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《立体几何》(含答案


立体几何
一、基础知识回顾
(一)空间几何体: 1、常见的几何体有: . 2、棱柱、棱锥、棱台的性质 (1)棱柱的性质:侧棱 ,侧面是 ;两底面与平行于底面的截面是 ;直 棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)的侧棱与高 且侧面与对角面是 . (2)棱锥的性质:侧棱 ,侧面是 ;底面与平行于底面的截面是 . (3)棱台的性质:侧棱 ,侧面是 ;两底面与平行于底面的截面是 . 3、圆柱、圆锥、圆台的形成与性质 (1)圆柱、圆锥、圆台的形成:分别以 、 、 所在的直 线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台. (2)圆柱、圆锥、圆台的性质:轴截面分别是 、 、 ;平行于底面的截面都 是 . 4、球面与球的概念和球的截面的性质 (1)球面与球的概念:半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所形成的曲面叫做 .以半圆的直径 所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做 ,简称球.半圆的圆心叫做球的球心. (2)球的截面性质:球心与截面圆心的连线垂直于截面;球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 . r 的关系为 5、空间几何体的侧面积与体积公式 (1)侧面积公式: S圆柱侧 = S圆锥侧 = S圆台侧 = (2)体积公式: V柱体 =

V锥体 = V圆锥 =

V台体 =
V圆台 =

V圆柱 =
(3)球的表面积与体积公式: V球 =

S球 =

( r 为球的半径)

(二)空间几何的三视图 1、空间几何的体三视图:光线从几何体的 正投影得到的投影图,叫做几何体的正视图;光线从几 何体的 正投影得到的投影图, 叫做几何体的侧视图; 光线从几何体的 正投影得到的投影 图,叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的 . 2、 三视图的排列规则: 俯视图放在主视图的 方, 长度与主视图的 一样; 左视图放在主视图的 方, 高度与主视图的 一样,宽度与 一样.即:主、俯视图—— ;主、左视图—— ;俯、 左视图—— (三)斜二测画法的规则 (四)四个公理 公理 1: (判断直线是否在平面内的主要依据) . 公理 2: (判断点、线共面的主要依据) . 公理 3: (判断点共线、线共点的主要依据) . 公理 4: (判断直线平行) . (五)空间直线、平面的位置关系 1、空间两直线的位置关系有: . 2、空间直线与平面的位置关系有: . 3、空间平面与平面的位置关系有: . 4、判定两条直线为异面直线的方法 (1)证明两条直线是异面直线通常采用反证法. (2)利用定理“平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 5、直线与平面平行的判定方法有: (1)定义: (2)直线与平面平行的判定定理: . (3)直线与平面平行的性质: 6、平面与平面平行的判定方法有: (1)定义:
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. .

(2)平面与平面平行的判定定理: (3)垂直于同一直线的两平面 ;符号表示: .



7、直线与平面垂直的判定方法有: (1)定义: . (2)直线与平面垂直的判定定理: ( 3 )如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条 同一平面. 符号表 示: . (4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它 于另一个平面;符号表 示: . (5)平面与平面垂直的性质定理: . 8、平面与平面垂直的判定方法有: (1)定义: . (2)平面与平面垂直的判定的判定定理: . 9、其他的平行与垂直关系 (1)平行于同一直线的两直线平行;符号表示:a∥b,b∥c,则 a∥c. (2)如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; 符号表示:a∥ ? , a ? ? , ? ? ? ? b ,则 a∥b.

(3) 两平行平面同时与一个平面相交, 那么它们的交线平行; 符号表示:? ∥ ? ,? ? ? ? a, ? ? ? ? b , 则 a∥b. (4)垂直于同一个平面的两条直线互相平行;符号表示: a ? ? , b ? ? ,则 a∥b. (5)一条直线垂直于一个平面,则垂直于这个平面内的任意一条直线;符号表示: a ? ? , b ? ? ,则 a⊥b.? (六)求锥体或柱体的高(或点到平面的距离)的方法 1、点到平面的距离:面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 2、求点面距离常用的方法: 1)直接利用定义求解:第一步,找到(或作出)表示距离的线段;第二步,抓住线段(所求距离)所在三角形 解之. 2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上,则已知点到两平面交线的距离就是所 求的点面距离. 3)等体积法,其步骤是:①在平面内选取适当三点,和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积 V 和 所取三点构成三角形的面积 S;③由 V=

1 S· h,求出 h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面 3

距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算. 4)还可以通过平行线转换,比例转换等.

