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江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州2016届高考数学一模试卷


2016 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷
一.填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分 1. a}, B={0, 1, 3}, 1, 2, 3}, 已知集合 A={0, 若 A∪B={0, 则实数 a 的值为 2.已知复数 z 满足 z2=﹣4,若 z 的虚部大于 0,则 z= . .

3.交通部门对某路段公路上行

驶的汽车速度实施监控,从速度在 50﹣90km/h 的汽车中抽 取 150 辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在 70km/h 以下的汽车有 辆.

4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果 S 为



5. f x) =2sin 函数 ( (ωx+?) (ω>0) 的部分图象如图所示, 若 AB=5, 则 ω 的值为



6.若随机安排甲乙丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,则甲与丙都不在第一天的概 率为 .

7.抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线

=1 渐近线的距离为



8.已知矩形 ABCD 的边 AB=4,BC=3,若沿对角线 AC 折叠,使得平面 DAC⊥平面 BAC, 则三棱柱 D﹣ABC 的体积 .

9.若公比不为 1 的等比数列{an}满足 log2(a1?a2…a13)=13,等差数列{bn}满足 b7=a7,则 b1+b2…+b13 的值为 .

10.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x≥0 时,f(x)=log2(x+2)+(a﹣1)x+b(a,b 为常数),若 f(2)=﹣1,则 f(﹣6)的值为 11.已知| 是 |=| |= . 若关于 x 的不等式 f(x)<π 的解集为(﹣∞, ,且 ? =1,若点 C 满足| + . |=1,则| |的取值范围

12.已知函数 f(x)=

),则实数 a 的取值范围是



13.已知点 A(0,1),B(1,0),C(t,0),点 D 是直线 AC 上的动点,若 AD≤2BD 恒成立,则最小正整数 t 的值为 14.已知正数 a,b,c 满足 b+c≥a,则 + . 的最小值为 .

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 15.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinA= ,tan(A﹣B) =﹣ . (1)求 tanB 的值; (2)若 b=5,求 c. 16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 PDC,E 为棱 PD 的中点. (1)求证:PB∥平面 EAC; (2)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD.

17.如图,OA 是南北方向的一条公路,OB 是北偏东 45°方向的一条公路,某风景区的一段 边界为曲线 C.为方便游客光,拟过曲线 C 上的某点分别修建与公路 OA,OB 垂直的两条 道路 PM,PN,且 PM,PN 的造价分别为 5 万元/百米,40 万元/百米,建立如图所示的直角 坐标系 xoy,则曲线符合函数 y=x+ (1≤x≤9)模型,设 PM=x,修建两条道路 PM,PN

的总造价为 f(x)万元,题中所涉及的长度单位均为百米. (1)求 f(x)解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f(x)最低?并求出最低造价.

18.已知各项均为正数的数列{an}的首项 a1=1,sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足: anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N? ) (1)若 a1,a2,a3 成等比数列,求实数 λ 的值; (2)若 λ= ,求 Sn. 19.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C: =1(a>b>0)的离心率 e= ,

左顶点为 A(﹣4,0),过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP⊥EQ,若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在说明理由;

(3)若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求

的最小值.

20.已知函数 f(x)=ex[ x3﹣2x2+(a+4)x﹣2a﹣4],其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线与直线 x+y=0 垂直,求 a 的值; (2)关于 x 的不等式 f(x)<﹣ ex 在(﹣∞,2)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)讨论函数 f(x)极值点的个数.

选做题:在 A、B、C、D 四个小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共 20 分 A.[选修 4-1:几 何证明选讲] 21.如图,∠PAQ 是直角,圆 O 与射线 AP 相切于点 T,与射线 AQ 相交于两点 B,C.求

证:BT 平分∠OBA.

B.[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知矩阵 A= ,求矩阵 A 的特征值和特征向量.

C.[选修 4-4 坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ,已知

,P 为圆 C 上一点,求△ PAB 面积的最小值.

D.[选修 4-5:不等式选讲]

24.设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+

≥2y+3.

