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2015年英国数学奥林匹克试题及其解答


文 武 光 华
2015 年英国数学奥林匹克试题及其解答
解答人:文武光华数学工作室 田开斌
一、数列{x }:x = 2014,x 解答:易知tan tan θ 于是知θ x = =x =
√ √

,求x

的值。

= √2 + 1。设x = tan θ ,n ∈ N ,则

=
√ √

=

·

=?

= tan θ ? 。于是知

= θ ? 。故θ = tan θ
·

= θ ? × 2014 = θ ? = tan θ ?

= tan θ ? =
( ·( ) )

=? 。

综上所述,知x

=?

二、一所学校有奇数个班级,每个班级有奇数名学生。每个班选出一个学生组成校队, 求证以下两个命题是等价的: (1)校队中有奇数个男生的选法比有奇数个女生的选法多; (2)有奇数个班级男生比女生多。 证明:设有n个班级,第k(k = 1、2、 … 、n)个班级中有a 名男生,b 名女生。令 f(x) = (a x + b )(a x + b ) … (a x + b ) (*) 容易知道,f(x)的奇次项系数之和为“校队中有奇数个男生的选法种数”,记为M;偶 次项系数之和为“校队中有偶数个男生的方法种数”,注意到校队中共有奇数名学生,故 也即是“有奇数个女生的方法种数”,记为N。 因为M = M >N ?
( ) ( ) ( ( ) )

,N = >
( )

( ) ( )

(

)

,故

? f(?1)<0

? (b ? a )(b ? a ) … (b ? a )<0 也就等价于“恰有奇数个b <a ”,也即为“有奇数个班级男生比女生多”。 综上所述,命题得证。 三、如图,⊙O、⊙P 内切于 A,⊙O 的一条动弦 BC 与⊙P 相切,求证:△ABC 的内心 轨迹也是一个圆,且与⊙O、⊙P 切于点 A。
A

P O C

B

证明:如图,设⊙O、⊙P 半径分别为R、r。设 BC 切⊙P 于 T,延长 AT 交⊙O 于 K,由 于⊙O、⊙P 关于点 A 位似,故 K 为弧 BC 中点,且 = 。进而知△ABC 的内心 I 在 AK 上, 且KB = KC = KI。又KI = KB = KT · KA = (AK ? AT) · AK = · AK · AK,故

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文 武 光 华
KI = · AK。于是知 = =1? 。这即说明点 I 的轨迹与⊙O 关于点 A 位似, 故点 I 的轨迹也是一个圆,且与⊙O、⊙P 切于点 A。
A

P I O T B K C

四、给定两个格点P、Q,如果线段PQ内没有其它格点,我们称P、Q可以相互看到。 若n个格点P 、P 、 … 、P 满足以下条件,我们称它们构成一个长为n的圈: (1)对于1 ≤ i ≤ n ? 1,P 、P 可以相互看到,同时P 、P 也可以相互看到; (2)若1 ≤ i、j ≤ n,|j ? i|>1,则P 、P 不能相互看到; (3)没有三点共线。 问是否存在长为100的圈。(2015 年英国数学奥林匹克试题) 解答:根据定义,格点 a,b 、 c,d 可以相互看到的充要条件为 a ? c,b ? d = 1。 为简单起见,我们先取点P k ? 1,(k ? 1) (k = 1、2、 … 、99)。 对于1 ≤ i ≤ 98,有 (i + 1) ? i,(i + 1) ? i = 1,即P 、P 可以相互看到;而当 99 ≥ j>i + 1时,有 (j ? 1) ? (i ? 1),(j ? 1) ? (i ? 1) 到。且显然无三点共线。 s ? 98,t ? 98 最后,我们只需选取合适的P s,t ,使得 s ? 0,t ? 0 =1 =1 ,且无三 = j ? i>1,故P 、P 不能相互看

s ? i,t ? i >1,1 ≤ i ≤ 97 线共点。 任取素数100<p <p < … <p ,根据中国剩余定理,同余方程组 x ≡ 1(mod 98) x ≡ i(mod p ),i = 1、2、 … 、97 有无穷多组整数解。任取其一个正整数解x = s,则p |(s ? i)(i = 1、2、 … 、97),且 s ? 98,s = 98,s = 98,1 = 1, s,p = i,p = 1, s ? 98,p = i ? 98,p = 1。也即s、s ? 98、p 、p 、 … 、p 两两互素。于是根据中国剩余定理, 同余方程组: y ≡ 98 + 1(mod s ? 98) y ≡ 1(mod s) y ≡ i (mod p ),i = 1、2、 … 、97 有无穷多组正整数解。取其一个合适的正整数解y = t,使得点P s,t 不在P 、P 、 …、 P 中任两点的连线上(事实上, P 、P 、 … 、P 两两的连线与直线x = s 只有有限个交点, 因此可以取一个合适的t,使得格点 s,t 不在这些直线上)。此时 s ? 98,t ? 98 = s ? 98,1 = 1; s ? 0,t ? 0 = s,1 = 1;p | s ? i,t ? i ,即 s ? i,t ? i >1 (1 ≤ i ≤ 97)。

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综上所述,上述构造的P 、P 、 … 、P 即是一个长为100的圈。

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