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圆和圆的位置关系、空间直角坐标系


【同步教育信息】
一. 本周教学内容: 圆和圆的位置关系、空间直角坐标系 二. 本周教学目标: 1、理解并掌握圆与圆的五种位置关系,并能用圆心距和半径之间的大小关系来判断圆与 圆的位置关系。 2、了解空间直角坐标系的定义、建立方程、会用空间直角坐标系刻画点的位置。 3、掌握空间两点间的距离公式及空间两点间中点坐标公式。 三. 本周知识要点: (一)圆和圆的位置关系 1、

外离

2、外切

3、内切

4、相交

5、内含

判断方法: 第一步 计算两圆的半径 r1 , r2 ; 第二步 计算两圆的圆心距 d; 第三步 根据 d 与 r1 , r2 之间的关系,判断两圆的位置关系。

d ? r1 ? r2 d ? r1 ? r2

? ?

圆和圆外离 圆和圆外切

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2

?

圆和圆相交

d ? r1 ? r2
d ? r1 ? r2

? ?

圆和圆内切 圆和圆内含

二、空间点的直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义 过定点 O,作三条互相垂直的数轴,它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位.这 三条轴分别叫做 x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴);统称坐标轴。通常把 x 轴和 y 轴配置 在水平面上,而 z 轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住 z 轴,当右 手的四指从正向 x 轴以 90 角度转向正向 y 轴时,大拇指的指向就是 z 轴的正向,这样的三 条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点 O 叫做坐标原点。 (如下图所示)

说明: (1)三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称坐标面。 过 x 轴与 y 轴,y 轴与 z 轴及 z 轴与 x 轴的平面分别称为: xOy 面,yOz 面,zOx 面。 (2)三个坐标平面将空间分成八个卦限。

空间直角坐标系共有八个卦限 2、空间点和坐标 设点 M 为空间一已知点。我们过点 M 作三个平面分别垂直于 x 轴、y 轴、z 轴,它们 与 x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为 P、Q、R,这三点在 x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为 x、y、 z。于是空间的一点 M 就唯一的确定了一个有序数组 x,y,z;反过来,任给一个数组(x0, y0,z0),过 x 轴上的 x0,y 轴上的 y0,z 轴上的 z0 作三个平面。分别垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴,这三个平面相交于空间一点 P。三元实数组(x0,y0,z0)与空间的一点 P 一一对应。 (如

图) 把(x0,y0,z0)称为点 P 的坐标,并依次称 x,y 和 z 为点 M 的横坐标,纵坐标和竖坐标; 通常记为 M(x,y,z)。 这样,通过空间直角坐标系,我们就建立了空间的点 M 和有序数组 x,y,z 之间的一 一对应关系。 !注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征. 特殊情况: 如果点 M 在 yOz 平面上,则 x=0;同样,zOx 面上的点,y=0;如果点 M 在 x 轴上, 则 y=z=0;如果 M 是原点,则 x=y=z=0,等。 3、空间两点间距离公式 设 M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点. 我们用它们的坐标来表达它们的距离 d. 由 图

由于 , 所以

, ,

这就是空间两点间的距离公式 4、空间两点间中点坐标公式 空间两点 p1(x1,y1,z1),p2(x2,y2,z2),那么 p1,p2 的中点 M 坐标是什么?

【典型例题】
例 1:判断下列两圆的位置关系:

答: (1)外切 (2)内含 (3)相交 例 2:求过点 A(0,6)且与圆 C:x2+y2+10x+10y=0 切于原点的圆的方程。 分析:如图,所经过原点和 A(0,6) ,且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上。根 据这三个条件可确定圆的方程。 答: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 18
2 2

y 例 3:如果实数 x,y 满足 ( x ? 2) ? y ? 3 ,求 x 的最大值
2 2

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y x 的最大值, y 2 2 由图形性质可知,由原点向圆 ( x ? 2) ? y ? 3 作切线,其中切线斜率的最大值即为 x 的最
2 2 解: (1) 问题可转化为求圆 ( x ? 2) ? y ? 3 上一点到原点连线的斜率

k?

?2k ? 0
大值,设过原点的直线为 y=kx,即 kx-y=0,由

k 2 ?1

? 3

,解得 k ? 3 或 k ? ? 3

?y? ?? ? ? 3 ? x ?max 。

例 4:一个圆和已知圆 x ? y ? 2 x ? 0 外切,并与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于点 M
2 2

( 3, ? 3 ) ,求该圆的方程

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解:已知圆方程化为: ( x ?1) ? y ? 1 ,其圆心 P(1,0) ,半径为 1 设所求圆的圆心为 C(a,b) ,
2 2

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则半径为

? a ? 3?

2

? b? 3

?

?

2


2

PC ? 1 ? 因为两圆外切,
从而

? a ? 3? ? a ? 3?
2

? b? 3

?

?

2

, (1)

? a ? 1?

2

? b2 ?

1+

? b? 3

?

?

2

又所求圆与直线 l : x ? 3 y ? 0 相切于 M( 3, ? 3 ),

? 直线 CM ? l , kCM kl ? ?1,于是

?

1 b? 3 ? ? ?1 3 a ?3 ,

b ? 3a ? 4 3 即 (2) 将(2)代入(1)化简,得 a2-4a=0, ? a=0 或 a=4
当 a=0 时, b ? ?4 3 ,所求圆方程为

x2 ? y ? 4 3
2 2
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?

?

