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2013高三数学人教B版总复习课件:10-7二项式定理(理) 46张


第十章

统计与概率

第十章
第七节 二项式定理(理)

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:二项式展开式的通项和二项式系数的性质. 难点:二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区 别.

夯实基础 稳固根基 1.二项式定理
r (a+b)n=C0an+C1an-1b+?+Cnan-rbr+?Cn-1abn-1+Cn n n n n

bn(n∈N+),叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n 的二

Cr an-rbr . 项展开式,其通项公式为 Tr+1= n
(-1)r· nan rbr . Cr (a-b) 的展开式第 r+1 项 Tr+1=
n


2.二项式系数的性质
0 n 1 (1)对称性:Cn=Cn,Cn=Cn-1,C2=Cn-2,?,Cr =Cn-r. n n n n n

(2)增减性与最大值:二项式系数

Ck ,当 n

n+1 k< 2 时,二项

n+1 式系数是递增的;当 k> 时,二项式系数是递减的.当 n 2 是偶数时,中间的一项的二项式系数最大.当 n 是奇数时, 中间两项的二项式系数相等且最大.
0 1 2 n (3)Cn+Cn+Cn+?+Cr +?+Cn= 2n . n 1 3 5 0 2 4 (4)Cn+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=

2n-1 .

疑难误区 点拨警示 1. 通项公式 Tk+1=Ck an-kbk 是第 k+1 项, 而不是第 k 项, n 注意其指数规律. 2.求二项式展开式中的特殊项(如:系数最大的项、二项 式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有 理项?)时,要注意 n 与 k 的取值范围. 3.注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”, 展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”, “奇(偶) 数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”.

思想方法技巧

解题技巧 1.赋值法:在某些二项式定理的有关求“系数和”的问 题中,常用对字母取特值的方法解题. 2.求二项展开式中的指定项要牢牢抓住通项公式,代入 求解或列方程求解,要特别注意项数与指数都是整数.

考点典例讲练

求二项展开式的指定项或其系数

[例 1] A.-6

(1-x)4(1- x)3 的展开式中 x2 的系数是( B.-3 C.0 D.3

)

分析:展开式是两个二项式展开式的乘积,故要求 x2 的 系数,应从两个括号的展开式结合考虑,由于后一个二项式 含 x,故应从(1- x)3 的展开式着手讨论.

解析:∵(1- x)3 的有理项为 1 和 3x,故要出现 x2,需从
2 (1-x)4 因式中找 x2 项和 x 项, C4x2 和-C1x, 2 项为 C4x2· 即 2 ∴x 1 4

-C1· 3x=-6x2,∴选 A. 4 x·
答案:A

点评:1.求二项展开式中某些特殊项:常数项、有理项、 无理项或它们的系数等问题. 利用通项公式写出其一般式, 再 令其中 r 取某些特定值是解决该类型问题的常用方法. 2.含两个二项式时,应从两个二项式各自展开式考虑用 多项式乘法产生指定项.

15 (2012· 天津理,5)在(2x - ) 的二项展开式中,x 的系数为 x
2

(

) A.10 C.40 B.-10 D.-40

解析:本小题考查二项式展开式的系数求法,考查运算能 力. 15 1r - r 2 5-r (2x -x) 的展开式的通项为 Tr+1=C5(2x ) (-x) =Cr 25 5
2 r

(-1)rx10

-3r

,令 103r=1 得,r=3,

∴T4=C322(-1)3x=-40x.∴x 的系数是-40. 5
答案:D

点评:把二项式系数等同于项的系数是易犯的错误.

二项式系数的性质

[例 2]

? 1?n 若?x+x? ? ?

展开式的二项式系数之和为 64,则展

开式的常数项为( A.10 C.30

) B.20 D.120

解析:二项式系数之和 2n=64,∴n=6,
r 6 -r 1 r Tr+1=C6· · ? =Cr x6-2r, x ? 6

? ? ?x?

当 6-2r=0,即 r=3 时为常数项.T3+1=C3=20. 6
答案:B

点评:在二项式展开式中,各项二项式系数的和为 2n,奇 数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等, 都等 于 2n-1.

(2012· 河南商丘市模拟)二项式(1+sinx)6 的展开式中二项式 5 系数最大的一项的值为 2,则在[0,2π]内 x 的值为________.

解析:由题意得

5 3 3 3 T4=C6· x=20sin x= , sin 2

1 π 5π ∴sinx=2,∵x∈[0,2π],∴x=6或 6 .

