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四川省成都市龙泉驿区第一中学校2016-2017学年高一10月月考数学试题


成都龙泉中学 2016—2017 学年度高一上期 10 月月考试题


一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)


( ) (D) ?3,9?

1、已知集合 U ? ?1,3,5,7,9? , A ? ?1,5,7? ,则 ?u A = (A) ?1,3? (B) ?3,7,9? ) (C) ?3,5,9?

2、下列各组函数是同一函数的是( A. y ?

x ?1 , x ?1

y?

1 ?2 1? x

B. y ? x ? 1 ? x ? 1, D. y ?| x | ,

y ? x2 ?1

C. y ? x, 3、函数

y ? 3 x3
的定义域是(

y ? ( x)2

) B. [﹣1,+∞) D. (﹣1,2)∪(2,+∞) ) D.5 )

A.[﹣1,2)∪(2,+ ∞) C. (﹣∞,2)∪(2,+∞)

,x?5 ? ?x ? 3 4、若函数 f ? x ? ? ? , 则 f ? 2 ? 的值为( ? ? f ? x ? 2? , x ? 5

A.2

B.3

C.4

5、函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??,4) 上是增函数,则实数 a 的范围是( A.a≥5 B. a ≥ 3 C. a ≤ 3 D. a ≤ ? 5

6、如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时, 盛满液体, 经过 3 分钟漏完. 已知圆柱中液面上升的速度是一个

漏 斗 常量, 函 数

H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则 H 与下落时间 t(分)的
关系表示的图象只可能是( )

7、若 102x=25,则 10-x=( A.
1 5


1 50

B. ?

1 5

C.

D.

1 625

8、设函数 f ? x ? 和 g ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ? x ? ? g ? x ? 是偶函数 C. f ? x ? ? g ? x ? 是偶函数 B. f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数 D. f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数 )

?1? 9、若 f ( x) 满足关系式 f ( x) ? 2 f ? ? ? 3x, 则 f (2) 的值为( ? x?

A. 1

B. ?1

C. ?

3 2

D.

3 2

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 10、 f ( x) ? ? 是定义在(﹣∞,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围是 ?? ax, x ? 1
( )

A.[ , )

B.[0, ]

C. (0, )

D. (﹣∞, ]

11、 f ( x) 满足对任意的实数 a, b 都有 f (a ? b) ? f (a ) ? f (b), 且 f (1) ? 2 , 则
f (2) f (4) f (6) f (2016) ? ? ? ... ? ? ( f (1) f (3) f (5) f (2015)

) C.2013 D. 1008

A.1006

B. 2016

12 、已知函数 y ? x 2 ? 2 x 在闭区间 [a, b] 上的值域为 [?1,3] , 则满足题意的有序实数对
(a, b) 在坐标平面内所对应点组成图形为(

)

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.已知集合 M={0,x},N={1,2},若 M∩N={1},则 M∪N=______.

14.若函数 f(x)=

是奇函数,则 a+b=______.

15.已知函数 f(x)=x2+4mx+n 在区间[2,6]上是减函数,求实数 m 的取值范围 16.如果函数 f(x)= 是奇函数,则 a= .



三.解答题(将答案写在答题卡中相应题号的方框内,只有结果没有步骤不给分) 17. (本题满分 12 分)已知 y+5 与 3x+4 成正比例,当 x=1 时,y=2. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)求当 x=﹣1 时的函数值.

18. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=x+ +2, (x≥ ①判断函数 y=f(x)在区间[

) .

,+∞)上的单调性,并加以证明.

②若函数 g(x)=f(x)+x2﹣3x﹣ ,且满足 g(x)≥a 恒成立,求 a 的取值范围.

19(本题满分 12 分)已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx 满足:① f (2) ? 0 ,②关于 x 的方程
f ( x) ? x 有两个相等的实数根.

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在 [0,3] 上的最大值。

20. (本题满分 12 分)已知集合 A={x|x2﹣6x+8≤0},f(x)=ax(a>0 且 a≠1) ,x∈A. ①若 a=2,求 f(x)的最值 ②若函数 f(x)的最大值与最小值之差为 2,求 a 的值.

21. (本题满分 14 分)据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移 动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t, 0)作横轴的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的 路程 s(km) . (1)当 t=4 时,求 s 的值; (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来; (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650km,试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.

22. (本题满分 12 分)已知:f(x) =lg(ax﹣bx) (a>1>b>0) . (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)在其定义域内的单调性; (3)若 f(x)在(1,+∞)内恒为正,试比较 a﹣b 与 1 的大小.

成都龙泉中学 2016—2017 学年度高一上期 10 月月考试题

数学参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1—5 D CABA 6—10 AAABA 11—12 BC

二.填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.解:∵M={0,x},N={1,2},且 M∩N={1}, ∴x=1,即 M={0,1}, 则 M∪N={0,1,2}, 故答案为:{0,1,2} 14.解:由题意,a=f(0)=0. f(﹣1)=﹣f(1) ,∴﹣1+b=﹣(1﹣1) ,∴b=1, ∴a+b=1. 故答案为:1. 15.解:f(x)=x2+4mx +n=(x+2m)2+n﹣4m2. ∴f(x) 的图象开口向上,对称轴为 x=﹣2m, ∴f(x)在(﹣∞,﹣2m]上单调递减,在[2m,+∞)上单调递增, ∵f(x)在区 间[2,6]上是减函数, ∴6≤﹣2m,解的 m≤﹣3. 故答案为(﹣∞,﹣3]. 16.解:函数 f(x)= 是奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,

即有

+

=0,



=0,

化简得到, 即 =1, 故 a=2.

