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2013年高考真题2:函数 Word版含答案


2013 年高考解析分类汇编 2:函数 一、选择题 错误!未指定书签。 . (2013 年高考重庆卷(文 1) )函数 y ? A. ( ??, 2) 【答案】C 【命题立意】本题考查函数的定义域。要使函数有意义则, ? B. (2, ??)

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)





C. (2,3) ? (3, ??) D. (2, 4) ? (4, ??)

?x ? 2 ? 0 ,即 ?log 2 ( x ? 2) ? 0

?x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 且 x ? 3 ,所以选 C. ? ?x ? 2 ? 1
错 误 ! 未 指 定 书 签 。
3 f ( x)? a x?

.( 2013 年 高 考 重 庆 卷 ( 文 9 )) 已 知 函 数 ( )

, f (lg(log s b i n ?x 4 (a? ,b R) 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?

A. ? 5 B. ? 1 C. 3 D. 4 【答案】C 【 命 题 立 意 】 本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性 以 及 对 数 的 运 算 性 质 。 因 为

lg(log 2 10) ? lg(lg 2) ? lg(log 2 10 ? lg 2) ? lg(

lg10 ? lg 2) ? lg1 ? 0 1g 2







l

g? ? (

2

l

。g 设 lg(log ?t 。 由 f (t ) ? 5 2 2 10) )? t 则 , lg(lg l 2) ?g ( 条 件l可 知 o g ,即 1 , 所 以

0

)

3 f ( t ) ? at ? bsin t? 4? 5

a 2 ? ts

?i b n , t 所 1



f (?

3 t) ?

?a

ts ?

i b ,选 n ? C.t 4 ?
. ( 2013

?1

?4

?3
6 )) 函 数 ( )

错 误 ! 未 指 定 书 签 。

年 高 考 大 纲 卷 ( 文

? 1? f ? x ? ? log 2 ?1 ? ? ? x ? 0 ?的反函数f -1 ? x ? = ? x?
A.

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

B.

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

C. 2 ?1? x ? R?
x

D. 2 ?1? x ? 0?
x

【答案】A

1 1 1 y ? f ( x) ? log 2 (1 ? )( y ? 0) ,所以 1 ? ? 2 y ,所以 ? 2 y ? 1 ,所以 x x x 1 1 1 x? y ( y ? 0) ,所以 y ? x ( x ? 0) ,即 f ?1 ( x) ? x ( x ? 0) ,故选 A. 2 ?1 2 ?1 2 ?1
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 .( 2013 年 高 考 辽 宁 卷 ( 文 7 )) 已 知 函 数

f ? x ? ? ln
A. ? 1 【答案】D

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?
B. 0 C. 1 D. 2

?





1 因为 lg 2 ,lg 为 f (? x) ? ln( 1 ? 9 x2 ? 3x) ? 1 所以 f ( x) ? f (? x) ? 2 , 2
相反数,所以所求值为 2.

错误! 未指定书签。. (2013 年高考天津卷 (文 8) ) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b) 【答案】A 由 f ( x) ? e x ? x ? 2 ? 0, g ( x) ? ln x ? x2 ? 3 ? 0 得 e x ? ? x ? 2,ln x ? ? x2 ? 3 ,分别 令 f1 ( x) ? ex , f 2 ( x) ? ? x ? 2 , g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ?x2 ? 3 。 在 坐 标 系 中 分 别 作 出 函 数 ( B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0 )

f1 ( x) ? ex , f 2 ( x) ? ? x ? 2 , g1 ( x) ? ln x, g 2 ( x) ? ?x2 ? 3 的图象,由图象知 0 ? a ? 1,1 ? b ? 2 。
此时 g1 (a) ? g 2 (a) ,所以 g (a) ? 0 又。 f1 (b) ? f 2 (b) ,所以 f (b) ? 0 ,即 g (a) ? 0 ? f (b) ,选

A.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(文 1) )设全集为 R, 函数 f ( x) ? 1 ? x 的定 义域为 M, 则 CR M 为 ( )