2

? 36

当 a=4 时,b=0,所求圆方程为 ( x ? 4) ? y ? 4

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例 5:如图,已知长方体 ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12,AD=8,AA‘=5。 以这个长方体的顶点 D 为坐标原点,射线 DA,DC,OD’分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,求长方体各顶点的坐标。 解:A(8,0,0) B(8,12,0) C(0,12,0) D(0,0,0)A’ (8,0,5)B’ (8,12,5) C’ (0,12,5) D’ (0,0,5)

例 6:已知平行四边形 ABCD 的顶点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),求 顶点 D 的坐标。

解:设 D(x,y,z) 因为 O 为 AC 中点,所以 O 点坐标为(3.5,4,-1)又 O 为 BD 的中点,所以

?x?2 ? 2 ? 3.5 ? ? y ?5 ?4 ? ? 2 ? z ?1 ? 2 ? ?1 ?
答:D(5,13,-3)

解得:x=5,

y=13, z=-3

例7:设P在x轴上,它到P ( , 3)的距离为到点P ( , , ?1 )的2倍,求点P的坐标。 1 0,2 2 01
解:因为 P 在 X 轴上,设 P 点坐标为: (x, 0, 0)

【模拟试题】
一、选择题 1、x 轴与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相离 C. 相交且不过圆心 D. 通过圆心
2 2

2 、圆 x ? y ? 2 x ? 0 与圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是( ) A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 3、在空间直角坐标系中,已知 ABC 的顶点坐标分别是 A(-1,2,3) ,B(2,-2,3) ,
2 2 2 2
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1 5 C( 2 , 2 ,3) ,则其形状为(

) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 4、点 P(2,3,4)在坐标平面 XOZ 内的射影的坐标为 A. (2,3,0) B. (2,0,4) C. (0,3,4) D. (0,0,4)
2 2



D. 等腰直角三角形 )

5、由点 M(5,3)向圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 所引切线长是( A.



51
2 2

B.

3
2 2

C. 51

D. 1

6、圆 x ? y ? 2 x ? 0 与圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是( ) A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 7、在圆 x ? y ? 4 上,与直线 4x+3y-12=0 的距离最小的点的坐标为(
2 2



?8 6? ? ,? ? A. ? 5 5 ?

?8 6? ? , ? B. ? 5 5 ?

? 8 6? ?? , ? C. ? 5 5 ?

? 8 6? ?? ,? ? D. ? 5 5 ?

8、设 A(3,3,1) ,B(1,0,5)C(0,1,0) ,则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 CM 等 于( ) A.

53 4

53 B. 2
x ? 2 ? y2 ? 4
2

C.

53 2

D.

13 2

? 9、若动圆与圆 ? 相外切,且与直线 x=2 相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A. y2+12x-12=0 B. y2-12x+12=0 C. y2+8x=0 D. y2-8x=0 10、若点 M(-3,1,5)与 N(0,-2,3)关于点 P 对称,则点 P 的坐标为( )
A. (-3,3,2) C. (3,-3,-2)

3 1 ? ,? ,4 2 ) B. ( 2
D. (3,-5,1)

二、填空题 11、两圆 x2+y2=16 及(x-4)2+(y+3)2=R(R>0)在交点处的切线互相垂直,则 R=__________ 12、 在空间直角坐标系中, 点A (-3, 2, -4) 和B (-4, 3, 1) 之间的距离等于__________ 13、已知点 A(x,5,2-z)关于点 P(1,y,3)的对称点是 B(-2,-3,2+2z),则 x= _______,y=_______,z=______ 14、 在 x 轴上有一点 P, 它与点 P' (4, 1, 2) 之间的距离为 30 , 则点 P 的坐标为___________ 三、解答题 15、 已知一圆 C 的圆心在直线 2x-y-7=0 上且与 y 轴交于两点 A (0, -4) 、 B (0, - 2) , 求圆 C 的方程。 16、求到两定点 M1(1,-1,1)与 M2(2,1,-1)等距离的点 M(x,y,z)的轨迹方程。 17、证明以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角 形。 18、自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆

x ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切,求光线 l 所在的直线方程
2

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【试题答案】
一、选择题 1、A 6、C 二、填空题 2、C 7、B 3、A 8、C 4、B 9、A 5、A 10、B

11、3 12、3 3 13、4 1 2 14、 (9,0,0)或(-1,0 ,0) 三、解答题 15、解析:∵圆 C 与 y 轴交于 A(0,-4) ,B(0,-2) ,∴由垂径定理得圆心在 y=-3 这条直线上。又已知圆心在直线 2x-y-7=0 上,∴联立 y=-3,2x-y-7=0,解得 x=2, ∴圆心为(2,-3) ,半径 r=|AC|= 2 ? [?3 ? (?4)] = 5 ∴所求圆 C 的方程为(x-2)2+(y+3)2=5 答案: (x-2)2+(y+3)2=5
2 2
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16、解

由于 M1M ? M 2 M

所以 化简得点 M 的轨迹方程为 2x+4y-2z-3=0 17、解:由两点间距离公式得:

由于

,所以△ABC 是一等腰三角形

18 、解:由已知可得圆

x ? 2? C: ?

2

? ? y ? 2 ? ? 1 关于 x 轴对称的圆 C ‘ 的方程为
2

? x ? 2?
?

2

? ? y ? 2 ? ? 1 ,其圆心 C‘ (2,-2) ,则 l 与圆 C’相切,
2

设 l : y-3=k(x+3),

5k ? 5 1? k 2

?1

2

3 4 k ?? 4或 3, 整理得 12k + 25k+12=0, 解得 3 4 ? ? 所以所求直线方程为 y-3= 4 (x+3)或 y-3= 3 (x+3), k ??
即 3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0
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点评:关于求切线问题,利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件,是求圆的切线方 程的常用方法 若本题由“ ? ? 0 ”求切线方程也可,但过程要复杂些
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