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黑龙江省哈尔滨市第六中学2013届高三第三次模拟(文科)数学试题


黑龙江省哈尔滨市第六中学 2013 届高三第三次模拟 考试 数学试卷(文史类)
考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.做答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,写在本试卷上无效. 3.做答第Ⅱ卷时,请按题号顺序在各题目规定的答题区域内做答,超出答题区域书写的答案无效,在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4.保持答题卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准用涂改液、修正带、刮纸刀.

5.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 2012,且 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0(n ? N * ) ,则

S 2013 ? (
(A) 0

) (B) 2011
x

(C) 2012

(D)2013 )

6.函数 f ( x) ? 2 ? (A) (1,3)

2 ? a 的一个零点在区间 (1,2) 内,则实数 a 的取值范围是( x
(B) (1,2) (C) (0,3) (D) (0,2)

7. C 的半径为 1, 圆 圆心在第一象限, 且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切, 则该圆的标准方程是 (



7? ? (A) ( x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
2

2

(B) ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)
(C) ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 A ? {x |

3? ? (D) ? x ? ? ? ( y ? 1)2 ? 1 2? ?
63 ,则在程序中横线?处应填入语句为( 64
(D) i ? 8 S=0 n=2 i=1 DO S=S+1/n n=n*2 i=i+1 LOOP UNTIL _?_ PRINT END )

2

8.阅读如下程序,若输出的结果为

1 ? 1} , B ? {x | log 1 x ? 1} ,那么“ m ? A ”是“ m ? B ”的( 1? x 2



(A) i ? 6

(B) i ? 7

(C) i ? 7

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)不充分也不必要条件

9.将函数 y ? 2 sin 2 ( x ? 移

?
3

) 图像所有点横坐标缩短为原来一半,再向右平

5? 5? ,cos ) ,则 ? 等于( 2.已知 ? ? (0,2? ) ,且 ? 的终边上一点的坐标为 (sin 6 6 2? 5? 5? 7? (A) (B) (C) (D) 3 3 6 6

?
3



,得到函数 f (x) 的图像,那么关于 f (x) 的论断正确的是( )

(A)周期为 (B)周期为

?
2

,一个对称中心为 ( ,0)

?

2

3. 设两条不同直线 m、n 和两个不同平面 ? , ? , m ? ? , n ? ? ,有两个命题 p :若 ? ∥ ? , 则 m ∥ n ; q :若 ? ? ? ? l, m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n .那么( (A) p ? q ”为假 “ (C) “ ? p ? q ”为假 (B)“ p ? q ”为真 (D) “ ? p ? q ”为真 ) )

?
2

,一个对称中心为 (

?
2

,1)

(C)最大值为 2,一个对称轴为 x ? (D)最大值为 1,一个对称轴为 x ?

?
2

?
2

10.如图是某位篮球运动员 8 场比赛得分的茎叶图,其中一个数据染上污渍用 x 代替,那么这位运 动员这 8 场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为( (A) ) 0 1 2
运动员

4.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 m a +n b 与 a ? 2b 共线,则 m 等于( n (A) ? 1 2 (B) 1 2 (C) ? 2 (D) 2

2 10

(B)

3 10

(C)

6 10

(D)

7 10

78 07x9 31

哈六中 2013 届第三次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 1 页 共 3 页

11.如图,一个几何体的三视图正视图和侧视图为边长为 2,锐角为 60 ? 的菱形, 俯视图为正方形,则此几何体的内切球表面积为( (A) 2? (B) 3? (C) 4? )

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 某旅游景点有一处山峰, 游客需从景点入口 A 处向下沿坡角为 ? 的一条小路行进 a 百米后到达 山脚 B 处,然后沿坡角为 ? 的山路向上行进 b 百米后到达山腰 C 处,这时回头望向景点入口 A 处 俯角为 ? ,由于山势变陡到达山峰 D 坡角为 ? ,然后继续向上行进 c 百米终于到达山峰 D 处,游览

(D) 8? )
正视图 侧视图

12.函数 y ? 1 ? lg x ? x 的图象大致形状是(

俯视图

风景后, 此游客打算乘坐由山峰 D 直达入口 A 的缆车 下山结束行程,如图,假设 A、B、C、D 四个点在同 一竖直平面 (1)求 B,D 两点的海拔落差 h ; (2)求 AD 的长. A θ b B β

D c C γ

a

α

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
(18) (本小题满分 12 分) 为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了 50 名市民进行调查,他们 月收入(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表:

本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? x ? y ? 2 ? 0, ? ? ? 13.已知向量 a ? ( x, y), 若实数 x, y 满足 ? x ? ? y , 则 a 的最大值是____________ ? x ? 0, ? 2 2 x y ? ? 1 ,则当 m ? [?2 , ? 1] 时,该曲线的离心率 e 的取值范围是 14. 已知圆锥曲线 C: m 4
15.数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? n 2 ? n ? 1 , bn ? (?1) n an (n ? N * ) ,则数列 {bn } 的前 50 项和为 ______________ 16.设 f (x) 和 f ( x ? 2) 均为定义在 R 上的偶函数,当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? (

将月收入不低于 55 的人群称为“高收入族",月收入低于 55 的人群称为“非高收入族". (1)根据已知条件完成下面的 2× 列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为非 2 高收入族赞成楼市限购令?

