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数列之 求前n项和之 分组求和


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数列之 求前 n 项和之 分组求和
1.求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[

2.

答案


1.解:设 S n ? (1 ? 1) ? (

1 1 1 ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) a a a

[

将其每一项拆开再重新组合得

1 1 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n 1? n a ? (3n ? 1)n = a ? a ? (3n ? 1)n 当 a ? 1 时, S n ? 1 a ?1 2 2 1? a S n ? (1 ?

2.奇数项组成以 a1 ? 1 为首项,公差为 12 的等差数列,偶数项组成以 a2 ? 4 为首项,公比为 4 的等比数列; 当 n 为奇数时,奇数项有

n ?1 n ?1 项,偶数项有 项, 2 2

n ?1 n ?1 (1 ? 6n ? 5) 2 4(1 ? 4 ) (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n?1 ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3 n 当 n 为偶数时,奇数项和偶数项分别有 项 , 2 n n (1 ? 6n ? 5) 4(1 ? 4 2 ) n(3n ? 2) 4(2n ? 1) ∴ Sn ? 2 , ? ? ? 2 1? 4 2 3
[来源:学科网 ZXXK]

? (n ? 1)(3n ? 2) 4(2n ?1 ? 1) ? ? ? 2 3 所以, Sn ? ? n ? n(3n ? 2) ? 4(2 ? 1) ? 2 3 ?

(n为奇数)


(n为偶数)

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