必做题:每小题 10 分,共 20 分 25.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ ABC 是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2, 点 P 是棱 BB1 上一点,满足 (1)若 =λ (0≤λ≤1).

,求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值;

(2)若二面角 P﹣A1C﹣B 的正弦值为 ,求 λ 的值.

26.已知数列{an}满足 an=3n﹣2,f(n)= (1)求证:g(2)> ; (2)求证:当 n≥3 时,g(n)> .

+

+…+

,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1),n∈N*.

2016 年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模 试卷
参考答案与试题解析

一.填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分 1.已知集合 A={0,a},B={0,1,3},若 A∪B={0,1,2,3},则实数 a 的值为 2 . 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;定义法;集合. 【分析】根据题意,由 A 与 B 及 A∪B,易得 a=2,即可得到答案. 【解答】解:∵集合 A={0,a},B={0,1,3},且 A∪B={0,1,2,3}, 则有 a=2, 故答案为:2. 【点评】本题考查集合的并集运算,注意要考虑集合元素的互异性.

2.已知复数 z 满足 z2=﹣4,若 z 的虚部大于 0,则 z= 【考点】复数的基本概念.

2i .

【专题】计算题;转化思想;数学模型法;数系的扩充和复数. 【分析】直接利用复数的基本运算,求复数 z. 【解答】解:由 z2=﹣4, 则 z2=(± )2

∴z=±2i,又 z 的虚部大于 0, ∴z=2i. 故答案:2i. 【点评】本题考查了复数的基本概念,考查了复数代数形式的运算,是基础题.

3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在 50﹣90km/h 的汽车中抽 取 150 辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在 70km/h 以下的汽车有 75 辆.

【考点】频率分布直方图. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】先求出速度在 70km/h 以下的汽车所点频率,由此能求出速度在 70km/h 以下的汽 车有多少辆. 【解答】解:由频率分布直方图,得速度在 70km/h 以下的汽车所点频率为(0.02+0.03) ×10=0.5, ∴从速度在 50﹣90km/h 的汽车中抽取 150 辆进行分析, 则速度在 70km/h 以下的汽车有:150×0.5=75(辆). 故答案为:75. 【点评】本题考查频率分布直方图的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意频率分布直 方图的性质的合理运用.

4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果 S 为

9 .

【考点】伪代码. 【专题】计算题;图表型;分析法;算法和程序框图. 【分析】模拟程序运行,依次写出每次循环得到的 S,I 的值,当 I=5 时,不满足条件 I<5, 退出循环,输出 S 的值为 9. 【解答】解:模拟程序运行,可得

S=1,I=1 满足条件 I<5,S=3,I=2 满足条件 I<5,S=5,I=3 满足条件 I<5,S=7,I=4 满足条件 I<5,S=9,I=5 不满足条件 I<5,退出循环,输出 S 的值为 9. 故答案为:9. 【点评】本题主要考查了程序代码和循环结构,依次写出每次循环得到的 S,I 的值是解题 的关键,属于基本知识的考查.

5.函数 f(x)=2sin(ωx+?) (ω>0)的部分图象如图所示,若 AB=5,则 ω 的值为



【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题;数形结合;分析法;三角函数的图像与性质. 【分析】设 A(x1,2),B(x2,﹣2),由函数图象可得(x2﹣x1)2+42=52,解得:x2﹣ x1=3,利用 T=2×3= ,即可解得 ω 的值.

【解答】解:∵函数 f(x)=2sin(ωx+φ),图象中 AB 两点距离为 5, 设 A(x1,2),B(x2,﹣2), ∴(x2﹣x1)2+42=52, 解得:x2﹣x1=3, ∴函数的周期 T=2×3= 故答案为: . ,解得:ω= .

【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查了正弦函数的 图象和性质,属于基础题.

6.若随机安排甲乙丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天,则甲与丙都不在第一天的概 率为 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】由甲与丙都不在第一天值班,得乙在第一天值班,由此能求出甲与丙都不在第一天 值班的概率. 【解答】解:随机安排甲乙丙三人在 3 天节日中值班,每人值班 1 天, ∵甲与丙都不在第一天值班, ∴乙在第一天值班, ∵第一天值班一共有 3 种不同安排, ∴甲与丙都不在第一天值班的概率 p= . 故答案为: . 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公 式的合理运用.