A.(-∞,1) 【答案】B

B.(1, + ∞)

C. (??,1]

D. [1, ??)

M ?1 - x ? 0,? x ? 1.即M ? (??,1],CR ? (1, ?) ,所以选 B

错误!未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题(文科 15) )函数 f ? x ? ? x2 ?1? x ? 1? 的 反函数为 f ?1 ? x ? ,则 f ?1 ? 2 ? 的值是 A. 3 【答案】A B. ? 3 C. 1 ? 2 D. 1 ? 2 ( )

由反函数的定义可知, x ? 0,2 ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? x ? 3
选A 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(文 8) )x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整 数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 ( A.奇函数 【答案】D 【命题立意】本题考查函数的性质与判断。在 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? x ? 1 ,在 2 ? x ? 3 时,
f ( x) ? x ? 2 ,在 3 ? x ? 4 时, f ( x) ? x ? 3 。在 n ? x ? n ? 1 时, f ( x) ? x ? n 。画出图象



B.偶函数

C.增函数

D.周期函数

由图象可知函数没有奇偶性,在[n,n+1)上单调递增,是周期函数,周期是 1.选 D.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(文 10) ) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数).若存在 b ? [0,1] 使 f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是 A. [1, e] B. [1,1 ? e] C. [e,1 ? e] D. [0,1] ( )

【答案】A

错误!未指定书签。 . (2013 年高考辽宁卷(文 12) )已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 , g ? x ? ? ?x2 ? 2 ? a ? 2? x ? a2 ? 8. 设 H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ??, H2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ??, ? max ? p, q?? 表示 p, q 中
的较大值, min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 得最小值 为 B ,则 A ? B ? A. a ? 2a ? 16
2

( B. a ? 2a ? 16
2



C. ?16

D. 16

【答案】C

f ( x) 顶点坐标为 (a ? 2, ?4a ? 4) , g ( x) 顶点坐标 (a ? 2, ?4a ? 12) ,并
且 f ( x ) 与 g ( x) 的顶点都在对方的图象上,图象如图, A、B 分别为两个二次函数顶点的纵

坐标,所以 A-B= (?4a ? 4) ? ( ?4 a ?12) ? ?16 . [方法技巧](1)本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。 (2)并不是 A,B 在同 一个自变量取得。 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考北京卷 (文 3) ) 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞) 上单调递减的是 ( A. y ?



1 x

B. y ? e

?x

C y ? ?x ?1


2

D. y ? lg | x |

【答案】C

可以排除 A,B,由于 y ? lg | x | ,当 x ? 0 时单调递增,排除 D.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考福建卷(文 5) )函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是
2

( A. 【答案】A B. C. D.



本题考查的是对数函数的图象.由函数解析式可知 f ( x) ? f (? x) ,即函数为 偶函数,排除 C;由函数过 (0,0) 点,排除 B,D.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考浙江卷(文) )已知 a.b.c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则 ( A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 【答案】A 由 f(0)=f(4)知,函数的对称轴是 X= ?

2



b ? b+4a=0 由 f(0)>f(1)知函数 2a

在对称轴的左边递减,所以开口向上;所以选 A 【考点定位】此题考查二次函数的性质,二次函数的开口有二次项系数 ? 决定,开口向上 在对称轴左边递减,在对称轴右边递增;开口向下在对称轴左边递增,在对称轴右边递减 错误!未指定书签。 . (2013 年高考山东卷(文 3) )已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? A.2 【答案】D

1 ,则 f (?1) ? x
B.1 C. 0 D.-2





1 f (?1) ? ? f (1) ? ?(12 ? ) ? ?2 ,故选 D. 1
错误!未指定书签。 . (2013 年高考广东卷(文 2) )函数 f ( x ) ? A. (?1, ??) 【答案】C 对数真数大于零,分母不等于零,选 C! 错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(文) )设 a, b, c 均为不等于 1 的正实数, 则下 B. [?1, ??)

