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2.2.2函数的表示法 课件(北师大必修1)


1.函数的表示法 表格 的形式表示两个变量之 列表 用___________ 法 间函数关系的方法 图像 把两个变量间的函数关系 图像 用_________ 法 表示出来的方法 一个函数的对应关系,可以用自变量的 解析 解析表达式 解析式 _____________ (简称____________) 表 法 示出来的方法

2.分段函数

/>在函数定义域内,如果对自变量x的不同取
对应关系 值范围,有着不同的 ______________ ,这样

的函数称为分段函数.分段函数的定义域是

各段自变量取值集合的 ______ 并集 ,其值域是各
段函数值的取值集合的 ________ 并集 ,分段函数 是一个函数而不是几个函数.

题型一
例1

求函数解析式
根据下列条件,求函数的解析式.

(1)已知f(x)为一次函数,且f[f(x)]=9x+4,求f(x); (2)已知f(x)为二次函数,且f(2)=-3,f(-2)=-7 ,f(0)=-3,求f(x); (3)已知f(2x-1)=4x2-2x,求f(x);

?1 ? (4)已知 f(x)- 2f ? ?= 3x+ 2,求 f(x). x? ? (5)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,
并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+ 1),求f(x)的表达式.

【解】 (1)设 f(x)= ax+ b, (a≠ 0). 2 f[f(x)]= af(x)+ b= a(ax+ b)+ b= a x+ ab+ b,
2 ? ? ? a ? =9, ?a=3 ?a=-3 ∴? 解得? 或? ? ? ? ?ab+b=4. ?b=1 ?b=-2

则 f(x)= 3x+1 或 f(x)=- 3x- 2. (2)设 f(x)= ax2+ bx+ c(a≠ 0) ∵ f(2)=- 3, f(- 2)=- 7, f(0)=- 3.

? ? ∴?4a-2b+c=-7, ? ?c=-3.
4a+2b+c=-3,

1 2 ∴ f(x)=- x + x- 3. 2

? 解得?b=1 ?c=-3

1 a=- 2

t+1 (3)设 t= 2x- 1,则 x= ,代入已知条件得 2 t+1 t+1 2 2 2 f(t)= 4( ) - 2· =t + t,即 f(x)= x + x. 2 2 1 ?1 ? 3 (4)把原式中的 x 换为 得 f ? ?- 2f(x)= + 2 与原式联立得 x ?x ? x
? 1? ? ?=3x+2, ?f? x? -2f? x ? ?

? ?1 ? 3 f? ?-2f? x? = +2. ? x ? ?x ?

2 解得 f(x)=- x- - 2. x

(5)解:法一:由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),设 x = y , 得 f(0) = f(x) - x(2x - x + 1) . ∵ f(0) = 1 , ∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.

法二:令x=0得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)
= 1 - y( - y + 1) .又令- y = x ,代入式子得 f(x) = 1 -(-x)(x+1)=1+x(x+1)∴f(x)=x2+x+1.

方法技巧

求函数解析式有以下常用方法:
(1)待定系数法:①我们在解决某些问题时,常用一些字母来表示 需要确定的系数,然后根据一些条件或要求来确定这些系数,从而

解决问题,这样的思维方法叫作待定系数法.
②待定系数法适用于:已知所要求的解析式f(x)的类型,如一次函数 、二次函数等,即可设出f(x)的解析式,然后根据已知条件确定其系 数. (2)换元法:是已知y=f[g(x)]的解析式,求f(x)的解析式的方法,其 具体步骤是:令t=g(x),由t=g(x)求出x,即用t表示x,代入y= f[g(x)]中,得出f(t),即可得到f(x)的解析式.应注意的是,t的取值 范围由t=g(x)而定,也就是f(x)的定义域.

(3)消元法:将函数中的自变量x适当地置换为别的自变量,得到一个

新的函数方程,从两个函数方程组成的方程组中通过消元,得到所
求函数解析式. (4) 特殊值法 : 所给函数方程含有两个变量时 , 可对这两个变量交替用 特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未 知的函数解析式. 至于取什么特殊值,须根据题目特征而定.如定义在R上的函数f(x) 满足f(x-y)=(x+y)(x+1).令y=0,可得f(x)=x(x+1).

变式训练 1.求下列函数的解析式. (1)已知函数 f(x)是一次函数,且 f(f(f(x)))= 8x+ 7,求 f(x); (2)已知 f( x+ 1)= x+ 2 x,求 f(x).

解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0). 则f(f(x))=f(kx+b)=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. ∴f(f(f(x)))=f(k2x+kb+b)=k(k2x+kb+b)+b =k3x+k2b+kb+b=8x+7,
3 ? ? k = 8 , ? ?k=2, ∴? 2 解得? ∴ f(x)= 2x+ 1. k b + kb + b = 7 , b = 1. ? ? ? ?

