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数学:第二章《圆锥曲线与方程》试题(3)(新人教A版选修2-1).


第二章 圆锥曲线与方程 单元测试 A 组题(共 100 分)
一.选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.方程 x ?

3 y 2 ? 1 所表示的曲线是
(B)椭圆 (D)椭圆的一部分

( )

(A)双曲线 (C)双曲线的一部分 2.椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是 ? 2 ? 1 与双曲线 a 2 4 a 1 1 (A)2 (B)1 或–2 (C)1 或2 (D)1
3.双曲线 (A)2

( )

x2 y 2 ? ? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 a 2 b2
(B) 3 (C) 2 (D)

( )

3 2 4. 若抛物线的准线方程为 x=–7, 则抛物线的标准方程为

( )
2

(A)x =–28y (B)y =28x (C)y =–28x (D)x =28y 2 5. 抛物线 y = 4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10, 则 P 点的坐标是 (A) 6) (9, (B) 9) (6, (C) (±6, 9) (D) (9,±6) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。

2

2

2





x2 y2 6.双曲线25– 9 = 1的两个焦点分别为 F1、F2, 双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12, 则 P 到 F2 的距离为 7.双曲线 .

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离等于 5 4

. .

8.经过点 P(4,–2)的抛物线的标准方程为
2

9.已知点 P(6, y)在抛物线 y =2px (p>0)上,F 为抛物线焦点, 若|PF|=8, 则点 F 到抛物线准 线的距离等于 三.解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) ,过焦点 F1 的弦 AB(A、B 在双曲线的同支上)长为 m,另一 a2 b2

焦点为 F2,求 △ABF2 的周长.

11.焦点在 y 轴上的抛物线上一点 P(m,–3)到焦点的距离为 5, 求抛物线的标准方程.

12.已知抛物线 y2=6x, 过点 P(4, 1)引一弦,使它恰在点 P 被平分,求这条弦所在的直线 l 的方 程.

-1-

B 组题(共 100 分)
四.选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 x 2 y2 13.如果双曲线 ? ? 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么 P 到它的左准线距离是 64 36 ( ) 96 86 85 83 (A) 5 (B) 5 (C) 6 (D) 6 x2 y2 x2 y2 14.设 0<k<a2, 那么双曲线 2 – b2 + k = 1与双曲线 a2 – b2 = 1有 ( ) a –k (A)相同的虚轴 (B)相同的实轴 (C)相同的渐近线 (D)相同的焦点 ( ) 1 15.抛物线 y= a x2 (a≠0)焦点坐标是 a a (A)(0, 4 )或(0, –4 ) a (B)(0, 4 )

1 1 1 (C) , 4a )或(0,–4a ) (D)(0, 4a ) (0

16.若抛物线 y2= 2px (p>0)上一点 P 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6, 则 p 的值等于 ( (A)2 或 18 (B)4 或 18 (C)2 或 16 (D)4 或 16 2 17.过抛物线 y = 2px(p>0)的焦点 F 作一条直线 l 交抛物线 l 于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆和该抛物线的准线 l 的位置关 系是 ( ) (A)相交 (B)相离 (C)相切 (D)不能确定 F 五.填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 o 2 2 C y x ? ? ?1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 18.若方程 B | k | ?2 1 ? k 它的半焦距 c 的取值范围是 . )

A
M x

x2 y2 ? ? 1 有相同焦点,且经过点 ( 15, 4) ,则该双曲线的方程 19.若双曲线与椭圆 27 36
为 .

20. 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A (2, ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 1) 的焦点,则该抛物线的准线方程是 . .

21.点 M 到点 F(0, –2)的距离比它到直线 l:y–3=0 的距离小 1, 则点 M 的轨迹方程是 六.解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22 . 已 知 焦 点 在 坐 标 轴 上 的 双 曲 线 , 它 的 两 条 渐 近 线 方 程 为 y ? 3x ? 0 ,焦点到渐近线的距离为 3,求此双曲线的方程.

-2-

23.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)满足如下条件:(1) ab= 3 ;(2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为 a 2 b2

21 ,交 y 轴于点 P,线段 PF 交双曲线于点 Q,且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程. 2

-3-

24. 过抛物线 y= x2 的顶点作互相垂直的两条弦 OA、 OB, 抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 为 P, 求动点 P 的轨迹方程. y B P A O x

C 组题(共 50 分)
七.选择或填空题:本大题共 2 题。 25.双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 右支上一点P(a, b)到直线 l:y = x 的距离 d ? 1 –2 (B)

2 则 a+b=

( ) (A)

1 2

(C)

1 1 或? 2 2

(D)2或–2

26.已知抛物线 y2=–x 与直线 y=k(x + 1)相交于 A、B 两点,则△AOB 的形状是 . 八.解答题:本大题共 2 小题,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 27. 直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A,B 两点,直线 l 过点(-2,0)和 AB 的中点,求 直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围.

