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宜宾市2015年调研考试数学答案(文科)


2015 年高中协同提升责任区调研考试
高 2013 级

数学文科答案
一、 选择题:BCDD,ABCD, ABCA 二、填空题: 13. 4 ; 14. 2 ; 15.

x2 y 2 1 ? ? 1 ; 16.[ ,1) 25 75 4 f ( x) 2 ? x ? ? 2a ? 2 2 ? 2a ……………………………3 分 x x
……………………………5 分 ……………………………7 分

三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 74 分,写出必要的解答过程和步骤。 ) 17. 解: (Ⅰ)当 x ? 0 时, y ?

当x ? 2时取等号,?
2

f ( x) 最小值为2 2 ? 2a x
2

(Ⅱ) f ( x) ? ( x ? a ) ? 2 ? a , 对称轴为x ? ? a

? f ( x) 在区间[?5,5] 上是单调函数, ?? a ? ?5, 或 ? a ? 5, ? a ? ?5, 或a ? 5??????????????????????????10分
18.解: (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 0,? c ? 0

???????? ???????? 1 分

? f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b 1 从而f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? 0, f (1) ? 1 ? a ? b ? ? ????????????? 3分 2 3 ? a ? ? , b ? 0, 这时f ?( x) ? 3 x 2 ? 3 x ? 3 x( x ? 1)在x ? 1附近左右异号???? 5分 2 3 ? f ( x) ? x3 ? x 2 ???????????????????? 6分 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ?( x) ? 3 x( x ? 1)

3 ? m ? , x ? [? m, m] 2 由f ?( x) ? 0得 ? m ? x ? 0, 或1 ? x ? m, 即f ( x)在[? m, 0), (1, m]上单调增, 由f ?( x) ? 0得0 ? x ? 1, 即f ( x)在(0,1)上单调减. ???????????? 9分 3 3 ? f ( x)极大值 ? f (0) ? 0, f (m) ? m3 ? m 2 ? m 2 (m ? ) ? 0 ????????11分 2 2 3 ? f ( x) max ? f (m) ? m3 ? m 2 ???????????????????12分 2

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19.解: (Ⅰ)当直线 l 的斜率是

1 1 2 时, l 的方程为 y ? ( x ? 4), 即x ? 2 y ? 4, 代入x ? 2 py得 2 2

2 y 2 ? ( p ? 8) y ? 8 ? 0 (*) …………………………………………………………………………………2 分 ? y1 ? y2 ? p ?8 , y1 y2 ? 4 2
………………………………………………………………………………3 分

又? y2 ? 4 y1 ,? y1 ? 1, y2 ? 4, p ? 2 ,这时(*)中 ? ? 0 …………………………………………………5 分

? 抛物线 G 的方程为 x 2 ? 4 y ………………………………………………………………………………6 分
(Ⅱ)由已知得直线 l 的斜率存在,且不为 0 ,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,代入 x ? 4 y 得
2

x 2 ? 4kx ? 16k ? 0
2

………………………………………………………………………………7 分

由 ? ? 16k ? 64k ? 0, 得k ? ?4, 或k ? 0

? x1 ? x2 ? 4k ,

………………………………………………………………8 分
2

设 BC 的中点为 P ( x0 , y0 ) ,? x0 ? 2k , y0 ? k ( x0 ? 4) ? 2k ? 4k

………………………9 分

1 ? BC的中垂线方程为y ? (2k 2 ? 4k ) ? ? ( x ? 2k ) ???????????????10分 k 2 ? b ? 2(k ? 1) , ? b ? 2.
20. 解: (Ⅰ)设 f ( x) ?
1

????????????????????????12分
x ? b ,1? x ?18,且x?N {k k x ? b ,19? x ?30,且x?N
1 2 2