二、巩固练习
1. (2011·浙江)若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ? ,则( A. ? 内的所有直线与 l 异面 C. ? 内存在唯一的直线与 l 平行 ) B. a 内不存在与 l 平行的直线 D. ? 内的直线与 l 都相交

1.B 提示:设 l ? ? ? P ,则 ? 内经过点 P 的直线与 l 相交,可排除 A;? 内不经过点 P 的直线与 l 不相 交,可排除 D;若 ? 内有直线与 l 平行,则有 l ∥ ? ,与已知条件矛盾,可排除 C. 2.[2014· 辽宁卷] 已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α B.若 m⊥α,n?α ,则 m⊥n D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α )A )B

3.[2014· 安徽卷]一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是( 23 A. 3 47 B. 6 C.6 D.7
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4. (2011·课标卷)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为(



A.

B.

C.

D.

4.D 提示:该几何体是由一个三棱锥和半个圆锥组合而成. 5.(2012 新课标)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为( ) A.6 B .9 C.12 D.18 【答案】B 6.(2012 陕西)将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该 几何体的左视图为 ( )6.【答案】B.

4 题图

7.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,线段 B 1D 1 上有两个动点 E,F,且 EF ? 错误的是( ) A. AC ? BE B. EF // 平面ABCD A ? BEF C.三棱锥 的体积为定值 D. ?AEF的面积与?BEF的面积相等 7.D 提 示 : 由 AC ? BD, AC ? BB 1 可 得 A C ? B E; 由 EF ∥ BD 可 得

1 ,则下列结论中 2

EF // 平面ABCD ;因为点 A 到平面 BEF 的距离为
则三棱锥 A ? BEF 的体积为定值

1 1 1 2 , S ?BEF ? ? 1 ? ? , 2 2 4 2
7 题图

?AEF 与 ?BEF 的面积不等.

2 ;因为点 A、B 到直线 EF 的距离不等,所以 24

8.(2012 新课标)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π 【答案】B 9. 已知球的直径 SC=4, A, B 是该球球面上的两点, AB=2, ∠ASC=∠BSC=45° , 则棱锥 S-ABC 的体积为( C A.

)

2 3 4 3 5 3 C. D. 3 3 3 ?ABC 是边长为1 的正三角形, SC 为 10.(2012· 新课标卷)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, 球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )A 2 3 2 2 ( A) (B) (C ) ( D) 6 6 3 2
B.

3 3

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第3页

11.[2014· 辽宁卷] 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )C π π A.8- B.8- C.8-π D.8-2π 4 2 12.[2014· 湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的 最大球的半径等于( )B A.1 B.2 C.3 D.4 13.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱 的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为

1 ,而外接球的直径恰好为最长的体对角线长.设球的半 2 4 3 4 2 2 2 径为 R,则 (2 R) ? 1 ? ( 3) ? 4,? R ? 1,?V球 ? ? R ? ? 3 3 3 14.一个几何体的三视图如图所示(单位: m ) ,则该几何体的体积为__________ m 14. 6 ? ? 提示:该几何体是由一个长方体(长、宽、高分别为 3、2、1)和一个圆锥(高为 3,底面
13. 提示:由已知正六棱柱的底面边长为 半径为 1)组合而成.

4 ? 3

11 题

12 题

14 题图

15.[2014· 北京卷] 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为________.2 2 16. (2011· 安徽) 一个空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 16. 48 ? 8 17 提示:该几何体为四棱柱,其表面积为 .

2 ? 4 ? 17 ? 4 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 ?

2?4 ? 4 ? 48 ? 8 17 . 2

17. (2012 辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为___38_______。 由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个等高的圆柱 ,其中长方体的 长、宽、高分别为 4、3、1,圆柱的底面直径为 2,所以该几何体的表面积为长方体的表 面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积,即为 2(3 ? 4 ? 4 ?1 ? 3 ?1) ? 2? ?1 ?1 ?2 ? ? 38

17 题 16 题图

15 题

18. (2011·课标卷)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底
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面面积是这个球面面积的 18.