7.抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 【考点】双曲线的简单性质.

=1 渐近线的距离为



【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先求出抛物线 y2=4x 的焦点和双曲线 =1 渐近线,由此能求出抛物线 y2=4x

的焦点到双曲线

=1 渐近线的距离.

【解答】解:抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0), 双曲线 =1 渐近线为 3x±4y=0,

∴抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线

=1 渐近线的距离为:

d= 故答案为: .

= .

【点评】本题考查抛物线的焦点到双曲线的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注 意双曲线和抛物线的性质的合理运用.

8.已知矩形 ABCD 的边 AB=4,BC=3,若沿对角线 AC 折叠,使得平面 DAC⊥平面 BAC, 则三棱柱 D﹣ABC 的体积 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】 过 B 作 BE⊥AC 于 E, 由面面垂直的性质可得 BE⊥平面 DAC, 故 BE 为棱锥的高, 底面为△ ACD,代入体积公式计算即可求出体积. 【解答】解:过 B 作 BE⊥AC 于 E,∵AB=4,BC=3,∴AC=5,BE= = ,

∵平面 DAC⊥平面 BAC,平面 DAC∩平面 BAC=AC,BE⊥AC,BE?平面 ABC, ∴BE⊥平面 DAC, ∴V 棱锥 D﹣ABC=V 棱锥 B﹣ACD= S△ ACD?BE= 故答案为 . = .

【点评】本题考查了面面垂直的性质,棱锥的体积计算,是中档题.

9.若公比不为 1 的等比数列{an}满足 log2(a1?a2…a13)=13,等差数列{bn}满足 b7=a7,则 b1+b2…+b13 的值为 26 . 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】函数思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意和对数的运算可得 a7,再由等差数列的性质可得答案.

【解答】解:∵公比不为 1 的等比数列{an}满足 log2(a1?a2…a13)=13, ∴log2(a1?a2…a13)=log2(a7)13=13?log2a7=13, 解得 a7=2,∴b7=a7=2, 由等差数列的性质可得 b1+b2…+b13=13b7=26 故答案为:26 【点评】本题考查等比数列的通项公式,涉及对数的运算,属基础题.

10.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足当 x≥0 时,f(x)=log2(x+2)+(a﹣1)x+b(a,b 为常数),若 f(2)=﹣1,则 f(﹣6)的值为 4 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据定义在 R 上的奇函数 f(0)=0,求出 b 值,利用 f(2)=﹣1,求出 a,再由 f (﹣6)=﹣f(6)得到答案. 【解答】解:∵函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=1+b=0, 解得:b=﹣1, ∴当 x≥0 时,f(x)=log2(x+2)+(a﹣1)x﹣1, ∵f(2)=﹣1, ∴f(2)=2+2(a﹣1)﹣1=﹣1, ∴a=0 ∴f(x)=log2(x+2)﹣x﹣1, ∴f(﹣6)=﹣f(6)=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的定义和性质,是解 答的关键.

11.已知| 1,

|=|

|=

,且

?

=1,若点 C 满足|

+

|=1,则|

|的取值范围是

[



+1] .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】数形结合;数形结合法;平面向量及应用.

【分析】 求出 【解答】解:∵ ∴ 设 ∴| |= ,∵| ?

的夹角, 建立平面直角坐标系, 设出 =1,∴ . =( |=1,∴| , + ),设 ﹣ |=1,即| = ﹣ .则 |=| = ×cos<

的坐标, 判断 C 的轨迹. >= .

>=1,∴cos<

的夹角为 , +

=(



),

|=1.

∴C 在以 D 为圆心,以 1 为半径的圆上, ∴| |的最小值为 ﹣1, ,| +1]. |的最大值是 +1.

故答案为[

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,建立平面直角坐标系,判断 C 点轨迹是关键.

