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第7周1.3函数的单调性和奇偶性


鄂托克旗高级中学高一年级数学导学案

必修一

第一章集合与函数的概念

第三节函数的基本性质

苏海霞 编写

时间: 第七周

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二、独立预习:
预习教材 P27~ P29,找出疑惑之处

§ 1.3.1 函数的基本性质---单调性(1)
第 1 课时 【学习目标】 1、 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 上课时间:

三、合作交流:
1、 根据 f ( x) ? x ? 2 、 f ( x) ? x2 ( x ? 0) 的图象进行讨论: 随 x 的增大, 函数值怎样变化? 当 x 1 >x 2 时,f(x 1 )与 f(x 2 )的大小关系怎样?

2、掌握判断函数在某区间上的的单调性的方法。
【重点难点】 1、函数的单调性及其几何意义; 2、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性;

2、一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质?

一、知识链接:
1、观察下列各个函数的图象 y 1 -1 -1 1 x y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x

探讨下列变化 规律: ① 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ② 能否看出函数的最大、最小值? ③ 函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1).f(x) = x+2 1 从左至右图象上升还是下降? ______ ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增大,f(x)的值随着 x 的增大而________ . ○ (2). f(x) = x2 1 从左至右图象是怎样变化的? ______ ○ ? 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . ? 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着 x 的增大而 ________ .
第 1 页(共 10 页)

增函数的概念: f ( x) 设函数 y=f (x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内 f ( x2 ) 的任意两个自变量 x1,x2,当 x1 <x2 时,都有___________,那么就 f ( x1 ) 说 f(x)在区间 D 上是_______. x2 x1 x 试试:仿照增函数的定义说出减函数的定义. 图3 单调区间的概念: 如果函数 f(x)在某个区间 D 上是____函数(或____函数),就说 f(x)在这一区间上 具有 (严格的)________性,区间 D 叫 f(x)的____________(或___________). 思考: ① 图象如何表示单调递增、单调递减? ② 所有函数是不是都具有单调性?单调性与单调区间有什么关系? ③ 函数 f ( x) ? x 2 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .

y

试试:如图, 定义在[-5,5]上的 f(x),根据图象说出单调区间及单调性.

注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集;
⑵应是该区间内任意的两个实数,不能忽略需要任意取 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的 .
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第一章集合与函数的概念

第三节函数的基本性质

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时间: 第七周

四、探究展示:
例 1 、根据下列函数的图象,指出它们的单调区间及单调性. ?2 (1) f ( x) ? ?3x ? 2 ; (2 f ( x) ? , (x>0). x

[反馈练习] 1. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2x 的单调增区间是( ) A. (??,1] B. [1, ??) C. R 2. 如果函数 f ( x) ? kx ? b 在 R 上单调递减,则( ) A. k ? 0 B. k ? 0 C. b ? 0 3. 在 区间 (??,0) 上为增函数的是( ) A. y ? ?2 x B. y ? 2
x

D.不存在 D. b ? 0 D. y ? ? x 2 )

C. y ?| x |
? x?

变式:指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x) ?| x | ; (2) f ( x) ? x3 .

1? 4.(福建)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f ? ? ? ? f ?1? 的实数 x 的取值范围是(

A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 5.下列函数在指定区间上为单调函数的是( ) A.y= 2 , x ? (??,0) ? (0,??) x B.y= , x ? (1,??) C.y=x , x ? R D.y=|x|, x ? R
2

k 例 2、 物理学中的玻意耳定律 p ? (k 为正常数) ,告诉我们对于一定量的气体,当其 V 体积 V 增大时,压强 p 如何变化?试用单调性定义证明.

6. 函数 y ? ? x3 ? 1 的单调性是 7. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | 的单调递增区间是
2

. ,单调递减区间是 ; ;

8. (1)函数 f ?x? ? x 2 ? mx? 5 在 [?2, ??) 上是增函数, 在 (??, ?2] 上是减函数, 则m= (2)函数 f ?x? ? x ? mx? 5 在 [?2, ??) 上是增函数,则实数 m 的取值范围为 9.证明函数 f ( x) ?

x 在区间 [0, ??) 上是增函数

例 3、证明函数 f ?x? ? x 2 +2 在区间 [0, ??) 上是增函数。



变式:求证: f ( x) ? x ?