2 x ) ? 1 ,若在区 2
(2)现从月收入在[15,25)的人群中随机抽取两人,求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率。 附: K ?
2

间 (?2,6) 内,关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 0且a ? 1) 恰有 4 个不同的实数根,则 实数 a 的取值范围是

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

;

哈六中 2013 届第三次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 2 页 共 3 页

(2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,若存在,求出实数 a 的取值集合,不存在说明理由.

(19) (本小题满分 12 分) 如 图 , 在四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 平面 PAD ? 平 面 ABC D , AB // CD , 在 ?PAD 中 ,

请考生在题(22) (23) (24)中任选一题作答,如果多做,则按所做的的第一题计分.做题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, O1 与⊙O2 相交于 A, B 两点,AB 是⊙O2 的直径, ⊙ 过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 E , 并与 BO1 的延长线交于点 P ,点 P 分别与⊙O1 、⊙O2 交于 C, D 两点 证明: (1) PA ? PD ? PE ? PC ; (2) AD ? AE .

PA? PD,并且 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5
(1)点 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD? 平面 PAD; (2)若△ PAD 为正三角形,当面 MBD ? 平面 ABCD 时,求点 M 到平面 ABD 的距离.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,从曲线 C 上一点 P 做 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 M , N ,点 在极坐标系 Ox 中, O 为极点,点 A(2, ) , B(2 2 ,

?

?
4

2

).

(1)求经过 O, A, B 的圆 C 的极坐标方程; (2)以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆 D 的参数方程
? x ? ?1 ? a cos? , ( ? 是参数, a 为半径) ,若圆 C 与圆 D 相切,求半径 a 的值. ? ? y ? ?1 ? a sin?

A(a,0), B(?a,0) ( a ? 0, a 为常数) ,且 AM ? BM ? ?ON ? 0 ( ? ? 0 )
(1)求曲线 C 的轨迹方程,并说明曲线 C 是什么图形; (2)当 ? ? 0 且 ? ? 1 时,将曲线 C 绕原点逆时针旋转 90 ? 得到曲线 C1 ,曲线 C 与曲线 C1 四个 交点按逆时针依次为 D, E , F , G ,且点 D 在一象限 ① 证明:四边形 DEFG 为正方形; ② AD ? DF ,求 ? 值. 若

2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 3x ? 1| ?ax ? 3. (1)若 a ? 1 ,解不等式 f ( x) ? 5 ; (2)若函数 f ( x ) 有最小值,求实数 a 的取值范围

(21)(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax 2 ? x , g ( x) ? ln(ax) (1)若直线 y ? kx ? 1 与函数 f ( x), g ( x) 相切于同一点,求实数 a, k 的值; 哈六中 2013 届第三次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 3 页 共 3 页

哈尔滨市第六中学 2013 届高三第三次模拟考试文科数学 答案

一选择题: BBDAC 二填空题 13.2

BD ? 面 MBD ,所以平面 MBD? 平面 PAD
CBBCB BA

………6 分

(2)如图,因为 BD ? 平面 PAD, 所以平面 PBD ? 平面 PAD, 做 PF ? AD 于 F , , 所以 PF ? 面

ABCD , PF ? 2 3 ,设面 PFC ? 面 MBD = MN ,面 MBD ? 平面 ABCD 所以面 PF // 面 MBD ,
14. [

5 6 , ] 2 2

15.49

16. a ? 8 ………6 分

所以 PF // MN ,取 DB 中点 Q ,得 CDFQ 为平行四边形,由平面 ABCD 边长得 N 为 FC 中点,所 以 MN ?

17 法一:解(1) h ? b sin ? ? c sin ?

1 PF ? 3 2
2

(2)在 ?ABC 中,由余弦定理 AC 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos(? ? ? ) 在 ?ACD 中,由余弦定理 AD 2 ? AC 2 ? c 2 ? 2cAC cos(? ? ? ? ? ) 所以 AD ? a 2 ?b 2 ? 2ab cos(? ? ? ) ? c 2 ? 2c a 2 ?b 2 ? 2ab cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ………12 分 (2)法二:在 ?ABC 中,由正弦定理得 以下同法一 18.