12.已知函数 f(x)=

若关于 x 的不等式 f(x)<π 的解集为(﹣∞,

),则实数 a 的取值范围是 【考点】分段函数的应用.

a>﹣2



【专题】计算题;转化思想;函数的性质及应用. 【分析】若函数 f(x)= 若关于 x 的不等式 f(x)<π 的解集为(﹣∞,

),则当 x<0 时,f(x)=x(a﹣x)<π 恒成立,结合对勾函数的图象和性质,可得实 数 a 的取值范围.

= 【解答】 解: 若函数 f (x)

若关于 x 的不等式 f (x) <π 的解集为 (﹣

∞,

),

则当 x<0 时,f(x)=x(a﹣x)<π 恒成立, 即 a> 令 g(x)= 故 a>﹣2 , 在 x<0 时恒成立, ,则当 x=﹣ 时,g(x)取最大值﹣2 ,

故答案为:a>﹣2 【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,对勾函数的图象和性质,难度中档.

13.已知点 A(0,1),B(1,0),C(t,0),点 D 是直线 AC 上的动点,若 AD≤2BD 恒成立,则最小正整数 t 的值为 4 . 【考点】两点间的距离公式. 【专题】方程思想;综合法;直线与圆. 【分析】先设出 D(x,y),得到 AD 的方程为:x+ty﹣t=0,由 AD≤2BD 得到圆的方程, 结合点到直线的距离公式,求出 t 的最小值即可. 【解答】解:设 D(x,y),由 D 在 AC 上, 得: ,即 x+ty﹣t=0, + + ≥ , = ,至多有一个公共点,

由 AD≤2BD 得: 依题意,线段 AD 与圆



,解得:t≥2+

或 t≤2﹣



∵t 是使 AD≤2BD 恒成立的最小正整数,∴t=4, 故答案为:4. 【点评】本题考查直线与圆的方程,考查点到直线距离公式的运用,考查学生分析解决问题 的能力,属于中档题.

14.已知正数 a,b,c 满足 b+c≥a,则 + 【考点】基本不等式. 【专题】整体思想;综合法;不等式. 【分析】由题意变形可得 + 不等式可得. 【解答】解:∵正数 a,b,c 满足 b+c≥a, ∴ + = + ≥ + ﹣ ≥ = ﹣ =( + )+ ﹣ 时取等号. ﹣ ≥ +

的最小值为





=( + )+

﹣ =

+

﹣ ,由基本

当且仅当 故答案为:

【点评】 本题考查基本不等式求式子的最值, 凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键, 属中档题.

二.解答题:本大题共 6 小题,共 90 分 15.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinA= ,tan(A﹣B) =﹣ . (1)求 tanB 的值; (2)若 b=5,求 c. 【考点】两角和与差的正切函数;正弦定理. 【专题】对应思想;转化法;三角函数的求值;解三角形. 【分析】 (1) 根据同角的三角函数关系求出 tanA, 再利用两角差的正切公式, 即可求出 tanB; (2)求出 sinB 与 cosB,计算 sinC 的值,利用正弦定理即可求出 c 的值. 【解答】解:(1)锐角三角形 ABC 中,sinA= , ∴cosA= ,tanA= ;

又 tan(A﹣B)=

=

=﹣ ,

∴解得 tanB=2; (2)∵tanB=2,∴ =2,sinB=2cosB;

∴sin2B+cos2B=4cos2B+cos2B=5cos2B=1, ∴cosB= ,sinB= ;

∴sinC=sin[π﹣(A+B)] =sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB = × = + × ; = ,

又 b=5,且

∴c=

=

=



【点评】 本题考查了三角函数的恒等变换与解三角形的应用问题, 也考查了同角的三角函数 关系的应用问题,是基础题目.

16.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 PDC,E 为棱 PD 的中点. (1)求证:PB∥平面 EAC; (2)求证:平面 PAD⊥平面 ABCD.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离.