3 , 则这两个圆锥中, 体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________. 16

1 提示:设圆锥的底面圆 A 的半径为 r,O 为球心,球 O 的半径为 R,OA=x,则由题意可知 3 1 ?r 2 3 3 ? , 解得 r ? R ,又由勾股定理得 x 2 ? r 2 ? R 2 ,得 x ? R ,所以体积较小者的高与体积较大者 2 2 4?R 16 2 1 R? R R?x 2 ?1. 的高的比值为 ? R?x R? 1R 3 2
19.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则棱锥 O-ABCD 的体积 为 8 3 . 20.(2012 辽宁)已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂 直,则球心到截面 ABC 的距离为_______.

21.[2014· 山东卷] 如图所示,四棱锥 P?ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC,AB= 1 BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. 2 (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 21.证明:(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.由于 E 为 AD 的中点, 1 AB=BC= AD,AD∥BC,所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 2 所以 O 为 AC 的中点.又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF?平面 BEF,AP?平面 BEF,所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD.又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC?平面 PAC,所以 BE⊥平面 PAC. 22. (2011·陕西)如图,在△ ABC 中,∠ABC=45° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ ABD 折起,使∠BDC=90° . (1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; 22 题图 (2)设 BD=1,求三棱锥 D—ABC 的表面积. 解: (1) ∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴ 当 ΔABD 折起后, AD⊥DC, AD⊥DB.又 DB ? DC=D,∴AD⊥平面 BCD. 又∵AD ? 平面 ADB .∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(Ⅰ)知,DA ? DB , DB ? DC , DC ? DA .? DB=DA=DC=1, ∴AB=BC=CA= 2 . S ?DAB ? S ?DBC ? S ?DCA ?

1 1 ?1?1 ? , 2 2
22 题答图 第5页

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1 3 S? ABC ? ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 2 2

∴三棱锥 D—ABC 的表面积是 S ? 1 ? 3 ?

2

3 3? 3 ? . 2 2
E F

23.(2010·安徽)如图①,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, AB ? 2 EF ? 2 , EF ∥ AB , EF ? FB ,∠BFC=90° , BF ? FC , H 为 BC 的中点. (1) 求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B—DEF 的体积. 证 明 : (1) 如 图 ② , 设 AC 与 BD 交 于 点 G , 则 G 为 AC 的 中 点 , 连 接

D

C

H

EG, GH .由于 H 为 BC 的中点,故 GH ?
又 EF ?

1 AB , GH ∥ AB ; 2

A

B

图①

1 AB , EF ∥ AB .所以四边形 EFHG 为平行四边形, 2 ? EG ∥ FH ,而 EG ? 平面 EDB ,∴ FH ∥平面 EDB . (2)由四边形 ABCD 是正方形,有 AB ? BC .又 EF ∥ AB , ∴ EF ? BC . 而 EF ? FB , ∴ EF ? 平面 BFC , 又 FH ? 平面 BFC , ∴ EF ? FH ,∴ AB ? FH .又 BF ? FC , H 为 BC 的中点,∴ FH ? BC ,∴ FH ? 平面 ABCD ,∴ FH ? AC . 又 EG ∥ FH , ∴ EG ? AC , 又 BD ? AC ,EG ? BD ? G , ∴ AC ? EDB 平面 . 解: (3)∵ EF ? FB ,∠BFC=90° ,∴ BF ? 平面 CDEF .
∴BF 为四面体 B—DEF 的高, 又 BC ? AB ? 2 , ∴ BF ? FC ? 则 VB ? D 2. E F

图②

24.(2011·课标全国卷)如图①,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. (Ⅰ)证明: PA ? BD ; (Ⅱ)设 PD=AD=1,求棱锥 D—PBC 的高. 解: ( Ⅰ ) 证 明 : 因 为 ?DAB ? 60? . AB ? 2 AD , 由 余 弦 定 理 得

1 1 1 ? ? ?1? 2 ? 2 ? . 3 2 3

故 BD ? AD. 又 PD ? 底面 ABCD, BD ? 3 AD . 从而 BD 2 + AD 2 = AB 2, 可得 BD ? PD.所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD. 图① (Ⅱ) 方法一: 如图②, 作 DE ? PB, 垂足为 E.已知 PD ? 底面 ABCD, 则 PD ? BC. 由(Ⅰ)知 BD ? AD,又 BC//AD,所以 BC ? BD. 故 BC ? 平面 PBD,BC ? DE.则 DE ? 平面 PBC. E 3 由题设知, PD=1, 则 BD= 3 , PB=2. 根据 DE · PB = PD · BD, 得 DE= . 2 3 即棱锥 D —PBC 的高为 . 2 图② 方法二:已知 PD ? 底面 ABCD,则 PD ? BC.由(1)知 BD ? AD,又 BC//AD,所以 BC ? BD.故 BC ? 平面 PBD.又 PB ? 平面 PBD,所以 BC ? PB. 1 由题设知,BC=PD=1,则 BD= 3 ,PB=2.∴ S ?PBC ? ? 2 ? 1 ? 1 , 2 E 1 1 设点 D 到平面 PBC 的距离为 h, 则 VD ? PBC ? ? h ? S ?PBC ? h 3 3 1 又 PD ? 底面 ABCD,PD=1,∴ VP ? BCD ? ? PD ? S ?BCD . 图② 3