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1





C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)

列等式中恒成立的是
logc b ? logc a A. loga b· loga a ? loga b B. loga b·





C. loga (bc) ? loga b? oga c 【答案】B

D. loga (b ? c) ? loga b ? loga c

a, b,c≠1. 考察对数 2 个公式: loga xy ? loga x ? loga y, loga b ?

logc b logc a

对选项 A: loga b ? logc b ? logc a ? loga b ?

logc a ,显然与第二个公式不符,所以为假。 logc b logc b ,显然与第二个公式一致,所以为真。 logc a

对选项 B: loga b ? logc a ? logc b ? loga b ?

对选项 C: loga (bc) ? loga b ? loga c ,显然与第一个公式不符,所以为假。 对选项 D: loga (b ? c) ? loga b ? loga c ,同样与第一个公式不符,所以为假。 所以选 B 错误!未指定书签。 . (2013 年高考山东卷(文 5) )函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x

1 的定义域 x?3
( )

为 A.(-3,0] 【答案】A B.(-3,1] C. (??, ?3) ? ( ?3, 0] D. (??, ?3) ? ( ?3,1]

?1 ? 2 x ? 0, ? x ? 0, 解得 ? 故选 A。 ? x ? ? 3. x ? 3 ? 0 ? ?
错误! 未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅱ卷 (文 8) ) 设 a ? log3 2 ,b ? log5 2 ,c ? log2 3 , 则( ) (A) a ? c ? b 【答案】D (B) b ? c ? a (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b

因为 log 3 2 ?

1 1 ? 1 , log 5 2 ? ? 1,又 log 2 3 ?1 ,所以 c 最大。又 log 2 3 log 2 5 1 1 ? ,即 a ? b ,所以 c ? a ? b ,选 D. log 2 3 log 2 5

1 ? log2 3 ? log2 5 ,所以

错误!未指定书签。 . (2013 年高考天津卷(文) )已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且

在区间 [0, ??) 单调递增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围
2

是 A. [1, 2] 【答案】C 因 为 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 l o g g ,所以 1 a ?? lo 2a
2


? 1? B. ? 0, ? ? 2? ?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?



D. (0, 2]

f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? f (log 2a) ? f (? log 2 a) ? 2 f (log 2 a) ? 2 f (1) ,即 f (log2 a ) ? f (1) ,因为
2

函数在区间 [0, ??) 单调递增,所以 f ( log2 a ) ? f (1) ,即 log 2 a ?1 ,所以 ?1 ? log 2 a ? 1 ,解 得

1 ?1 ? ? a ? 2 ,即 a 的取值范围是 ? , 2 ? ,选 C. 2 ?2 ?
2

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南(文 6) )函数 f(x)=㏑ x 的图像与函数 g(x)=x -4x+4 的图像的交点个数为______ ( A.0 B.1 C. 2 D.3 【答案】C 【命题立意】本题考查函数与方程的应用以及函数图象的应用。因为
2 2 所以作出函数 f ? x ? ? ln x 与 g ? x ? ? x ? 4x ? 4 ? ( x ? 2) g ? x ? ? x2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ,



的图象,由图象可知两函数图象的交点个数有 2 个,选 C. 错误!未指定书签。 . (2013年高考课标Ⅰ卷(文12) )已知函数 f ( x) ? ? 若 | f ( x) |? ax ,则 a 的取值范围是 A. (??, 0] 【答案】D; B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2, 0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, , ? ln( x ? 1), x ? 0
( )

作出函数 | f ( x) | 的图象, 如图

, 要使 | f ( x) |? ax 成

立,则必有 a ? 0 。当 x ? 0 时,| f ( x) |? ? x 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ? x 2 ? 2 x ,设 y ? x 2 ? 2 x , 则 y ' ? 2 x ? 2 ? ?2 , 解 x ? 0 时, 切线的斜率 k ? ?2 , 所以此时有 a ? ?2 , 综上 ?2 ? a ? 0 , 即 a 的取值范围是 [?2, 0] ,选 D.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(文 10) )设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对 任意实数 x, y, 有 ( A.[-x] = -[x] B.[x + C.[2x] = 【答案】D 代值法。 对 A, 设 x = - 1.8, 则[-x] = 1, 对 B, 设 x = 1.8, 则[x+ -[x] = 2, 所以 A 选项为假。