??? ??? ??? ??? 1 分 ??? ??? ??? ??? 3 分 ??? ??? ??? ??? 5 分 ??? ??? ??? ??? 6 分

由 {

f (2) ? 2k1 ? b1 ?32 k ?1 得{ 1 f (15) ?15k1 ? b1 ? 45, b1 ?30, 由 { f (21) ? 21k2 ? b2 ? 48 k ??2 得{ 2 f (26) ? 26k2 ? b2 ?38, b2 ?90,

? f ( x) ? {x ? 30,1? x ?18,且x?N ?2 x ? 90,19? x ?30,且x?N
(Ⅱ)设日销售额为 y 元,则

( x ? 30)(?2 x ?80),1? x ?18,且x?N y ? f ( x) ? g ( x) ? { (?2 x ? 90)(?2 x ?80),19? x ?30,且x?N 当1 ? x ? 18, 且x ? N 时,y ? ?2( x ? 5) 2 ? 2450.

??? ??? ??? 7 分

? x ? 5时,ymax ? 2450 ??????????????????????????? 9分 当19 ? x ? 30, 且x ? N 时,y ? 4 x 2 ? 340 x ? 7200, 对称轴为x ? ? x ? 19时,ymax 85 . 2 ? 2184 ???????????????????????????11分

综上,x ? 5时,ymax ? 2450 ??????????????????????????12分

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21. (Ⅰ)解: f ?( x) ? ae ?
x

1 x

??? ??? ??? ??? 1 分

由已知得f ?(2) ? ae 2 ?

1 1 1 ? ?a ? 2 2 2 e

??? ??? ??? ??? 3 分

1 ? ae 2 ? ln 2 ? b ? ? 2 ? ln 2 ? b ? 0 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ?

??? ??? ??? ??? 5 分

ex ex ? ln x , 记 g ( x ) ? f ( x ) ? ln x ? ? 2 ln x, 则 e2 e2

ex 2 ? ( x ? 0),? g ?( x)在(0,+?)上单调增,且g ?(2) ? 0 ???????????? 7分 e2 x ?当x ? (0, 2)时, g ?( x) ? 0, g ( x)单调减,当x ? (2, ??)时, g ?( x) ? 0, g ( x)单调增. ?????? 9分 g ?( x) ? ?当x ? 2时, g ( x) min =1-2ln2 ?当x ? 0时, f ( x) ? ln x ? 1-2ln2.
22.解: (Ⅰ)设椭圆方程为

??????????????????????11分 ??????????????????????12分

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

c 3 e? ? 由已知得 b ? 2 , { 2 a 2 2 得a ? 2 2 a ? c ? 2, ? 椭圆方程为 y 2 x2 ? ?1 8 2

??? ??? ??? ??? 2 分 ??? ??? ??? ??? 4 分 y 2 x2 ? ? 1得 8 2 ??? ??? ??? ??? 5 分 ??? ??? ??? ??? 6 分

(Ⅱ)由题意得 l 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 2) 代入

(k 2 ? 4) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 8 ? 0
由 ? ? 16k ? 4( k ? 4)(4k ? 8) ? 0, 得 ? 2 ? k ? 2
4 2 2

设 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), N ( x, y )

? x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 8 , x x ? ??? ??? ??? ??? 7 分 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4 ???? ? ???? ???? ???? ? ? PM ? NQ ? PN ? MQ ? 0, ? (2 ? x1 , ? y1 ) ? ( x2 ? x, y2 ? y ) ? ( x ? x1 , y ? y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? 0 ??? ??? ??? ??? 9 分

? ( x ? 2)( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4 x ? ( y1 ? y2 ) y ? 2 y1 y2 ? 0

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? y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ?

?16k , k2 ? 4 , 8k 2 2 y1 y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4] ? 2 ????????10分 k ?4

4k 2 4k 2 ? 8 ?16k 8k 2 ? 2 ? 4 x ? y ? 2 ?0 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 ? x ? 1, 直线l方程为y ? ? k , k ? (?2, 2) ????????????????11分 ? ( x ? 2) ? 动点N的方程为x ? 1, y ? (?2, 2) ????????????????12分

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