(2)法一:令 x+ 1= t(t≥ 1),则 x=(t- 1) , ∴ f(t)= (t- 1) + 2 ? t-1? = t - 1, ∴ f(x)= x - 1(x≥ 1).
2 2 2 2

2

法二: x+ 2 x= ( x+ 1) - 1( x+ 1≥ 1), ∴ f( x+ 1)= ( x+ 1) - 1( x+ 1≥ 1), 即 f(x)= x - 1(x≥ 1).
2 2

2

题型二
例2

作函数的图像

作出下列函数的图像:

?? x+1? ,x≤0 1 (1)y= (-2≤x≤2,x≠0);(2)y=? . x ?-x,x>0
2

2 ? ? x + 1 ? , x≤ 0 1 (1)y= (- 2≤ x≤ 2, x≠ 0); (2)y=? . x ?- x, x>0

【解】

1 (1)如图 1 所示,函数 y= (- 2≤ x≤ 2, x≠ 0)的图像是由双曲 x

1 线 y= (x≠ 0)上的两段组成的. x

2 ? ? x + 1 ? ,x≤ 0 ? (2)如图 2 所示,函数 y=? 的图像是由 y= (x+ 1)2,x≤ 0 ? ?-x,x>0

的图像 (抛物线的一段 )及 y=- x, x>0 的图像 (一条射线,端点除外 )组 成的.

【小结】一般用描点法作函数的图像,作图时要先 找出关键“点”,再连线.如(2)的(-1,0),(0,1)及 (1,-1),(0,0)等点.

变式训练 2.作下列函数图像

? 1 ? (1)f(x)=?x ? ?x

0<x<1 x≥ 1



(2)f(x)= |x- 1|.

解: (1)这个函数的图像由两部分组成: 1 当 0<x<1 时,为反比例函数 y= 的一段, x 当 x≥1 时,为 y= x 的一段,函数图像如图 (1).
? ?x-1 ? ? ?1-x

(2)y



|x



1|



题型三 分段函数

? 例 3:已知函数 y=f(x)=?x ? 0≤ x<1? ?x? 1≤x≤2?
2

kx?- 1≤ x<0?

1 1 且过点 (- , ). 2 2

2 1 (1)求 f[f(- )]的值; (2)当 f(x)= 时,求 x 的值; 3 4 (3)作出函数的简图;(4)求函数的定义域及值域.

1 1 【解】 由题意知点(- , )在函数 [- 1,0)部分上. 2 2 1 1 ∴ =- k. ∴ k=-1 待定函数确定,f(x)在 [- 1,0)上的解析式 2 2 ∴当- 1≤ x<0 时, f(x)=- x 2 2 2 2 (1)∵- <0,∴f(- )=-(- )= ∈ [0,1), 3 3 3 3 2 2 22 4 ∴ f[f(- )]= f( )= ( ) = , 3 3 3 9 (2)需分以下几种情况来讨论: 1 1 1 ①当- x= 时,解得 x=- ∈ [- 1,0).∴ x=- ,满足题意. 4 4 4 1 1 1 1 2 ②当 x = 时, x= ∈[0,1)或 x=- ? [0,1),∴ x= 满足题意. 4 2 2 2 1 1 ③当 x= 时,∵ x= ? [1,2]不满足题意, 4 4 1 1 1 综上,当 f(x)= 时, x=- 或 . 4 4 2

(3)在同一坐标系中分段画出函数的图像,如图所示

(4)由分段函数的解析式知f(x)的定义域为

[-1,0)∪[0,1)∪[1,2]=[-1,2].由(3)知,f(x)的值域
为[0,2].

【小结】

分段函数的值域是各段函数值的集合的

并集,求值时,一定要注意所给自变量的值所在的 范围,代入相应的解析式求得,有多层“ f ”时,要

按照“由里到外”的顺序,画图像时,则应分段分

别作出其图像,在作每一段图像时,先不管定义域 的限制,用虚线作出其图像,再用实线保留定义域

内的一段图像即可.

变式训练

?- 2x+ 1, x<1, 3.已知函数 f(x)=? 2 ?x - 2x, x≥ 1.
(1)试比较 f[f(- 3)]与 f[f(3)]的大小; (2)求使 f(x)= 3 的 x 的值.
4.图中的图像所表示的 函数解析式为______.

3、解:(1)∵-3<1,∴f(-3)=-2×(-3)+1=7. ∵7>1,∴f(7)=72-2×7=35.

∴f[f(-3)]=f(7)=35. 同理可得f(3)=3,
∴f[f(3)]=f(3)=3. ∴f[f(-3)]>f[f(3)].

(2)由于f(x)=3,故 当x<1时,由-2x+1=3,解得 x=-1; 当x≥1时,由x2-2x=3,解得x=-1(舍去)或x=3. 故使f(x)=3的x的值有两个,为-1和3.

4、解析;当x≤2时,图像为过(-1,0)和(2,-3)的射线, 所以解析式为y=-x-1. 当x≥2时,图像为过点(5,0)和(2,-3)的射 线,所以解析式为y=x-5.

?- x- 1? x≤ 2?, 答案: y=?
x- 5? x>2?

本部分内容讲解结束


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