1 ] = [x] 2

1 2[x] D. [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2

1 ] = 2, [x] = 1, 所以 B 选项为假。 2

对 C, 设 x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以 C 选项为假。 故 D 选项为真。所以选 D 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考安徽 (文 8) ) 函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示,在区间 ? a, b ? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 , x2 ,? , xn ,使得 取值范围为 A. ?2,3? B. ?2,3, 4? C. ?3, 4? D. ?3, 4,5?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的 ? ?? ? x1 x2 xn
( )

【答案】B

f ( x1 ) f ( x1 ) ? 0 表示 ( x1 , f ( x1 )) 到原点的斜率; ? x1 x1 ? 0

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 表示 ( x1 , f (x1 )) ? ?? ? , ( x 2 ,f x (2 , )) ?, x( ( 与原点连线的斜 )) n f, xn x1 x2 xn
率,而 ( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 )), ?, ( xn , f ( xn )) 在曲线图像上,故只需考虑经过原点的直线与 曲线的交点有几个,很明显有 3 个,故选 B. 错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(文 5) )小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因 交通堵塞停留了一 段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象 是
距学校的距离 距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C

时间

O D

时间

【答案】C 【命题立意】本题考查函数的应用以及函数图象的识别。开始时匀速行驶,此时对应的图象 为直线,函数的图象递减。途中因交通堵塞停留了一段时间,此时到学校的距离为常数,综 上选 C.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖南(文 4 ) )已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数 ,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于 ( ) A. 4 B.3 C. 2 D.1 【答案】B 【命题立意】本题考查函数的奇偶性以及应用。因为函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, 所以由 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4 得 ? f (1) ? g (1) ? 2, f (1) ? g (1) ? 4 ,解得

g (1) ? 3 。选 B.
二、填空题 错误!未指定书签。 . ( 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 14 ) ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足

f ( x ? 1) ? 2 f ( x) . 若 当 0 ? x ? 1 时 . f ( x) ? x(1 ? x) , 则 当 ?1 ? x ? 0
时, f ( x) =________________. 【答案】 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

当 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? x ? 1 ? 1 ,故 f ( x ? 1) ? ( x ? 1)(1 ? x ? 1) ? ? x( x ? 1) 又 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) ,所以 f ( x) ? ?

x( x ? 1) 2

错误!未指定书签。 . (2013 年高考大纲卷(文 11) ) 设 f ? x ? 是以2为周期的函数,且当x ??1,3?时,f ? x ? = ____________. 【答案】-1

f (?1) ? f (1) ? 1 ? 2 ? ?1,故填 ? 1 .

?log 1 x ,???? x ? 1 ? 2 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(文 13) )函数 f ( x ) ? ? 的值域 x ? ?2 ,??????????x ? 1
为 【答案】(-∞,2) 。
x

当 x ? 1时, log 1 x ? 0 ,当 x ? 1时,0 ? 2 ? 2 ,故值域是 (??,2) 。
2

错误!未指定书签。 . (2013 年高考安徽(文 11) )函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为 _____________. 【答案】 ? 0,1?

1 x

? 1 ?1 ? ? 0 ? x ? 0或x ? ?1 ,求交集之后得 x 的取值范围 ? 0,1? ? x 2 ? ? 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1
【考点定位】考查函数定义域的求解,对数真数位置大于 0,分母不为 0,偶次根式底下大 于等于 0. 错误!未指定书签。 . (2013 年高考浙江卷(文) )已知函数 f(x)= x-1 若 f(a)=3,则实数 a= ____________. 【答案】10 由已知得到 f (a) ? a ?1 ? 3 所以 a-1=9 所以 a=10 ,所以答案为 10 【考点定位】此题考查求函数值。

?2 x 3 , x ? 0 ? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考福建卷(文 13) )已知函数 f ( x) ? ? ?, ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
则 f ( f ( )) ? ________

?