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第6页

又 S?BCD ? S?ADB ? 则由 VD ? PBC

1 25.(2012 新课标)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 2 的中点 C1 B1 (1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. A1

1 1 3 3 ,∴ VP ? BCD ? . ? AD ? AB ? sin ?DAC ? ? 1 ? 2 ? sin 60? ? 2 2 2 6 1 3 3 3 ,所以 h ? .即棱锥 D —PBC 的高为 . ? VP ? BCD 可得 ? h ? 3 6 2 2

D C A B

26.(2102 北京)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如 图 2。 (I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 【答案】

27. [2014· 江苏卷] 如图所示,在三棱锥 P ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知 PA⊥AC, PA=6,BC=8,DF=5. 求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. 27.证明: (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DE∥PA.又因为 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以直线 PA∥平面 DEF.
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(2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DE∥PA, 1 1 DE= PA=3, EF= BC=4.又因为 DF=5, 所以 DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90°, 2 2 即 DE⊥EF.又 PA⊥AC,DE∥PA,所以 DE⊥AC.因为 AC∩EF=E,AC?平面 ABC, EF?平面 ABC,所以 DE⊥平面 ABC. 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. 28.[2014· 辽宁卷] 如图所示,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD =2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点. (1)求证:EF⊥平面 BCG; (2)求三棱锥 D BCG 的体积. 1 附:锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 3 28.解:(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC,因此 AC=DC. 又 G 为 AD 的中点,所以 CG⊥AD, 同理 BG⊥AD.又 BG∩CG=G,所以 AD⊥平面 BGC. 又 EF∥AD,所以 EF⊥平面 BCG. (2)在平面 ABC 内,作 AO⊥CB,交 CB 延长线于点 O. 由平面 ABC⊥平面 BCD,知 AO⊥平面 BDC. 又 G 为 AD 的中点,所以 G 到平面 BDC 的距离 h 是 AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO=AB· sin 60°= 3,所以 1 1 1 3 1 V 三棱锥 D = . BCG=V 三棱锥 G BCD= ·S△DBC·h= × ·BD·BC·sin 120°· 3 3 2 2 2 29.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; 3 (2)设 AP=1,AD= 3,三棱锥 P -ABD 的体积 V= ,求 A 到平 4 面 PBC 的距离. 29.解:(1)证明:设 BD 与 AC 的交点为 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO?平面 AEC,PB?平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC. 1 1 3 (2)V= × ×PA×AB×AD= AB, 3 2 6 3 3 由 V= ,可得 AB= .作 AH⊥PB 交 PB 于点 H. 4 2 由题设知 BC⊥平面 PAB,所以 BC⊥AH, 因为 PB∩BC=B,所以 AH⊥平面 PBC. PA·AB 3 13 3 13 又 AH= = ,所以点 A 到平面 PBC 的距离为 . PB 13 13 30.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O,且 AO⊥平面 BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱 ABC A1B1C1 的高. 30.解:(1)证明:连接 BC1,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C⊥BC1.又 AO⊥平面 BB1C1C,所以 B1C⊥AO, 由于 BC1∩AO=O,故 B1C⊥平面 ABO.由于 AB?平面 ABO,故 B1C⊥AB. (2)作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD.作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,且 AO∩OD=O,故 BC⊥平面 AOD,所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD,且 AD∩BC=D,所以 OH⊥平面 ABC. 3 因为∠CBB1=60°,所以△CBB1 为等边三角形,又 BC=1,可得 OD= . 4
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1 1 7 21 因为 AC⊥AB1,所以 OA= B1C= .由 OH· AD=OD· OA,且 AD= OD2+OA2= ,得 OH= . 2 2 4 14 21 21 又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 .故三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 . 7 7

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