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专题:简单的线性规划[答案版]


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高考复习专题:简单的线性规划
专题要点
简单的线性规划: 能从实际问题中抽象出二元一次不等式组。 理解二元一次不等式组表示平面的区 域,能够准确的画出可行域。能够将实际问题抽象概括为线性规划问题,培养应用线性规划的知识解决 实际问题的能力。 线性规划等内容已成为

高考的热点,在复习时要给于重视,另外,不等式的证明、繁琐的推理逐渐趋 于淡化,在复习时也应是注意。 考查主要有三种:一是求给定可行域的最优解;二是求给定可行域的面积;三是给出可行域的最优 解,求目标函数(或者可行域)中参数的范围。多以选择填空题形式出现,不排除以解答题形式出现。 考纲要求 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;了解线性规划的意义并会 简单应用。 典例精析 线性规划是高考热点之一,考查内容设计最优解,最值,区域面积与形状等,通常通过画可行域,移线,数 形结合等方法解决问题。 考点 1:求给定可行域的最优解

?x ? y ? 1 ? 例 1.(2012 广东文)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ( ?x ?1 ? 0 ?
D. ?6 ? x ? ?1 解析:C.画出可行域,可知当代表直线过点 A 时,取到最小值.联立 ? , ? y ? x ?1 ? x ? ?1 解得 ? ,所以 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?5 . ? y ? ?2 A.3 B.1 C. ?5



?x ? y ? 3 ? 例 2. (2009 天津) 设变量 x, 满足约束条件: x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y y ? ?2 x ? y ? 3 ?
的最小值为 (A)6 (B)7 (C)8 (D)23

?x ? y ? 3 ? 解析:画出不等式 ? x ? y ? ?1 表示的可行域,如右图, ?2 x ? y ? 3 ? 2x z ? 在可行域上平移,知在点 B 自目标函数取到最小值,解方程组 让目标函数表示直线 y ? ? 3 3 ?x ? y ? 3 得 ( 2,1) ,所以 z min ? 4 ? 3 ? 7 ,故选择 B. ? ?2 x ? y ? 3

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8

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6

A
4

x-y=1

x+y=3
2

2x-y=3 B

-5

5

10

15

-2

发散思维:若将目标函数改为求 z ?
-4

y y 的取值范围;或者改为求 z ? 的取值范围; x x?3
2

或者改为求 z ? x 2 ? y 2 的最大值;或者或者改为求 z ? ?x ? 1? ? y 2 的最大值。 方法思路:解决线性规则问题首先要作出可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,数形结合找 出目标函数达到最值时可行域的顶点 (或边界上的点) 但要注意作图一定要准确, , 整点问题要验证解决。

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 练习 1.(2012 天津)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ?x ? 1 ? 0 ?
( A. ?5 B. ?4 C. ?2 D.3 【解析】 做出不等式对应的可行域如图,由 z ? 3x ? 2 y 得 y ? 过点 C (0,2) 时,直线 y ? )

3 z 3 z x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经 2 2 2 2

3 z x ? 的截距最大,而此时 2 2 z ? 3x ? 2 y 最小为 z ? 3x ? 2 y ? ?4 ,选 B.

?0≤x≤1, ? 练习 2.在约束条件?0≤y≤2, 下, ?x-1?2+y2的最小值为________. ?2y-x≥1, ?
解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域, 注意到 ?x-1?2+y2可视为该区域内的点 |-1-1| (x, y)与点(1,0)之间距离, 结合图形可知, 该距离的最小值等于点(1,0)到直线 2y-x=1 的距离, 即为 5 2 5 2 5 = . 答案 5 5 练习 3、 (2011 广东文、理数)已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 (x,y)为 D 上的动点,点 A 的坐标为 A、3 B、4 C、3 ,则 z= D、4
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给定.若 M )

?

的最大值为(

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解答:解:首先做出可行域,如图所示: z= ? = ,即 y=﹣ x+z 做出 l0:y=﹣ A 时,直线在 y 轴上截距最大时,z 有最大值. 因为 A( ,2) ,所以 z 的最大值为 4 故选 B x,将此直线平行移动,当直线 y=﹣ x+z 经过点

?x+y≥2, ? 练习 4.(2011 福建)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ?y≤2 ?
→ → 一个动点,则OA·OM的取值范围是( A.[-1,0] B.[0,1] ) C.[0,2] D.[-1,2]

上的

?x+y≥2, ? → → 【分析】 由于OA·OM=-x+y,实际上就是在线性约束条件?x≤1, ?y≤2 ?
-x+y 的最大值和最小值.

