+ln(3﹣x) ; .

(2)y=ln

考点:导数的运算. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据函数的导数公式进行求导即可. 解答: 解: (1)函数的 f(x)的导数 f′(x)=﹣2e (2)y=ln =ln(1﹣x)﹣ln(1+x) , ﹣ = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
1﹣2x

+

﹣﹣﹣﹣﹣

则函数的 f(x)的导数 f′(x)=﹣

点评:本题主要考查函数的导数的计算,要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式,比较基础.

18.已知命题 p:c <c,和命题 q:? x∈R,x +4cx+1>0 且 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 c 的取值范围.

2

2

考点:复合命题的真假. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先化简两个命题,当 p 是真命题,且 q 是假命题时,求得实数 c 的取值范围;当 p 是假 命题,且 q 是真命题时,求得实数 c 的取值范围.再把这两个实数 c 的取值范围取并集,即得 所求. 解答: 解:由命题 p 为真命题,可得 c <c,解得 0<c<1. 由命题 q 为真命题,可得△=16c ﹣4<0,解得﹣ <c< . ∵pⅤq 为真,p∧q 为假,故 p 和 q 一个为真命题,另一个为假命题. 若 p 是真命题,且 q 是假命题,可得 ≤c<1.
2 2

若 p 是假命题,且 q 是真命题,可得﹣ <c≤0. 综上可得,所求的实数 c 的取值范围为. 点评:本题主要考查复合命题的真假,一元二次不等式的解法,体现了分类讨论的数学思想, 属于基础题.

19.已知椭圆的两焦点为 F1(﹣ (Ⅰ)求此椭圆的方程.

,0) ,F2(

,0) ,离心率 e=



(Ⅱ)若直线 y= +m 与此椭圆交于 M,N 两点,求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程.

考点:椭圆的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)由题意可得:

,解出即可得出.

(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,MN 的中点为 P(x,y) .可得



=1,两式

相减并代入 x1+x2=2x,y1+y2=2y, .

= ,即可得出,由 P 在椭圆内部,可求得

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得:

,解得 c=

,a=2,b=1.

∴椭圆的方程为:



(Ⅱ)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,MN 的中点为 P(x,y) .





=1.

两式相减得

+(y1+y2) (y1﹣y2)=0.

又 x1+x2=2x,y1+y2=2y,

= ,



=0,化为 x+2y=0. . ) .

∵P 在椭圆内部,可求得

∴线段 MN 的中点 P 的轨迹方程为 x+2y=0, (

点评:本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、“点差法”、中点坐标公 式、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20. 如图, 正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直, M 是 CE 和 AD 的交点, AC⊥BC, 且 AC=BC. (Ⅰ)求证:AM⊥平面 EBC; (Ⅱ)求直线 AB 与平面 EBC 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 A﹣EB﹣C 的大小.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角; 直线与平面垂直的判定; 用空间向量求平面间的夹角. 专题:综合题. 分析: (Ⅰ)要证 AM⊥平面 EBC,关键是寻找线线垂直,利用四边形 ACDE 是正方形,可得 AM⊥EC.利用平面 ACDE⊥平面 ABC,BC⊥AC,可得 BC⊥平面 EAC,从而有 BC⊥AM.故可证 (Ⅱ)要求直线 AB 与平面 EBC 所成的角,连接 BM,根据 AM⊥平面 EBC,可知∠ABM 是直线 AB 与平面 EBC 所成的角,故可求. (Ⅲ) 先最初二面角 A﹣EB﹣C 的平面角. 再在 Rt△EAB 中, 利用 AH⊥EB, 有 AE?AB=EB?AH. 由 (Ⅱ)所设 EA=AC=BC=2a 可得 角 A﹣EB﹣C 的平面角. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵四边形 ACDE 是正方形, ∴EA⊥AC,AM⊥EC. ? , ,∴ .从而可求二面

∵平面 ACDE⊥平面 ABC, 又∵BC⊥AC,∴BC⊥平面 EAC.? ∵AM? 平面 EAC,∴BC⊥AM. ? ∴AM⊥平面 EBC. (Ⅱ)连接 BM, ∵AM⊥平面 EBC,∴∠ABM 是直线 AB 与平面 EBC 所成的角. 设 EA=AC=BC=2a,则 ∴ , ,∴∠ABM=30°. ? ? ,? ?

即直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30°. (Ⅲ)过 A 作 AH⊥EB 于 H,连接 HM. ∵AM⊥平面 EBC,∴AM⊥EB.

∴EB⊥平面 AHM.∴∠AHM 是二面角 A﹣EB﹣C 的平面角. ? ∵平面 ACDE⊥平面 ABC,∴EA⊥平面 ABC.∴EA⊥AB. 在 Rt△EAB 中,AH⊥EB,有 AE?AB=EB?AH. 由(Ⅱ)所设 EA=AC=BC=2a 可得 ∴ . , ?∴ ?(14 分) , .∴∠AHM=60°.

∴二面角 A﹣EB﹣C 等于 60°.

点评:本题以面面垂直为载体,考查线面垂直,考查线面角,面面角,关键是作、证、求.

21.已知函数 f(x)= x +lnx. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求证:当 x>1 时, x +lnx< x .
2 3

2

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)确定函数的定义域,求导函数,可得导数的正负,即可得到函数的单调区间; (2)构造函数 g(x)= x ﹣ x ﹣lnx,确定 g(x)在(1,+∞)上为增函数,即可证得结论. 解答: (1)解:依题意知函数的定义域为{x|x>0},
3 2

∵f′(x)=x+ ,∴f′(x)>0, ∴f(x)的单调增区间为(0,+∞) . (2)证明:设 g(x)= x ﹣ x ﹣lnx, ∴g′(x)=2x ﹣x﹣ ,
2 3 2

∵当 x>1 时,g′(x)= ∴g(x)在(1,+∞)上为增函数, ∴g(x)>g(1)= >0, ∴当 x>1 时, x +lnx< x .
2 3

>0,

点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查不等式的证明,正确构造函数,确 定函数的单调性是关键.

22.如图,点 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)分别是椭圆 C:

(a>b>0)的左右焦点,

经过 F1 做 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 垂线交直线 (Ⅰ)如果点 Q 的坐标是(4,4) ,求此时椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

于点 Q.

考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题:综合题;压轴题.

分析: (Ⅰ)将点 P(﹣c,y1) (y1>0)代入

,可求得 P

,根据点 Q

的坐标是(4,4) ,PF1⊥QF2,即可求得椭圆 C 的方程;

(Ⅱ) 利用 PF1⊥QF2, 求得

, 从而可求

, 又



求导函数,可得 x=﹣c 时,y′=

= ,故可知直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

解答: (Ⅰ)解:将点 P(﹣c,y1) (y1>0)代入



∴P ∵点 Q 的坐标是(4,4) ,PF2⊥QF2

∴ ∵ ∴a=2,c=1,b= ∴椭圆 C 的方程为 ;

(Ⅱ)证明:设 Q

,∵PF2⊥QF2



∴y2=2a ∴

∵P

,∴



,∴

∴y′=

∴当 x=﹣c 时,y′=

=

∴直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查导数知识的运用,综合性 强.


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