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选修2-1第二章椭圆测试题


选修 2-1 第二章椭圆测试卷
考试时间:120 分钟 一、选择题 1.设椭圆
1

x m

2 2

?

y n

2 2

? 1( m ? 0, n ? 0 ) 的右焦点与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,离心率
2

为 ,则此椭圆的方程为(
2


2

A.

x

2

?

y

2

?1

B.

x

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

12

16

16

12

48

64

64

48

2.直线 l : ax ? y ? 3 a ? 1 ? 0( a ? R ) ,椭圆 C : 的个数为( A. 1 个 3.椭圆 A. ? 16 4.过椭圆
x a
2 2

x

2

?

y

2

? 1 ,直线 l 与椭圆 C 的公共点

25

36

) B . 1 个或者 2 个
y
2

C. 2 个 ) D. 4

D. 0 个

x

2

?

? 1 的一个焦点坐标为 (3, 0 ) ,那么 m 的值为(

25

m

B. ? 4
? y b
2 2

C. 16

? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦
?

点,若 ? F1 P F2 ? 60 ,则椭圆的离心率为
2 2
3 3

( )
1 2
1 3

A.

B.

C.

D.

5.已知双曲线 C :

x

2

?

y

2

9

16

? 1 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,P 为 C 的右支上一点,且

?P F2? =?F1 F 2? ,△ P F1 F 2 的面积等于(

) D、96 ( )

A、24 6.与椭圆
x
2

B、36
? y
2

C、48

? 1 共焦点且过点 Q ( 2,1) 的双曲线方程是

4 x
2

A.

? y

2

?1

B.

x

2

? y

2

?1

2

4

C.

x

2

?

y

2

?1

D. x ?
2

y

2

?1

3

3

2

7. 若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于 ( A.
1 2

)

B.

2 2

C. 2

D. 2

试卷第 1 页,总 3 页

8.椭圆
?

x

2

?

y

2

25

16

? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F 2 ,弦 AB 过 F1 ,若△ A B F 2 的内切圆周长为

,A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) ,则 y 2 ? y1 的值为(
5 3



A.

B.

10 3

C.

20 3

D.

5 3

x

2

9.已知圆 O:

x ? y ?1
2 2

? y ?1
2

,点 P 是椭圆 C: 4

上一点,过点 P 作圆 O 的两条

切线 PA、PB,A、B 为切点,直线 AB 分别交 x 轴、 y 轴于点 M、N,则 ? OMN 的面积的 最小值是
1 1

2

A. 2 10. 已知椭圆 C :
x a

B.1
2 2

C. 4
2 2

D. 2
3 2

?

y b

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

, 过右焦点 F 且斜率为 k ( k ? 0 )

的直线与 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3 FB ,则 k = A、1 B、 2
?

C、 3

D、2

11. ? ABC 是等腰三角形, ? B = 120 ,则以 A , B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为
1? 2 2

1?

3 2

A.

B.

C. 1 ?
x a
2 2

2

D. 1 ?

3

12.已知 F1,F2 是椭圆
?
2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且

? F1 P F 2 ?

记线段 PF1 与 y 轴的交点为 Q,O 为坐标原点,若△F1OQ 与四边形 OF2PQ 的 ( )

面积之比为 1: 2,则该椭圆的离心率等于 A. 2 ?
3

B. 2 3 ? 3 C. 4 ? 2 3 D. 3 ? 1

二、填空题 13. 若椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 过抛物线 y ? 8 x 的焦点,且与双曲线 x ? y ? 1 有相同的焦
2 2 2

点,则该椭圆的方程为:

.

14.点 M ( ? 3, 0) ,点 N (3, 0 ) ,动点 P 满足 P M ? 1 0 ? P N ,则点 P 的轨迹方程是
x a
2 2

15.已知椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,圆 O : x ? y ? b ,过椭圆上任一与顶点不
2 2 2

重合的点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A , B ,直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点

试卷第 2 页,总 3 页

M , N ,则

a

2 2

?

b

2 2

?