1 的(0,1)上是减函数,在 [1, ??) 是增函数. x

[小结] 用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: (作差法) 1 取值: 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ;○ ; ? 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性)

六、课后反思:

五、反馈总结:
第 3 页(共 10 页) 第 4 页(共 10 页)

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第一章集合与函数的概念

第三节函数的基本性质

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2、新知:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:对于任意的_______,都 有 _________; 存在 x0∈I, 使得_________. 那么, 称 M 是函数 y=f(x)的最大值 (Max Value) . 3、你能仿照最大值定义,给出最小值(Minimum Value)的定义.

§ 1.3.1 函数的基本性质---最值(2)
第 2 课时 【学习目标】 1、理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 【重点难点】 1、理解函数的最大(小)值及其几何意义; 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 上课时间:

四、探究展示:
例 1、一枚炮弹发射,炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 , 那么什么时刻距离地面的高度达到最大?最大是多少?

变式: 1、经过多少秒后炮弹落地?

一、知识链接:
1、 指出函数 y ? kx ? b (k>0)、y ?

k 2 (k ? 0) 、 f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的单调区间及单调性. x
2、一段竹篱笆长 20 米,围成一 面靠墙的矩形菜地,如何设计使菜地面积最大?

2、函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的最小值为
f ( x) ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的最大值为 3、增函数、减函数的定义及判别方法.
2

, . 方法总结: 数学建模的解题步骤:审题→设变量→建立函数模型→研 究函数最大值. ?3 例 2、求 y ? 在区间[3,6]上的最大值和最小值. (单调法或图象法) x?2 , 最大值为 .若是 x∈[-2,3]呢?

二、独立预习:
1、预习教材 P30~ P32,找出疑惑之处 2、 函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 2, x ?[0,1] 的最小值为

三、合作交流:
1、函数最大(小)值的概念 思考:先完成下表 函数 f ( x) ? ?2 x ? 3
f ( x) ? ?2 x ? 3 , x ? [?1, 2]

最 高点

最低点



变式:求 y ?

3? x , x ?[3,6] 的最大值和最小值.(单调法或图象法→分离变量) x?2

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1, x ? [?2, 2]

以上表格体现了函数值的什么特征?
第 5 页(共 10 页) 第 6 页(共 10 页)

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第一章集合与函数的概念

第三节函数的基本性质

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时间: 第七周

方法总结:先按定义证明单调性,再应用单调性得到最大(小)值.

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五、反馈总结:
[反馈练习] 1、函数 y=-2x+1 在区间[0,2]上的最大值与最小值分别为( A.1;-3 B.-3;1 C.0;3 2、函数 y ?| x ? 1| ?2 的最小值是( ). A. 0 B. -1 C. 2 ) (D)[0,1) 3、(2013·宝鸡模拟)函数 f ?x ? ? (A)(0,1)
1 的值域是( x2 ?1

§ 1.3.2 函数的基本性质---奇偶性
) D.3;0 D. 3 第 1 课时 【学习目标】 1、理解函数的奇偶性及其几何意义; 2、学会判断函数的奇偶性; 3、学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 【重点难点】 1、学会判断函数的奇偶性; 2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 上课时间:

(B)(0,1]

(C)[0,1] ).

4、 函数 y ? x ? x ? 2 的最小值是(

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2 5、 已知函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称, 且在区间 (??,0) 上, 当 x ? ?1 时, f ( x) 有最小值 3, 则在区间 (0, ??) 上,当 x ? 时, f ( x) 有最 值为 .

1 1 6、函数 f ? x ? ? 在区间[a,b]上的最大值是 1,最小值是 则 a+b=______. 3 x ?1
7、作出函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的简图, 研究当自变量 x 在下列范围内取值时的最大值与最小 值. (1) ?1 ? x ? 0 ; (2) 0 ? x ? 3 ; (3) 0<x<3; (4) x ? (??, ??) .

一、知识链接:
1、指出下列函数的单调区间及单调性. (1) f ( x) ? x ? 1 ;
2

(2) f ( x) ?