【分析】(1)连接 BD,交 AC 于 F,运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理,即 可得证; (2)运用面面垂直的判定定理,只要证得 CD⊥平面 PAD,由线面垂直和矩形的定义即可 得证. 【解答】证明:(1)连接 BD,交 AC 于 F, 由 E 为棱 PD 的中点,F 为 BD 的中点, 则 EF∥PB, 又 EF?平面 EAC,PB?平面 EAC, 则 PB∥平面 EAC; (2)由 PA⊥平面 PCD, 则 PA⊥CD, 底面 ABCD 为矩形, 则 CD⊥AD, 又 PA∩AD=A, 则有 CD⊥平面 PAD, 由 CD?平面 ABCD, 则有平面 PAD⊥平面 ABCD.

【点评】 本题考查空间直线和平面的位置关系, 主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的 判定定理,注意定理的条件的全面性是解题的关键.

17.如图,OA 是南北方向的一条公路,OB 是北偏东 45°方向的一条公路,某风景区的一段 边界为曲线 C.为方便游客光,拟过曲线 C 上的某点分别修建与公路 OA,OB 垂直的两条 道路 PM,PN,且 PM,PN 的造价分别为 5 万元/百米,40 万元/百米,建立如图所示的直角 坐标系 xoy,则曲线符合函数 y=x+ (1≤x≤9)模型,设 PM=x,修建两条道路 PM,PN

的总造价为 f(x)万元,题中所涉及的长度单位均为百米.

(1)求 f(x)解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f(x)最低?并求出最低造价.

【考点】解三角形的实际应用. 【专题】计算题;方程思想;综合法;导数的综合应用. 【分析】(1)求出 P 的坐标,直线 OB 的方程,点 P 到直线 x﹣y=0 的距离,即可求 f(x) 解析式; (2)利用导数的方法最低造价. 【解答】 解: (1) 在如图所示的直角坐标系中, 因为曲线 C 的方程为 ,

所以点 P 坐标为 直线 OB 的方程为 x﹣y=0,…



则点 P 到直线 x﹣y=0 的距离为

,…

又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米. 则两条道路总造价为 (2)因为 , . …

所以 令 f'(x)=0,得 x=4,列表如下: x f'(x) f(x) (1,4) ﹣ 单调递减 4 0 极小值 (4,9) ﹣ 单调递增

,…

所以当 x=4 时,函数 f(x)有最小值,最小值为 答:(1)两条道路 PM,PN 总造价 f(x)为 (2)当 x=4 时,总造价最低,最低造价为 30 万元. (注:利用三次均值不等式 当且仅当 ,即 x=4 时等号成立,照样给分.) …

.… (1≤x≤9);



【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的运用,确定函数的解析式是 关键.

18.已知各项均为正数的数列{an}的首项 a1=1,sn 是数列{an}的前 n 项和,且满足: anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N? ) (1)若 a1,a2,a3 成等比数列,求实数 λ 的值; (2)若 λ= ,求 Sn. 【考点】数列的求和. 【专题】方程思想;转化思想;归纳法;等差数列与等比数列. a2, a3 成等比数列, a3=q2. 【分析】 (1) 由于 a1, 可设公比为 q, 则 a2=q, 由 anSn+1﹣an+1Sn+an ﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N? ),分别令 n=1,2,即可得出. (2)λ= ,则 anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1,化为 Sn+ a2= ,a3= .猜想 .再利用数学归纳法证明即可得出. +1=0,由 a1=1,

【解答】解:(1)∵a1,a2,a3 成等比数列,可设公比为 q,则 a2=q,a3=q2. ∵anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1=λanan+1(λ≠0,n∈N? ), ∴当 n=1 时,a1S2﹣a2S1+a1﹣a2=λa1a2,即(1+q)﹣q+1﹣q=λq,化为 2﹣q=λq, 当 n=2 时,a2S3﹣a3S2+a2﹣a3=λa2a3,化为:2﹣q=λq2, 联立解得 λ=q=1. ∴λ=1. (2)λ= ,则 anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1, ∵Sn+1=Sn+an+1,

∴(an﹣an+1)Sn+ 化为 Sn+

+an﹣an+1=0. +1=0,

∵a1=1,令 n=1,则 1+ 同理可得 a3= . 猜想 .

