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高一必修一数学立体几何知识点总结


第一章 知识点总结
一、平面的基本性质 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理 3 经过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 二 、空间线面的位置关系 共面 平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行,又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 三、线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义:在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 ③垂直于同一平面的两直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b(线面垂直的性质定理) ④两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行,即若α ∥β ,α ∩γ ,β ∩γ =b,则 a∥b(面面平行的性质公 理) ⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……,α ∩β =b,则 a∥b.(线面平行的判定定理) ⑥平行于同一直线的两直线平行,即若 a∥b,b∥c,则 a∥c.(公理 4) (2)两直线垂直的判定 ①定义:若两直线成 90°角,则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直,也必与另一条垂直.即若 b∥c,a⊥b,则 a⊥c ③一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若 a⊥α ,b ? α ,a⊥b.? ④利用勾股定理,等腰三角形三线合一。 (3)直线与平面平行的判定 ①定义:若一条直线和平面没有公共点,则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 则这条直线与这个平面平行.即若 a ? α ,b ? α , a∥b,则 a ∥α .(线面平行的判定定理) ③两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即若α ∥β ,l ? α ,则 l∥β . (4)直线与平面垂直的判定 ①定义:若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 .即若 m ? α ,n ? α ,m∩ n=B,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α .(线面垂直判定定理) ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.即若 l∥a,a⊥α ,则 l⊥α . ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面,即若α ∥β ,l⊥β ,则 l⊥α . ⑤如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面,即若α ⊥β ,a∩β =α , l ? β ,l⊥a,则 l⊥α .(面面垂直的性质定理) (5)两平面平行的判定 ①定义:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行,即无公共点 ? α ∥β . ②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行,即若 a,b ? α ,a∩b=P,a∥β ,b

∥β ,则α ∥β .(面面平行判定定理) (6)两平面垂直的判定 ①定义:两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角α -a-β =90° ? α ⊥β . ②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直,即若 l⊥β ,l ? α ,则α ⊥β . (面面垂直判定定理) 四、表面积公式和体积公式

S圆柱侧 =2? rl
1 S正棱台侧 = (c ? c ' )h ' 2

S圆锥侧 =? rl

S圆台侧 =? (r1 ? r2 )l
S直棱柱侧 =ch 1 S正棱锥侧 = ch' 2

V柱体 =Sh

1 V锥体 = Sh 3

1 V台体 = (S上 +S下 + S上 +S下)h 3

S球面 =4? R 2

4 V球 = ? R 3 3


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