?3 x

2、对于 f(x)=x、f(x)=x 2 、f(x)=x 3 、f(x)=x 4 ,分别比较 f(x)与 f(-x)的关系.

[小结] 1. 函数最大(小)值定义;. 2. 求函数最大(小)值的常用方法:配方法、图象法、单调法.

二、独立预习:
(预习教材 P33~ P36,找出疑惑之处)

三、合作交流:
1、奇函数、偶函数概念 在同一坐标系分别作出两组 函数的图象,请观察思考: 各组图象有什么共同特征?函数解析式在函数值方面有什么特征? 1 (1) f ( x) ? x 、 f ( x) ? 、 f ( x) ? x3 ; (2) f ( x) ? x 2 、 f ( x) ?| x | . x

六、课后反思:

第 7 页(共 10 页)

第 8 页(共 10 页)

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第一章集合与函数的概念

第三节函数的基本性质

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时间: 第七周

(1)一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有_____________,那么函数 f ( x) 为偶函数(even function). (2)一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有_____________,那么函数 f ( x) 为奇函数(odd function). 2、思考完成: ① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别? ② 奇函数的定义域关于 对称,图象关于 偶函数的定义域关于 对称,图象关于

1 ? x的图象关于( ) x A y 轴对称 B 直线 y=-x 对称 C 坐标原点对称 D 直线 y=x (3)函数y ? ( x ? 1)(x ? a)为偶函数,则 a等于() A. -2 B.-1 C.1 D.2 *3. 已知 f ( x) 是定义 (??, ??) 上的奇函数,且 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上是减函数. 正确的是( ) (2).函数f ( x) ?
A. f (5) ? f (?5) B. f (4) ? f (3) C. f (?2) ? f (2) 4. 下列说法错误的是( ). 1 A. f ( x) ? x ? 是奇函数 B. f ( x) ?| x ? 2 | 是偶函数 x C. f ( x) ? 0, x ? [?6,6] 既是奇函数,又是偶函数 D. f ( x) ? D. f (?8) ? f (8)

对称; 对称.

1 在 y 轴左边的图象如右图, 画出它右边的图象. x2 变式:若函数 f ( x) 在定义域内是奇函数,且函数在 y 轴左边的图象 如右图,画出它右边的图象
例: 若函数 f ( x) ?

四、探究展示:
例、 判别下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 3 x4 ; (2) f ( x) ? 4 x3 ; (3) f ( x) ? ?3x4 ? 5x2 +3; (4) f ( x) ? 3 x ?

1 -1. x3

x3 ? x2 既不是奇函数,又不是偶函数 x ?1 5. 函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | 的奇偶性是 . 6. 若 f(x)是偶函 数且在[a,b]上递增,则 f(x)在[-b,-a]上_ ____函数(填 “增” 或“ 减” ) 7. 已知 f(x)是奇函数,且在[3,7]是增函数且最大值为 4,那么 f(x)在[-7,-3]上是 函 数,且最 值为 . 3 8.若 f ( x) ? ax ? bx ? 5 ,且 f (?7) ? 17 , f (7) =____________________ 1 *9. 已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

变式:判别下列函数的奇偶性: (1) f(x)=|x+1|+|x-1|; (2) f(x)=

1 x -2; (3) f(x)= ; (4) f(x)=x 2 ,x∈[-2,3]. 2 x 1? x

*10. 设 f ( x) 在 R 上是奇函数,当 x>0 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,试问:当 x <0 时,求 f ( x) 的解析式.

五、反馈总结:
[反馈练习] 1. 对于定义域是 R 的任意奇函数 f ( x) 有( ). A . f ( x) ? f ( ? x) ? 0 B. f ( x) ? f (? x) ? 0 C. f ( x) f (? x) ? 0 2.(1)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( ) D. y ? x | x | [来

[小结]1. 奇函数、偶函数的定义及图象特征,奇函数或偶函数称为函数的奇偶性. 2. 判断函数奇偶性的方法:图象法、定义法.

六、课后反思:
D. f (0) ? 0

y ? x ?1

B. y ? ? x

2

C. y ? 1 x

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