下,求线性目标函数 z=

→ → 【解析】 画出不等式组表示的平面区域(如图),又OA·OM=-x+y,取目标函数 z=-x+y,即 y =x+z,作斜率为 1 的一组平行线.

当它经过点 C(1,1)时,z 有最小值,即 zmin=-1+1=0;当它经过点 B(0,2)时,z 有最大值,即 zmax=-0+2=2. → → ∴z 的取值范围是[0,2],即OA·OM的取值范围是[0,2],故选 C. 考点 2:求给定可行域的面积

? x?0 ? 例3.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 3 y ? 4 表示的平面区域的面积为( ?3 x ? y ? 4 ?
A.



3 2

B.

2 3

C.

4 3

D.

3 4

答案 c

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考点 3:给出最优解求目标函数(或者可行域)中参数

? x ? y ? 2≥0, ? 例4.(2012广州一模文数)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?
平面区域的面积为4,则实数 t 的值为 A.1 B.2 答案 B C.3 D.4

?x ? y ?1 ? 0 ? 练习 5.(2009 福建卷文)在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( ? 为常数)所表示的平面 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
区域内的面积等于 2,则 a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 解析解析 如图可得黄色即为满足 x ? 1 ? 0与x ? y ? 1 ? 0的可行域,而 ? y ? 1 ? 0 的直线恒过 ax (0,1) ,故看作直线绕点(0,1)旋转,当 a=-5 时,则可行域不是一个封闭区域,当 a=1 时,面积是 1; a=2 时,面积是

3 ;当 a=3 时,面积恰好为 2,故选 D. 2

? x ? 2 y ? 19 ? 0, ? x 练习 6. 设二元一次不等式组 ? x ? y ? 8 ? 0, 所表示的平面区域为 M,使函数 y=a (a>0,a≠1)的图 ?2 x ? y ? 14 ? 0 ?
象过区域 M 的 a 的取值范围是 c (A)[1,3] (B)[2, 10 ] (C)[2,9] (D)[ 10 ,9]

?x+2y≥0 ? 练习 7.设 z=x+y,其中 x、y 满足?x-y≤0 ?0≤y≤k ?

,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为

A.-3 B.3 C.2 D.-2 解析 如图所示,作出不等式组所确定的可行域△OAB,目标函数的几 何意义是直线 x+y-z=0 在 y 轴上的截距,由图可知,当目标函数经过点 A ? ?x-y=0, 时,取得最大值,由? 解得 A(k,k),故最大值为 z=k+k=2k,由 ?y=k, ?
?x+2y=0, ? 题意, 2k=6, k=3.当目标函数经过点 B 时, 得 故 取得最小值, ? 由 ? ?y=3, 解得 B(-6,3),故最小值为 z=-6+3=-3.故选 A. 答案 A 练习 8.(2012 课标文)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点(x,y)在△ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是 ( )

A.(1- 3,2)

B.(0,2)

C.( 3-1,2)

D.(0,1+ 3)

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【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题. 【解析】 有题设知 C(1+ 3 ,2),作出直线 l0 : ? x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,

y 有 图 像 知 , 直 线 l : z? ? x ? 过 B 点 时 , zmax =2, 过 C
时, zmin = 1 ? 3 ,∴ z ? ? x ? y 取值范围为(1- 3,2),故选 A.

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? 练习 9.(2012 福建文)若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的最大值 ? ?x ? m ?
为( A.-1 ) B.1 C.

3 2

D.2

【答案】B 【解析】 x ? y ? 3 ? 0 与 y ? 2 x 的交点为 (1, 2) ,所以只有 m ? 1 才能符合条件,B 正确. 【考点定位】 本题主要考查一元二次不等式表示平面区域,考查分析判断能力.逻辑推理能力和求解能力.

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? 练习 10.(2012 福建理)若函数 y ? 2x 图像上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则实数 m 的 ? ?x ? m ?
最大值为( ) B.1
x

1 A. 2
【答案】B

C.