+1=0,解得 a2= ,

下面利用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1= =1,成立;

②假设当 n≤k(k∈N*)时成立,

,则 Sk=

=



∵Sk+

+1=0,



+

+1=0,

解得 ak+1=



因此当 n=k+1 时也成立, 综上可得:对于 n∈N* 都成立. .

由等差数列的前 n 项和公式可得:Sn= 可得 an+1= ,Sn= =

,Sn+1=



代入 anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1,验证成立. ∴Sn= .

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系、数学归 纳法,考查了猜想归纳推理能力与计算能力,属于中档题.

19.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率 e= ,

左顶点为 A(﹣4,0),过点 A 作斜率为 k(k≠0)的直线 l 交椭圆 C 于点 D,交 y 轴于点 E. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q,对于任意的 k(k≠0)都有 OP⊥EQ,若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在说明理由; (3)若过 O 点作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M,求 的最小值.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)由椭圆的离心率和左顶点,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的标准方程. (2)直线 l 的方程为 y=k(x+4),与椭圆联立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0, 由此利用韦达定理、直线垂直,结合题意能求出结果. (3)OM 的方程可设为 y=kx,与椭圆联立得 M 点的横坐标为 能求出结果. 【解答】解: (1)∵椭圆 C: =1(a>b>0)的离心率 e= ,左顶点为 A(﹣4,0), ,由 OM∥l,

∴a=4,又

,∴c=2.…

又∵b2=a2﹣c2=12, ∴椭圆 C 的标准方程为 .…

(2)直线 l 的方程为 y=k(x+4),



消元得,



化简得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0, ∴x1=﹣4, .…



时,







∵点 P 为 AD 的中点,∴P 的坐标为





.…

直线 l 的方程为 y=k(x+4),令 x=0,得 E 点坐标为(0,4k), 假设存在定点 Q(m,n)(m≠0),使得 OP⊥EQ, 则 kOPkEQ=﹣1,即 ∴(4m+12)k﹣3n=0 恒成立,∴ ∴定点 Q 的坐标为(﹣3,0).… (3)∵OM∥l,∴OM 的方程可设为 y=kx, 恒成立, ,即 ,



,得 M 点的横坐标为

,…

由 OM∥l,得

=



=



当且仅当



时取等号,

∴当

时,

的最小值为

. …

【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查满足条件的定点是否存在的判断与求法,考查代数 式的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的 合理运用.

20.已知函数 f(x)=ex[ x3﹣2x2+(a+4)x﹣2a﹣4],其中 a∈R,e 为自然对数的底数. (1)若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线与直线 x+y=0 垂直,求 a 的值; (2)关于 x 的不等式 f(x)<﹣ ex 在(﹣∞,2)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)讨论函数 f(x)极值点的个数. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 【专题】转化思想;分类法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1, 解方程可得 a 的值; (2)由题意可得 x3﹣2x2+4x﹣ <a(x﹣2),令 x﹣2=t(t<0),运用参数分离和构造 g (t),求得单调性,可得 a 的范围; (3)求出函数的导数,令 h(x)= x3﹣x2+ax﹣a,由 h(x)=0,即为 a(x﹣1)=x2﹣ x3,

运用参数分离,求得令 m=x﹣1,可得 h(m)= 单调区间,可得 a 的范围,即有 f(x)的极值点的个数. 【解答】解:(1)函数 f(x)=ex[ x3﹣2x2+(a+4)x﹣2a﹣4]的导数为 f′(x)=ex?( x3﹣x2+ax﹣a), 图象在 x=0 处的切线斜率为﹣a, 切线与直线 x+y=0 垂直,可得﹣a=1, 解得 a=﹣1; (2)关于 x 的不等式 f(x)<﹣ ex 在(﹣∞,2)上恒成立,