ON

OM
x
2

16.已知 P 为椭圆

?

y

2

25

9

? 1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,∠F1PF2=90 ,则△F1PF2 的

0

面积为___________; 三、解答题 17.已知椭圆 C :
x a
2

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

,并且直线 y ? x ? b 是抛物

线 y ? 4 x 的一条切线。 (1)求椭圆的方程 (2)过点 S ( 0 , ? ) 的动直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,试问:在直角坐标平面上是否
3 1

存在一个定点 T ,使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ?若存在求出 T 的坐标;若不存在, 说明理由。 18. (12 分) 如图, 是过椭圆左焦点 F 的一弦, 是椭圆的右焦点, AB C 已知|AB|=|AC|=4, ∠BAC=90°,求椭圆方程.

19.椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的长轴长是短轴长的两倍,且过点 A (2,1)

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l : x ? 1 ? y ? 0 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ,求 M N 的值. 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为

2 2

,其中左焦点 F(-2,0).

(1) 求椭圆 C 的方程; 2 2 (2) 若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 在圆 x +y =1 上, 求 m 的值. 21.已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4,离心率为
2 3



(I)求椭圆方程; (II)设椭圆在 y 轴的正半轴上的焦点为 M,又点 A 和点 B 在椭圆上,且 M 分有向线段
AB 所成的比为 2,求线段 AB 所在直线的方程.

试卷第 3 页,总 3 页

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参考答案 1.B 【解析】因为抛物线的焦点为(2,0) ,椭圆焦点在 x 轴上,排除 A、C,由 e=0.5,排除 D, 故选 B 2.C 【解析】要分析直线与椭圆的公共点的个数,只要联立方程组,结合判别似的情况来得到结 论,因为 l : ax ? y ? 3 a ? 1 ? 0( a ? R ) 与 C : 个不同的交点,故选 C. 3.C 【解析】因为椭圆
x
2

x

2

?

y

2

? 1 联立后判别式大于零,则必然有两

25

36

?

y

2

? 1 的一个焦点坐标为 (3, 0 ) ,那么可知焦点在 x 轴上,那么

25

m

A=5,c=3,b=4,因此 m=16,故选 C 4.B 【解析】由题意知点 P 的坐标为(-c,
b
2

),或(-c,-

b

2

a

a

) ,因为 ? F1 P F2 ? 60 ,那么

?

2c b
2

?

3 ? 2 ac ?

3b ,这样根据 a,b,c 的关系式化简得到结论为

2

3 3

,选 B

a

5. C 【 解 析 】 因 为 c=5,所 以 | P F2 |? 1 0 | P F1 | ? | P F2 |? 2 a ? 6,?| P F1 |? 6 ? 10 ? 16, , 所 以 △ P F1 F 2 的三边长分别为 10,10,16,所以长度为 16 上的高为 6, S ? ? 6. A 【 解 析 】 椭 圆 方 程 得 F1 ( ? 3 , 0 ), F 2 ( 3 , 0 ) ,所 以 c ? 由 双曲线方程为
x a
2 2

1 2

? 16 ? 6 ? 48 .

3 ,所以 a ? b ? 3 …(1),设所求
2 2

?

y b

2 2

? 1 并且过点 Q(2,1),所以

4 a
2

?

1 b
2

(2)组成 ? 1 …(2),解由(1)

的方程组得 a 2 ? 2, b 2 ? 1 ,所以所求双曲线方程为

x

2

? y

2

?1.

2

7.B 【解析】 因为椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直, 那么利用勾股定理, 以及 a,b,c 的关系式可知离心率为 8.D
2 2

,选 B

答案第 1 页,总 5 页

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2 2

【解析】解:椭圆:

x

?

y

? 1 ,a=5,b=4,∴c=3,

25

16

左、右焦点 F1(-3,0) 2( 3,0) 、F , △ABF2 的内切圆面积为π ,则内切圆的半径为 r=
1 2


1 2

而△ABF2 的面积=△A F1F2 的面积+△BF1F2 的面积=

×|y1|×|F1F2|+

1 2

×|y2|×|F1F2|=

1 2

×(|y1|+|y2|)×|F1F2|=3|y2-y1|(A、B 在 x 轴的上下两侧) 又△ABF2 的面积═ 所以 3|y2-y1|=5, |y2-y1|= .
3 5

1 2

×|r(|AB|+|BF2|+|F2A|=

1 2

×

1 2

(2a+2a)=a=5.