3 2

D.2

【解析】 x ? y ? 3 ? 0 与 y ? 2 的交点为 (1, 2) ,所以只有 m ? 1 才能符合条件,B 正确. 【考点定位】 本题主要考查一元一次不等式组表示平面区域,考查分析判断能力、 逻辑推理能力和求 解计算能力 考点四:实际应用与大题 例 5(2009 四川卷理)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨; 生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可获得 利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨,那么该企业可获 得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元 解析:设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨,可使利润 z 最大,故本题即

? 3 x ? y ? 13 ? 2 x ? 3 y ? 18 ? 已知约束条件 ? ,求目标函数 z ? 5 x ? 3 y 的最大值, ?x ? 0 ?y ? 0 ? ?x ? 3 可求出最优解为 ? ,故 zmax ? 15 ? 12 ? 27 ,故选择 D。 ?y ? 4
练习 11. (2012 四川理)某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产 甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克. 每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产品的利润是 400 元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天 消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共
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可获得的最大利润是 ( ) A.1800 元 B.2400 元 C.2800 元 D.3100 元 [答案]C [解析]设公司每天生产甲种产品 X 桶,乙种产品 Y 桶,公司共可获得 利润为 Z 元/天,则由已知,得 Z=300X+400Y

? X ? 2Y ? 12 ?2 X ? Y ? 12 ? 且? ?X ? 0 ?Y ? 0 ?
画可行域如图所示,目标函数 Z=300X+400Y 可变形为

3 z x? 这是随 Z 变化的一族平行直线 4 400 ?x ? 4 ?2x ? y ? 12 解方程组 ? 即 A(4,4) ?Z max ? 1200? 1600? 2800 ?? ?y ? 4 ?x ? 2y ? 12
Y= ? [点评]解决线性规划题目的常规步骤:一列(列出约束条件)、二画(画出可行域)、三作(作目标函数 变形式的平行线)、四求(求出最优解). 练习 12.(2012 广州二模文数)甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示: 食物类型 甲 乙 丙 维生素 C (单位/ kg ) 300 500 300 维生素 D (单位/ kg ) 成本(元/ kg ) 700 100 300 5 4 3 某工厂欲将这三种食物混合成 100kg 的混合食物,设所用食物甲、乙、丙的重量分别为

xkg、ykg、zkg. (1)试以 x , y 表示混合食物的成本 P ;

(2)若混合食物至少需含 35000 单位维生素 C 及 40000 单位维生素 D ,问 x , y , z 取什么值时,混合食 物的成本最少? (本小题主要考查线性规划等知识, 考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解:依题意得 ?

? x ? y ? z ? 100, …………… 2 分 ? P ? 5x ? 4 y ? 3z. 由 x ? y ? z ? 100 ,得 z ? 100 ? x ? y ,代入 P ? 5x ? 4 y ? 3z , 得 P ? 300 ? 2 x ? y . …………… 3 分 ? x ? 0, y ? 0, z ? 0, ? (1) 解:依题意知 x 、 y 、 z 要满足的条件为 ?300 x ? 500 y ? 300 z ? 35000, ……… 6 分 ?700 x ? 100 y ? 300 z ? 40000. ?

? x ? 0, y ? 0, ?100 ? x ? y ? 0, ? 把 z ? 100 ? x ? y 代入方程组得 ? …… 9 分 2 x ? y ? 50, ? ? y ? 25. ?
让目标函数 2 x ? y ? 300 ? P 在可行域上移动, 由此可知 P ? 300 ? 2 x ? y 在 A ? 37.5,25? 处取得最小值.

y 2x-y=50

如图可行域(阴影部分)的一个顶点为 A ? 37.5,25? .… 10 分

A

y=25 x

……… 11 分 O ∴当 x ? 37.5 (kg), y ? 25 (kg), z ? 37.5 (kg)时, 混合食物的成本最少.

……… 12 分

x+y=100
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【点评】解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为: (1)审题——仔细阅读,明确有哪些限制条件,目标函数是什么? (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数; (3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系; (4)作答——就应用题提出的问题作出回答. 体现考纲中要求会从实际问题中抽象出二元线性规划.来年需要注意简单的线性规划求最值问题

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