,求得 h(m)的

即为 x3﹣2x2+(a+4)x﹣2a﹣ <0 在 x<2 恒成立. 即有 x3﹣2x2+4x﹣ <a(2﹣x),

令 x﹣2=t(t<0),可得﹣a<



令 g(t)=

,t<0,

g′(t)= 即 g(t)在 t<0 递减,可得 g(t)>0, 可得﹣a≤0,即 a 的取值范围是[0,+∞);

=

<0,

(3)由 f(x)的导数为 f′(x)=ex?( x3﹣x2+ax﹣a), 令 h(x)= x3﹣x2+ax﹣a,由 h(x)=0, 即为 a(x﹣1)=x2﹣ x3, 若 x=1 时,方程不成立; 若 x≠1 时,a= ,

令 m=x﹣1,可得 h(m)=

=

=



h′(m)=



当 m>0 即 x>1 时,h(m)递减,m<﹣1 时,h(m)递增, ﹣1<m<0 时,h(m)递减. 则当 a>0 时,a=h(m)有一个解,f(x)有一个极值点; 当 a<0 时,a=h(m)有三个解,f(x)有三个极值点. 综上可得,a=0 时,f(x)有一个极值点; a>0 时,f(x)有一个极值点;

a<0 时,f(x)有三个极值点. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,注意运用导数的几何意义和两直线垂直的条 件,考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和构造函数法,考查函数的极值点的 个数,注意运用分类讨论的思想方法,属于中档题.

选做题:在 A、B、C、D 四个小题中只能选做 2 题,每题 10 分,共 20 分 A.[选修 4-1:几 何证明选讲] 21.如图,∠PAQ 是直角,圆 O 与射线 AP 相切于点 T,与射线 AQ 相交于两点 B,C.求

证:BT 平分∠OBA.

【考点】弦切角. 【专题】证明题;选作题;转化思想;数形结合法;推理和证明. 【分析】连结 OT,推导出 AB∥OT,从而∠TBA=∠BTO,再由∠OBT=∠TBA,能证明 BT 平分∠OBA. 【解答】证明:连结 OT. 因为 AT 是切线,所以 OT⊥AP.… 又因为∠PAQ 是直角,即 AQ⊥AP, 所以 AB∥OT, 所以∠TBA=∠BTO. … 又 OT=OB,所以∠OTB=∠OBT,… 所以∠OBT=∠TBA, 故 BT 平分∠OBA.…

【点评】本题考查直线平行角的证明,是基础题,解题时要认真审题,注意切线性质、圆的 简单性质的合理运用.

B.[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知矩阵 A= ,求矩阵 A 的特征值和特征向量.

【考点】特征值与特征向量的计算. 【专题】方程思想;定义法;矩阵和变换. 【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式,令 f(λ)=0 解方程可得特征值,再由特征 值列出方程组求出相应的特征向量. 【解答】解:∵矩阵 A= , |=(λ﹣1)(λ﹣4)+2=λ2﹣5λ+6,

设矩阵 A 的特征多项式为 f(λ)= 令 f(λ)=0,解得 λ1=2,λ2=3, 将 λ1=2 代入二元一次方程组 解得 x=2,y=﹣1 所以矩阵 A 属于特征值 2 的一个特征向量为



同理,矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为



【点评】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算问题,也考查了运算求解的能力,是 基础题目.

C.[选修 4-4 坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ,已知

,P 为圆 C 上一点,求△ PAB 面积的最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;转化思想;综合法;坐标系和参数方程. 【分析】求出圆 C 的直角坐标方程、A,B 的直角坐标和点 P 到直线 AB 的距离的最小值, 由此能求出△ PAB 面积的最小值.

【解答】解:∵圆 C 的极坐标方程为 ∴ = ∴圆 C 的直角坐标方程为 即 又∵ . … , , ,



∴A(0,﹣1),B(0,﹣3),∴AB=2.… P 到直线 AB 距离的最小值为 所以△ PAB 面积的最小值为 ,… .…

【点评】本题考查三角形面积的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意直角坐 标和极坐标的互化公式的合理运用.