28 . 如 图 所 示 , 点 F (a,0)(a ? 0), 点 P 在 y 轴 上 运 动 , M 在 x 轴 上 , N 为 动 点 , 且
→ PM ? PF ? 0, PN ? PM ? 0

(1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F (a,0) 的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 交于 A, 两点, B 设点 K (?a,0) ,KA与KB 的夹角为 ? , 证: 0 ? ? ? C 求

?
2

.

-4-

参考答案
A组 一、1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5、D. 二、6、答:2 或 22. ||PF2|-12|=2a=10,∴|PF2|=12±10. 7、答:2. 焦点 F(3, 0)到渐近线 2x- 5y=0 的距离为 6 = 2. 9

8、答:y2=x 或 x2=–8y. 当抛物线焦点在 x 轴上时,设抛物线方程为 y2=ax,P 点代入解得 a= 1;当抛物线焦点在 y 轴上时,设抛物线方程为 x2=ay,P 点代入解得 a=-8. ∴抛物线方程为 y2=x 或 x2=–8y. p 9、答:4. 由|PF|=6+2=8,得 p=4,即焦准距等于 4. 三、10. 解 ∵|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|AF1|=2a, ∴(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)=4a, 又|AF1|+|BF1|=|AB|=m, ∴|AF2|+|BF2|=4a+(|AF1|+|BF1|)=4a+m. ∴△ABF2 的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m. 11、 解:依题意,设抛物线方程为为 x2=-2py (p>0) 点 P 在抛物线上,到准线的距离为 5,又点 P 到 x 轴的距离为 3,所以准线到 x 轴的距离 p 为 2,∴2=2,∴p=4,∴抛物线方程为 x2=–8y. 12、解:设 l 交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由 y12=6x1、y22=6x2, 得 (y1-y2)(y1+y2)=6(x1-x2), 又 P(4, 1)是 A、B 的中点,∴y1+y2=2, ∴直线 l 的斜率 k= y1-y2 =3,∴直线 l 的方程为 3x–y–11= 0. x1-x2

B组 四、13、选 A. 设 P 到右焦点的距离为|PF1|=8,则 P 到左焦点的距离|PF2|=2a+|PF1|=24. 5 |PF2| 96 e=4,∴P 到左准线的距离 d= e = 5 . 14、选 D. a a 15、B. 将抛物线方程化为 x2= ay,当 a>0 时,p=2,焦点为(0, 4 ), a p a 当 a<0 时,p=-2,焦点为(0, -2),也是(0, 4 ). 16、A. 1 17、C. 设 AB 中点为 M,AD⊥l 于 D,BC⊥l 于 C,MN⊥l 于 N. ∵|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=2 1 (|AD|+|BC|)=2|AB|,∴以 AB 为直径的圆于抛物线的准线 l 相切. 五、18、(1, +∞), ∵双曲线的焦点在 y 轴上,∴ ?

? 1? k ? 0 , ∴k>2. ?k ?2?0

-5-

∴c2=k-1+k-2=2k-3>1,∴c>1. 19.? 双曲线的方程为

y 2 x2 ? ? 1. 4 5

5 1 20. 答: x ? ? . ∵ OA 的垂直平分线的方程是 y ? ? ?2( x ? 1) ,令 y=0 得到抛物线的焦点为 4 2 5 5 ( , 0) ,∴抛物线的准线方程为 x ? ? . 4 4

21、答 x2=–8y. 设 M(x,y), 依题意, ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 3 ? 1 且 y<3.
2 2

化简得 x2=–8y. 六、22. 解 设双曲线方程为 y2-3x2=k (k ? 0), 当 k>0 时,a2=k,b2=

k 2 4 ,c = k 此时焦点为(0, ? 4 k ), 3 3 3

4 k 由题意得 3= 3 ,解得 k=27,双曲线方程为 y2-3x2=27; 2

当 k<0 时,a2= - 由题意得 3=

k 2 4 ,b =-k,c2= - k ,此时焦点为( ? ? 4 k ,0), 3 3 3

? 4k ,解得 k=-9,双曲线方程为 y2-3x2=-9, 2

即 3x2-y2=9. ∴所求双曲线方程为 y2-3x2=27 或 3x2-y2=9. 23. 解:设直线 l: y=

21 21 (x-c),令 x=0,得 P(0, ? c ), 2 2

2c 2 ? ?x ? 1 ? 2 ? 3 c ? | PQ | ? 2 ,Q(x,y),则有 ? 设λ = , 21 | QF | ? c ? 21 2 ?y ? ?? c 1? 2 6 ?