4

【答案】 ? 2 本题考查的是分段函数求值.f ( f ( )) ? f (? tan

?

?
4

4

) ? f (?1) ? 2(?1) 3 ? ?2 .
的值是___________.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(文 11) )g l 5g l? 2 0 【答案】1

lg 5 ? lg 20 ? lg 5 ? 20 ? lg10 ? 1.故填 1.
9 ? 1 ? 3x 的实数解为 3 ?1
x

错误!未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题(文科 8) )方程 _______. 【答案】 log3 4

9 9 ? 1 ? 3x ? x ? 3x ? 1 ? 3x ? 1 ? ?3 ? 3x ? ?3 ? 1 ? 0 3x ? 1 3 ?1 ,
x 所以 3 ? 4 ? x ? log3 4 。

三、解答题 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考江西卷 (文) ) 设函数错误! 未找到引用源。 常数且 a∈(0,1). (1) 当 a=错误!未找到引用源。时,求 f(f(

a 为

1 错误!未找到引用源。)); 3

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶周期点,证明函数 f ( x ) 有 且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1,x2; 2 (3) 对于 (2) 中 x1,x2, 设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a ,0), 记△ABC 的面积为 s(a),求 s(a)在区间[ 最小值. 【答案】解:(1)当 a=

1 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。]上的最大值和 3

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 2 3 3 3 3 3 3

?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 (a ? x), a 2 ? x ? a ? ? a(1 ? a ) ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 2 ( x ? a), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? a(1 ? a ) ?
当 0 ? x ? a 时,由
2

1 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a2

当 a ? x ? a 时由
2

a 1 (a ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a 2 , a), ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a 故x? 是 f( x)的二阶周期点; 2 ?a ? a ? 1
因 f(
2

当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

1 1 ( x ? a) ? x 解得 x ? ? (a, a2 ? a ? 1) 2 2?a (1 ? a)

因 f(
2

1 1 1 1 1 )? ? (1 ? )? 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; 2 ? a 1? a 2?a 2?a 2?a 1 1 (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 ? (a 2 ? a ? 1,1) ?a ? a ? 1 a(1 ? a)

当 a ? a ? 1 ? x ? 1时,

1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 1 故x? 是 f(x)的二阶周期点. ?a 2 ? a ? 1 a 1 因此,函数 f ( x ) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? , x2 ? . 2 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 a a 1 1 , 2 ), B( 2 , 2 ) (3)由( 2)得 A( 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
因 f(
2

则 s (a) ?

1 a 2 (1 ? a) 1 a(a3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ? 2 , s?(a) ? ? 2 ?a ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1)2

1 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ] 内 , 故 s?(a) ? 0 , 则 3 1 1 s(a)在区间[ , ]上单调递增, 3 2 1 1 1 1 1 1 故 s (a)在区间[ , ]上最小值为s( )= ,最大值为s( )= 3 2 3 33 2 20
因为 a 在 [ 错误!未指定书签。 . (2013 年高考安徽(文) )设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,
2 2

区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? . (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值. 【答案】解:(1)令 f ( x) ? x ? - 1 ? a 2)x ? ?a ( ??0 解得 x1 ? 0

x2 ?

a 1 ? a2

a ? ? ? I ? ?x | 0 ? x ? ? 1 ? a2 ? ?
? I 的长度 x2 - x1 ?
(2) k ? ? 0,1? 由 (1) I ?

a 1 ? a2

则 0 ? 1? k ? a ? 1? k ? 2

a 1 ? a2

I'?

1 ? a2 ? 0 ,则 0 ? a ? 1 (1 ? a 2 ) 2

故 I 关于 a 在 (1 ? k ,1) 上单调递增,在 (1,1 ? k ) 上单调递减.

I1 ?
I2 ? I min

1- k 1 ? ?1- k ?
2

?

1- k 2 ? 2k ? k 2

1? k 2 1? ( 1 ? k) 1- k ? 2 ? 2k ? k 2


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