D.[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 x,y 均为正数,且 x>y,求证:2x+ 【考点】不等式的证明. 【专题】不等式. 【分析】因为 x>y,所以 x﹣y>0,所以不等式左边减去 2y 得:2x+ =(x ≥2y+3.

﹣y)+(x﹣y)+ 题. 【解答】证明:由题设 x>y,可得 x﹣y>0; ∵2x+ ﹣2y=2(x﹣y)+ =(x﹣y)+(x﹣y)+

,这样便可证出本



又(x﹣y)+(x﹣y)+

,当 x﹣y=1 时取“=“;

∴2x+

﹣2y≥3,即 2x+

≥2y+3.

【点评】考查对于不等式:a+b+c

的运用.

必做题:每小题 10 分,共 20 分 25.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面△ ABC 是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2, 点 P 是棱 BB1 上一点,满足 (1)若 =λ (0≤λ≤1).

,求直线 PC 与平面 A1BC 所成角的正弦值;

(2)若二面角 P﹣A1C﹣B 的正弦值为 ,求 λ 的值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 【专题】综合题;数形结合;转化思想;空间角. 【分析】(1)如图所示,建立空间直角坐标系,设平面 A1BC 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,可得 .设直线 PC 与平面 A1BC 所成角为 θ,则 sinθ=

=



(2)设二面角 P﹣A1C﹣B 的平面角为 α,由图可知为锐角,由于 sinα= ,可得 cosα= .由于 =λ (0≤λ≤1),可得 P(1,0,2λ).设平面 A1CP 的法 = ,即可得出.

向量为 =(x0,y0,z0),

【解答】解:(1)如图所示,建立空间直角坐标系, A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),P .

=(1,0,﹣2),

=(﹣1,1,0),

=



设平面 A1BC 的法向量为 =(x,y,z), 则 ,即 ,取 =(2,2,1),

设直线 PC 与平面 A1BC 所成角为 θ,

则 sinθ=

=

=

=



(2)设二面角 P﹣A1C﹣B 的平面角为 α,由图可知为锐角, ∵sinα= ,∴cosα= ∵ =λ (0≤λ≤1), = .

∴P(1,0,2λ). ∴ =(1,﹣1,2λ), =(1,0,2λ﹣2).

设平面 A1CP 的法向量为 =(x0,y0,z0), 则 ,即 ,

取 =(2﹣2λ,2,1), ∴ = = = .



=



化简解得:λ2+8λ﹣9=0,0≤λ≤1, 解得 λ=1.

【点评】本题考查了空间角与空间位置关系、向量垂直与数量积的关系,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

26.已知数列{an}满足 an=3n﹣2,f(n)= (1)求证:g(2)> ; (2)求证:当 n≥3 时,g(n)> . 【考点】不等式的证明;函数的值.

+

+…+

,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1),n∈N*.

【专题】转化思想;函数的性质及应用;等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳 法;不等式的解法及应用. 【分析】(1)g(2)=f(4)﹣f(1)=1+ + + ﹣1,即可得证;

(2)求出 g(n),运用数学归纳法及不等式的性质,即可得证. 【解答】证明:(1)g(2)=f(4)﹣f(1) =1+ + + ﹣1= + + = > ;

(2)当 n≥3 时,g(n)=f(n2)﹣f(n﹣1) =1+ +…+ ﹣(1+ +…+ )

=

+

+…+



运用数学归纳法证明. 当 n=3 时,g(3)= + + +…+ > 成立;

假设 n=k 时,g(k)> ,即有

+

+…+

> ,

则 n=k+1 时,g(k+1)=

+ …+

=

+

+…+

+

+…+



=g(k)+ 可得 +…+

+…+ ﹣



, >0,又 g(k)> ,

即有 n=k+1 时,g(k+1)> . 故当 n≥3 时,g(n)> . 【点评】本题考查不等式的证明,注意运用放缩法,考查化简整理和不等式的性质,属于中 档题. 更多的试卷尽在金榜希望 APP,金榜希望 APP,免费做题、免费搜题、免费答疑、免费听课, 覆盖一年级到高三,扫一扫即可下载。


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