π 5π 答案: 或 6 6

赋值法的应用

[例 3]

a8 (2011· 汕头模拟)已知(x- ) 展开式中常数项为 x )

1120, 其中实数 a 是常数, 则展开式中各项系数的和是( A.28 C.1 或 38 B.38 D.1 或 28

分析: Tr+1 项中 x 的指数为 0 可求得常数 a 的值; 令 在二 项展开式中当 x=1 时即得各项系数的和.

ar r 8-r 解析:Tr+1=C8x (- ) x =(-a)r· 8·8-2r,令 8-2r=0 得 r=4, Cr x 由条件知,a4C4=1120,∴a=± 2, 8 令 x=1 得展开式各项系数的和为 1 或 38.
答案:C

若(1-2x)

2014

=a0+a1x+?+a2014x ) B.0 D.-2

2014

a1 a2 (x∈R),则 + 2+? 2 2

a2014 +22014的值为( A.2 C.-1

解析: f(x)=(1-2x) 令

2014

=a0+a1x+?+a2014x

2014

1 , f( ) 则 2

a1 a2 a2014 a1 a2 =a0+ 2 +22+?+22014=0,f(0)=1=a0,所以 2 +22+?+ a2014 =-1.故选 C. 22014

答案:C

综合与应用

[例 4]

1 n (2011· 湖州模拟)已知(1+x+x )(x+ 3) 的展开式 x
2

中没有常数项,n∈N*且 2≤n≤8,则 n=________. ..

1 n r n-r 1 r 解析:(x+ 3) 的展开式的通项 Tr+1=Cnx · 3) =Cr xn-4r ( n x x (0≤r≤n), 由题设条件及多项式乘法运算法则知, n-4r=0,-1,-2 时,展开式中有常数项, ∵2≤n≤8,且 n∈N,∴n-4r=0 时,n=4 或 8,n-4r =-1 时,n=3 或 7,n-4r=-2 时,n=2 或 6,∴n=5.
答案:5

18 若 a= (sinx+cosx)dx,则二项式(a x+ ) 展开式中含 x x
?π ? ? ?0

项的系数是________.

解析:a=?π(sinx+cosx)dx=(-cosx+sinx)|π=2. ? 0 ?
?

0

18 ∵(2 x+x) 展开式的通项公式为 Tr+1=Cr (2 8 x)
8-r

1 r 8-r r 3r · ) =2 · 8· ( C x4- , x 2

3r 令 4- 2 =1 得,r=2,∴T3=26· 2x=1792x, C8 故所求系数为 1792.
答案:1792

[例 5]

求 1.056 的近似值,使结果精确到 0.01.

分析:1.056 的小数部分,取决于 0.05 的乘方,故可用二 项式展开式讨论.

解析:∵1.056=(1+0.05)6
2 3 3 =1+C 1 ×0.05+C 2 · 6 6 (0.05) +C 6 (0.05) +?=1+6×0.05

+15· (0.05)2+20· (0.05)3+? ∵20×(0.05)3=0.0025<0.01, ∴T4、T5 以后各项已不必取了, ∴1.056=1+0.3+0.0375+0.0025+?≈1.34.

(2012· 湖北,5)设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a=( A.0 C.11 ) B.1 D.12

解析:本题考查二项展开式的应用.
2 512012=(52-1)2012=C0 522012-C1 522011+C2012522010+? 2012 2012

+C2011×52×(-1)2011+C2012×(-1)2012, 若想被 13 整除需加 12, 2012 2012 ∴a=12.

答案:A

课堂巩固训练

一、选择题 a5 1.(x+x) (x∈R)展开式中 x3 的系数为 10,则实数 a 等于 ( ) A.-1 C.1
[答案] D

1 B.2 D.2

[解析]

r 5-r a r Tr+1=C5x ( ) =Cr ·r·5-2r 5a x

x

令 5-2r=3,得 r=1,∴C1a=10,∴a=2. 5

2.若(x+1)5=a5(x-1)5+?+a1(x-1)+a0,则 a1 的值为 ( ) A.80 C.20
[答案] A

B.40 D.10

[解析]

由于 x+1=x-1+2, 因此(x+1)5=[(x-1)+2]5,

故展开式中 x-1 的系数为 C424=80. 5

3. (2012· 东北三校二模)在( x+ 指数是整数的项共有( A.4 项 C.6 项

1 3 x

)30 的展开式中, 的幂 x

) B.5 项 D.7 项

[答案] C

[ 解析]

展开式的通项

Tr + 1 =C r ( 30

x)

30 - r

· )r =C r ( 30 3 x

1

x

90-5r ,∵ 6 是整数,0≤r≤30,且 90 能被 6 整除, ∴r 能被 6 整除,∴r=0,6,12,18,24,30 时,x 的幂指数是

整数,故选 C.

二、填空题 a n 4.(2012· 沈阳市二模)若( x-x2) 展开式中二项式系数之 和是 1024,常数项为 45,则实数 a 的值是________.
[答案] ± 1

[解析] 项

由条件知,2n=1024,∴n=10,二项展开式的通 x)
10 - r

Tr+1=Cr ( 10

a r · 2) =(-a)r· r · (- C10 x x

10-5r ,令 =0 2

得 r=2,∴常数项为 T3=(-a)2· 10=45a2=45,∴a=± C2 1.

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