又 Q(

2 2 21 21 2 2 2 c) = a b , c, ? c )在双曲线上, ∴b2( c)2-a2(- 3 3 6 6
2 2

?a 2 ? 1 4 b2 7 a2 b2 ? ∵a +b =c ,∴ (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 1) ? 1 , 解得 2 =3,又由 ab= 3 ,可得 ? 2 , 9 a 12 b a ?b ? 3 ?
2

y2 ? 1. ∴所求双曲线方程为 x ? 3
2

24











设 y B

P( x, y), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), lAB : y ? kx ? b,(b ? 0)

-6-

P A O x

由?

? y ? kx ? b,
2 ?y ? x ,

消去 y 得: x ? kx ? b ? 0 , x1 x2 ? ?b .
2

∵OA ⊥OB,∴ OA ? OB ? 0, ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 所以 x1 x2 ? ( x1 x2 )2 ? ?b ? (?b)2 ? 0 ,b≠0, ∴ b=1,∴ 直线 AB 过定点 M(0, 1), 又 OP⊥AB,∴点 P 的轨迹是以 OM 为直径的圆(不含原点 O) ,

??? ??? ? ?

1 ( y ? 0) . 4 1 解法二:设 P(x,y),lOB: y ? kx ,lOA: y ? ? x ,分别代入 y= x2, k 1 1 2 得 B (k , k ), A(? , 2 ) . k k 2 2 2 ??? ??? ? ? ?OP?BP ? 0 ? x ? y ? kx ? k y ? 0 ? ? 由 ? ??? ??? 得? 2 ,消去 k 得点 P 的轨迹方程为 ? ? x y 2 ?OP?AP ? 0 ? x ? y ? ? 2 ? 0 ? k k ?
∴点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ? ) ?
2 2

1 2

x2 ? y 2 ? y ? 0( y ? 0) .
C组 七、25、选 B. ∵点 P 在直线 l:y = x 的下方,所以 b<a, 所以 d ?

a ?b ? 2 得 a ? b ? 2 ,又 2

1 a 2 ? b2 ? 1,∴ a ? b ? . 2
26、答:直角三角形. 由 ? 设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 2k2+1 ∵x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1 + 1)(x2 + 1)=1+k2(1- k2 +1)=0, ∴ OA · OB =0,∴OA⊥OB,所以△AOB 是直角三角形. 八、27. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线 y=kx+1 与 x2-y2=1 联立得 (1-k2)x2-2kx-2=0…………①, 又 1-k2 ? 0,方程①有两个不大于-1 的不等实根,

? y2 ? ?x ? y ? k ( x ? 1)

得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 1) x ? k 2 ? 0 ,

→ →

? ?4k 2 ? 4(1 ? k 2 )(?2) ? 0 ?? ? 0 ? ? ? 2k ∴ ?( x1 ? x2 ) ? ?2 , 即? , ? ?2 1? k 2 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? ? 1 2 2k ? ?2 ?1 ? k 2 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 0 ?
-7-

解得 1<k< 2 ;AB 的中点为( 直线 l 的方程为 y=

k 1 , ), 2 1? k 1? k 2

1 2 1 ? ( x ? 2) , 截距 b= , ? 2 ?2k ? k ? 2 ?2k ? k ? 2 ?(k ? 1 )2 ? 17 4 16
2

∴ b? (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) 28、解: (1)设 N ( x, y), M ( x0 ,0), P(0, y0 ), 则 PM ? ( x0 ,? y0 ), PF ? (a,? y0 ), PN ? ( x, y ? y0 ).
2 由 PN ? PF ? 0, 得ax0 ? y0 ? 0



? x ? ? x, ? x ? x0 ? 0, ? 0 PN ? PM ? 0, 得( x ? x0 , y ? 2 y0 ) ? 0,即 ? 即? y 并代入①, ? y ? 2 y 0 ? 0, ? y 0 ? , 2 ?
得 y 2 ? 4ax 为所求. (2)设 l 的方程为 y ? k ( x ? a). ? 由

? y 2 ? 4ax, 4a 消去x, 得y 2 ? y ? 4a 2 ? 0. k ? y ? k ( x ? a),

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 y1 y2 ? ?4a 2 , KA ? ( x1 ? a, y1 ), KB ? ( x2 ? a, y2 ),
2 2 y12 y 2 y12 y 2 KA ? KB ? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a ? y1 y 2 ? ? a ? ( ? ) ? a 2 ? 4a 2 ? 2 4a 4a (4a) 2

1 2 1 1 2 ( y1 ? y 2 ) ? 2a 2 ? (2 | y1 y 2 |) ? 2a ? ? 4a 2 ? 2a 2 ? 0. 4 4 2

? cos ? ?

KA ? KB | KA ? KB |

? 0,? 0 ? ? ?

?
2

.

说明:1、第 15 题为 2007 年广东高考理科数学试题. 3、第 23 题为自编题,揭示了过抛物线顶点的两条互相垂直的弦端点连线过定点的规 律. 2、第 28 题改编题,综合了解析几何与平面向量基础知识和基本思想方法.向这也是这 类问题命题的一个趋势.

-8-


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