故选 A. 9. A 【 解 析 】 令 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 0 , y 0 ) ,由切线公式可得直线 PA: x1 x ? y1 y ? 1 ,直线 PB: x 2 x ? y 2 y ? 1 ,所以 P 满足 x1 x 0 ? y1 y 0 ? 1 和 x 2 x 0 ? y 2 y 0 ? 1 ,所以可得直线 AB 的方程为
x 0 x ? y 0 y ? 1 ①.由①式得 M (
1 x0 1 y0 ) ,所以 ? OMN 面积 S ? 1 2 ? 1 x0 ? 1 y0 ? 1 2 x0 y0

, 0 ), N (0,

② 另 x 0 ? 2 sin ? , y 0 ? co s ? 带入②得则 S ?
1 2

1 2 sin 2 ?

,所以当 sin2β=1 时面积最小,

此时 Smin=

.

10.B 【解析】解:A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵ AF =3 FB ,∴y1=-3y2, ∵e=
3 2

,设 a=2t,c=

3 t,b=t,

∴x +4y -4t2=0,直线 AB 方程为 x=sy+ ∴(s +4)y2+2 3 sty-t2=0,
2 3st S ?4
2
2

2

2

3 t.代入消去 x,

∴y1+y2=2

,y1y2=-

t
2

2

S ?4

,-2y2=-

2 3st S ?4
2

,-3y

2 2

=-

t
2

2

S ?4



解得 s =

1 2

,k=

2 故选 B

11.B 由题意知设焦距为 2c,则|AB|=2c,|BC|=2c,则|AC|=2|AB|cos30°= 2 3c ,
答案第 2 页,总 5 页

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所以由双曲线的定义知 2 a ? | A C | ? | B C |? 2( 3 ? 1) c ,? e ? 【解析】故选 B. 12.D

c a

?

1 3 ?1

?

3 ?1 2

,故选 B.

?x2 ? y2 ? c2 2 2 4 2c a ? a ? 2 2 2 2 2 2 【解析】由题意知点 P 在圆 x ? y ? c 上,由 ? x 消 y 得 xP ? , y 2 c ? 2 ? 2 ?1 b ?a

又 因 为 △ F1OQ
| F1 O || O Q | | F1 F 2 || y p | ? 1 3 ,?

与 四 边 形
? 2

OF2PQ

的 面 积 之 比 为

1:

2 , 可 得 ,

| OQ | | yP |

2 ???? ??? ? c 2 ,? F1 Q ? 2 Q P ,? x p ? 3 4

2c a ? a
2 2

4

c
e?

2

?

c

2

,? e ? 8 e ? 4 ? 0,? e ? 4 ? 2 3 , e ? 4 ? 2 3 ( 舍 ) ,
4 2 2 2

4

3 ? 1 ,选 D。

13.

x

2

?

y

2

?1

4

2

【 解 析 】 因 为 椭 圆 过 抛 物 线 焦 点 为 (2,0),并 且 焦 点 为 F1 ( ? 2 , 0 ), F2 ( 2 , 0 ), 所 以 a=2, c ?
2 ,? b ? a ? c ? 2,?
2 2 2

x

2

?

y

2

4

2

? 1.

14.

x

2

?

y

2

?1

25

16

【解析】根据椭圆的定义可知,点 P 的轨迹是以点 M ( ? 3, 0) ,点 N (3,0) 为焦点,长轴长为
x
2

10 的椭圆的方程。因此而控制,动点 P 满足的轨迹方程是

?

y

2

?1。

25 a b
2 2

16

15.

【解析】略 16.9 【解析】解:∵a=5,b=3;∴c=4, 2 2 2 2 设|PF1|=t1,|PF2|=t2,则 t1+t2=10①t1 +t2 =8 ②,由① -②得 t1t2=18, ∴S△F1PF2=
1 2

t1t2=

1 2

×18=9.