………12 分 20. 20 解(1)设 P ( x, y ) ,所以 M ( x,0), N (0, y) ,由 AM ? BM ? ?ON ? 0 得 x 2 ? ?y 2 ? a 2 ①当 ? ? 0 时,曲线 C 是焦点在 x 轴的双曲线; ②当 0 ? ? ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 轴的椭圆; ③当 ? ? 1 时,曲线 C 是圆; ④当 ? ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴的椭圆; ………6 分

a sin(? ? ? )

?

a sin(? ? ? ) AC ,所以 AC ? ……9 分 sin(? ? ? ) sin(? ? ? )

(2)①当 ? ? 0 且 ? ? 1 时,曲线 C 是椭圆,曲线 C1 方程为 ?x 2 ? y 2 ? a 2 ,设 D ( x, y ) 所以两曲线四个交点坐标 x 2 ? y 2 ?

a2 ,所以四边形 DEFG 为正方形; ………9 分 1? ?

②设 D ( x, x ) ,当 AD ? DF 时, AD ? DF ? ( x ? a, x) ? (?2x,?2x) ? 0 且 解得 ? ? 3 . 21 解(1)设 g (x) 切点 ( x0 , ln(ax0 )) , g ?( x 0 ) ? ………12 分

1 ?k, x0

? g ( x0 ) ? ln(ax0 ) ? kx 0 ? 1 ? 0 ,?ax0 ? 1 ,
设 f (x) 切点 ( x 0 , f ( x 0 )) , f ?( x0 ) ? 2ax0 ? 1 ? k ? 1 ,? a ? x0 ? 1

?a ? k ? 1
(2)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax 2 ? x ? ln(ax) ,即 h( x) min ? 0

………5 分

2ax 2 ? x ? 1 ,令 p( x) ? 2ax 2 ? x ? 1 , ? ? 1 ? 8a ? 0 x 1 所以 p( x) ? 0 有两不等根 x1 , x 2 , x1 x2 ? ? ? 0 ,不妨令 x1 ? 0 ? x 2 , 2a h ?( x) ?
2 所以 h(x) 在 (0, x 2 ) 上递减,在 ( x 2 ,??) 上递增,所以 h( x2 ) ? ax2 ? x2 ? ln(ax2 ) ? 0 成立

19 解(1)因为 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 4 5 ,由勾股定理得

M

2 因为 p( x2 ) ? 2ax2 ? x2 ? 1 ? 0 ,所以 ax 2 ?

BD? AD ,因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD = AD , BD ? 面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD
哈六中 2013 届第三次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 4 页 共 3 页

1 ? x2 2 x2

所以 h( x 2 ) ? 令 k ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 1 ? 1 ? 8a 2 ? ln ? 0 ,且 x 2 ? ? 2 2x2 4a 1 ? 8a ? 1

1? x 1? x 1? x ? ln ? ? ln 2x ? ln(1 ? x) 2 2x 2
( x ? 1)( x ? 2) ,所以 k (x) 在 (0,1) 上递增,在 (1,?? ) 上递减 2 x( x ? 1) 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 ? ln ? 0 ,所以 x 2 ? 1 代入 ax 2 ? 2 2x2 2 x2
………12 分

1 ? ?(3 ? a) x ? 2, ( x ≥ 3 ) ? (Ⅱ) f ( x) ?| 3 x ? 1| ? ax ? 3 ? ? ?(a ? 3) x ? 4.( x ? 1 ) ? 3 ?
函数 f ( x ) 有最小值的充要条件为 ?

k ?( x) ? ?

?3 ? a ≥ 0, 即 ?3 ≤ a ≤ 3 a ? 3 ≤ 0, ?

………10 分

所以 k ( x2 ) ? k (1) ? 0 ,又 h( x 2 ) ? 所以 a ? 1

22. 证明: (1)因为 PE, PB 分别是⊙ O2 割线,所以 PA ? PE ? PD ? PB ① 又 PA, PB 分别是⊙ O1 的切线和割线,所以 PA 2 ? PC ? PB ② 由①②得 PA ? PD ? PE ? PC ………5 分

(2)连接 AC, DE ,设 DE 与 AB 相交于点 F ,因为 BC 是⊙ O1 的直 径, 所以 ?CAB ? 90? , 所以 AC 是⊙ O2 的切线, (1) AC // DE , 由 得 所以 AB ? DE ,所以 AD ? AE ………10 分 23. 解(1) ? ? 2 2 cos(? ? (2) a ? 2 或 a ? 3 2 .

?
4

) ; ………5 分
………10 分

24 解: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ?| 3x ? 1| ? x ? 3 .

当 x≥

1 3 1 时, f ( x) ≤ 5 可化为 3x ? 1 ? x ? 3 ≤ 5 ,解之得 ≤ x ≤ ; 3 4 3

当x?

1 1 1 时, f ( x) ≤ 5 可化为 ?3x ? 1 ? x ? 3 ≤ 5 ,解之得 ? ≤ x ? . 2 3 3 1 3 ≤ x ≤ }. 2 4
………5 分

综上可得,原不等式的解集为 {x | ?

哈六中 2013 届第三次高考模拟考试数学试卷(文史类) 第 5 页 共 3 页


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