=0,

故答案为:2 三.解答题 17. (本题满分 12 分) 解: (1)由题意可得 y+5=k(3x+4) (k≠0) , 则 2+5=k(3×1+4) ,解得 k=1, ∴y=3x﹣1; (2)当 x=﹣1 时,y=3×(﹣1)﹣1=﹣4.

18. (本题满分 12 分) 解: ①函数 y=f(x)在区间[ 证明如下:∵f(x)=x+ +2, ∴f′(x)=1﹣ ∵x≥ , ≥0, ,+∞)上单调递增. , ,+∞]上单调递增.

∴f′(x)=1﹣

∴函数 y=f(x)在区间[

②∵函数 g(x)=f(x)+x2﹣3x﹣ ,且满足 g(x)≥a 恒成立, ∴x2﹣2x+2≥a(x≥ ∵x≥ )恒成立, ,

,∴x2﹣2x+2≥5﹣2 .

∴a≤5﹣2

19.(本题满分 12 分) 解: (1)由① 2a ? b ? 0 ,由②得 ax 2 ? ?b ? 1?x ? 0 有两个相等实根,则 (b ?1)2 ? 4a ? 0 ? 0 由上即得 b ? 1 , a ? ?
1 1 则 f ( x) ? ? x 2 ? x 2 2 1 2 (2) 由(1)得 f ( x) ? ? x ? x 的对称轴为 x ? 1 ,. 2
1 . 2

所以在 x ? [0,3] 上,当 x ? 1 时, f ( x) 的最大值为 f (1) ?

20. (本题满分 12 分)

解:①解不等式 x2﹣6x+8≤0 得 2≤ x≤4, ∴A=[2,4]. 当 a=2 时,f(x)=2x 在[2,4]上是增函数, ∴f(x)的最小值为 f(2)=4, f(x)的最 大值为 f(4)=16. ②(i)若 a>1,则 f(x)在[2,4]上是增函数, ∴fmin (x)=a2.fmax(x)=a4, ∴a4﹣a2=2,即(a2)2﹣a2﹣2=0,解得 a2=2 或 a2=﹣1(舍) , ∴a= .

(ii)若 0<a<1,则 f(x)在[2,4]上是减函数, ∴fmin(x)=a4.fmax(x)=a2, ∴a2﹣a4=2,即(a2)2﹣a2+2=0,方程无解. 综上,a= .

21. (本题满分 14 分) 解:设直线 l 交 v 与 t 的函数图象于 D 点, (1)由图象知,点 A 的坐标为(10,30) ,故直线 OA 的解析式为 v=3t, 当 t=4 时,D 点坐标为(4,12) , ∴OT=4,TD=12, ∴S= ×4×12=24(km) ;

(2)当 0≤t≤10 时,此时 OT=t,TD=3t(如图 1) ∴S= ?t?3t= 当 10<t≤20 时,此时 OT=t,AD=ET=t ﹣10,TD=30(如图 2)

∴S=S△AOE+S 矩形 ADTE= ×10×30+30(t﹣10)=30t﹣150 当 20<t≤35 时,∵B,C 的坐标分别为(20,30) , (35,0) ∴直线 BC 的解析式为 v=﹣2t+70 ∴D 点坐标为(t,﹣2t+70) ∴TC=35﹣t,TD=﹣2t+70(如图 3) ∴S=S 梯形 OABC﹣S△DCT= (10+35)×30﹣ (35﹣t) (﹣2t+70)=﹣(35﹣t)2+675; (3)∵当 t=20 时,S=30×20﹣150=450(km) , 当 t=35 时,S=﹣(35﹣35)2+675=675(km) ,而 450<650<675, ∴N 城会受到侵袭,且侵袭时间 t 应在 20h 至 35h 之间, 由﹣(35﹣t)2+675=650,解得 t=30 或 t=40(不合题意,舍去) . ∴在沙尘暴发生后 30h 它将侵袭到 N 城.

22. (本题满分 12 分) 解: (1)要使函数有意义,则 ax﹣bx>0,∴ ∵ ,∴x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞) . ,

(2)设 x2>x1>0,∵a>1>b>0, ∴ ∴ , ,则 ,∴ , .

∵函数 y=lgx 在定义域上是增函数, ∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1) , ∴f(x)在(0,+∞)是增函数. (3)由(2)知,函数 f(x)在(0,+∞)是增函数, ∴f(x)在(1,+∞)是增函数,即有 f(x)>f(1) , 要使 f(x)>0 恒成立,必须函数的最小值 f(1)≥0, 即 lg(a﹣b)≥0=lg1,则 a﹣b≥1.


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