故答案为:9.
答案第 3 页,总 5 页

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17. (1)所求椭圆方程为

x

2

? y ?1
2

2

(2)在直角坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件 【解析】本题考查了椭圆,抛物线与直线的综合运用,另外,还结合了向量知识,综合性强, 须认真分析 I) 先跟据直线 y=x+b 是抛物线 C2: =4x 的一条切线, y 求出 b 的值, 再由椭圆离心率为 求出 a 的值,则椭圆方程可得.
?
2

2 2



(Ⅱ)先假设存在一个定点 T,使得以 AB 为直径的圆恒过定点,再用垂直时,向量 P A ,
? ?

P A ?P A 的数量积为 0,得到关于直线斜率 k 的方程,求 k,若能求出,则存在,若求不出,

则不存在. 18.
x
2



y

2

6+4 2

?1

4 2

【 解 析 】 先设此椭圆标准方程,根据椭圆定义可知|BC|=4a-8 及勾股定理求得 a,进而根 据椭圆定义求得|AF|,进而根据勾股定理求得 2c,进而求得 b,则椭圆方程可得. 19. (1)
x
2

?

y

2

? 1; (2) M N ?

2

8

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

12 2 5

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。 (1)由条件 a ? 2 b ,所以 C :
x
2 2

?

y b

2 2

? 1 ,代入点 ( 2,1) 可得 b ?

2

4b

2 (2)联立椭圆和直线方程可得直线 5 x ? 8 x ? 4 ? 0 ,所以

x1 ? x 2 ?

8 5

, x1 x 2 ? ?

4 5

,结合相交弦的公式得到结论。
x
2 2

解: (1)由条件 a ? 2 b ,所以 C :

?

y b

2 2

? 1 ,代入点 ( 2,1) 可得 b ?

2 ,椭圆 C 的标准

4b x
2

方程为

?

y

2

? 1;

8

2

2 (2)联立椭圆和直线方程可得直线 5 x ? 8 x ? 4 ? 0 ,所以

x1 ? x 2 ?

8 5

, x1 x 2 ? ?

4 5
12 2 5

由相交弦长公式可得 M N ?

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

答案第 4 页,总 5 页

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20.解: (1)

x

2

?

y

2

? 1 .(2) m ? ?

3 5 5

.

8

4

【解析】本试题主要是考查了椭圆方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。
?c 2 , ? ? 2 ?a ? (1)由题意,得 ? c ? 2 , 得到 a,b,c 的值。得到椭圆的方程。 ? 2 2 2 ?a ? b ? c . ? ?

(2)设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2, y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),
2 ? x2 y ? ? 1, ? 2 2 由? 8 消 y 得,3x +4mx+2m -8=0 结合韦达定理,和判别式得到参数 m 值。 4 ? y ? x ? m. ?

?c 2 , ? ? 2 ?a ? 解: (1) 由题意,得 ? c ? 2 , ………………………………………………3 分 ? 2 2 2 ?a ? b ? c . ? ?
?a ? 2 ? ?b ? 2. ? 2,

解得 ?

∴椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 .…………………………………………6 分

8

4

(2) 设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2, y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0),
2 ? x2 y ? ? 1, ? 2 2 由? 8 消 y 得,3x +4mx+2m -8=0,……………………………………………8 分 4 ? y ? x ? m. ?

Δ =96-8m >0,∴-2 3 <m<2 3 .
? x0 ? x1 ? x 2 2
2 2

2

? ?

2m 3



, y0 ? x0 ? m ?

m 3 .………………………………………12 分

∵点 M(x0,y0)在圆 x +y =1 上,
? (? 2m 3 ) ?(
2
2

m 3

) ? 1 ,? m ? ?
2
2

3 5 5

.………………………………………………… 14 分
3 3

21. (I)

x

?

y

? 1.

(II) y ? ?

x? 2 .

5

9

【解析】本试题主要考查椭圆方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的综合运用,求解直 线的方程的综合运用。 (1)利用椭圆的性质来表示得到参数 ab,c 的值,进而得到椭圆的方程。 (2)根据直线与椭圆方程联立方程组,然后得到二次方程,结合韦达定理得到根与系数的 关系,由 M 分有向线段 AB 所成的比为 2,进而得到斜率的值
答案第 5 页,总 5 页


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