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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷13


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十三
一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x2+(y-1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为 ( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形

1 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=-2,用 πn 表示它的前 n 项之积。则 πn(n∈N*) 最大的是( (A)π9 ) (B)π11 (C)π12 (D)π13 )

3. 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p( (A)不存在 (C)多于一个,但为有限个

(B)只有一个 (D)有无穷多个

1 4. 设 x∈(-2,0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是 ( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1

1 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+x2在同一点取相同的最小值,那么 f(x) 在该区间上的最大值是( 11 3 3 (A) 4+ 2 2+ 4 13 3 (C) 1-2 2+ 4 ) 53 3 (B) 4-2 2+ 4 (D)以上答案都不对

6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的 上底面、侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下 底面及侧面都只有一个公共点,除球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 )

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1≤log110<-2,x∈N*}的真子集的个数是
x



_ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1· 2 的实部为零,z1 z π 的辐角主值为6,则 z2=_______. 3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______.

4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等 的六面体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________.

5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,每 面恰 染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______ 种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的 上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方 案相同.)

6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整 数的点)的个数为________.

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十三
参考答案
一、选择题(本题满分 36 分,每题 6 分) 1. 把圆 x2+(y-1)2=1 与椭圆 9x2+(y+1)2=9 的公共点,用线段连接起来所得到的图形为 ( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形

1 解:9-9(y-1)2=9-(y+1)2,?8y2-20y+8=0,?y=2 或2,相应的,x=0,或 x=± 3. 此三点连成一个正三角形.选 C. 1 2. 等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=-2,用 πn 表示它的前 n 项之积。则 πn(n∈N*) 最大的是( (A)π9 ) (B)π11 (C)π12
n(n-1) 2

(D)π13

1 解:πn=1536n×(-2)

,故 π11<0,π9,π12,π13>0.作商比较:

π12 1 - π13 1 - 又, π =15363?(2)66 36>1,π =1536?(2)78 66<1.故选 C. 9 12 3. 存在整数 n,使 p+n+ n是整数的质数 p ( (A)不存在 (C)多于一个,但为有限个 )

(B)只有一个 (D)有无穷多个

解:如果 p 为奇质数,p=2k+1,则存在 n=k2(k∈N+),使 p+n+ n=2k+1.故选 D. 1 4. 设 x∈(-2,0),以下三个数 α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π 的大小关系是 ( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1

解:α1= cos(sin|x|π)>0,α2=sin(cos|x|π)>0,α3=cos(1-|x|)π<0,排除 B、D. π π π ∵ sin|x|π+ cos|x|π= 2sin(|x|π+4)<2,于是 cos|x|π<2-sin|x|π, ∴ sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π),故 α2<α1,选 A. 1 2 2 3 π 2 π 又解:取 x=-4,则 α1=cos 2 ,α2=sin 2 ,α3=cos4π<0.由于6< 2 <4,故 α1>α2.

1 5. 如果在区间[1,2]上函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+x2在同一点取相同的最小值,那么 f(x) 在该区间上的最大值是( ) 53 3 (B) 4-2 2+ 4 (D)以上答案都不对
3

11 3 3 (A) 4+ 2 2+ 4 13 3 (C) 1-2 2+ 4 1 1 1 1 解:g(x)= x+x2=2x+2x+x2≥3

1 33 1 1 3 =2 2.当且仅当2x=x2即 x= 2时 g(x)取得最小值. 4

4q-p2 3 3 p 3 33 3 3 ∴-2= 2, 4 =2 2,?p=-2 2,q=2 2+ 4. 53 3 3 3 由于 2-1<2- 2.故在[1.2]上 f(x)的最大值为 f(2)=4-2 2+ 4.故选 B. 6. 高为 8 的圆台内有一个半径为 2 的球 O1,球心 O1 在圆台的轴上,球 O1 与圆台的 上底面、侧面都相切,圆台内可再放入一个半径为 3 的球 O2,使得球 O2 与球 O1、圆台的下 底面及侧面都只有一个公共点,除球 O2,圆台内最多还能放入半径为 3 的球的个数是( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
O4

)

解 : O2 与 下 底 距 离 =3 , 与 O1 距 离 =2+3=5,与轴距离=4,问题转化为在以 4 2 O1 3 为半径的圆周上,能放几个距离为 6 的 O2 H 3 点? 右图中,由sin∠O2HC=3/4>0.707,即 ∠O2HO3>90°,即此圆上还可再放下 2 个满足要求的点.故选B.

O2 C

H
O3

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 1 1. 集合{x|-1≤log110<-2,x∈N*}的真子集的个数是
x



1 解 由已知,得2<logx10≤1?1≤lgx<2?10≤x<100.故该集合有 90 个元素.其真子集 有 290-1 个. _ 2. 复平面上,非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心,1 为半径的圆上,z1· 2 的实部为零,z1 z π 的辐角主值为6,则 z2=_______. π 3 1 _ π π 解:z1 满足|z-i|=1;argz1=6,得 z1= 2 +2i,z1=cos(-6)+isin(-6).

_ π π 设 z2 的辐角为 θ(0<θ<π),则 z2=2sinθ(cosθ+isinθ).z1· 2=2sinθ[cos(θ-6)+isin(θ-6)],若 z π π 2π 3 3 其实部为 0,则 θ-6=2,于是 θ= 3 .z2=- 2 +2i. 3. 曲线 C 的极坐标方程是 ρ=1+cosθ,点 A 的极坐标是(2,0),曲线 C 在它所在的平面内 绕 A 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______。 解:只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可. 设 P(1+cosθ,θ), 则|AP|2=22+(1+cosθ)2-2· 2(1+cosθ)cosθ=-3cos2θ-2cosθ+5 1 16 16 16 16 =-3(cosθ+3)2+ 3 ≤ 3 . 且显然|AP|2 能取遍[0,3 ]内的一切值, 故所求面积= 3 π. 4. 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起,恰得到一个所有二面角都相等 的六面体,并且该六面体的最短棱的长为 2,则最远的两顶点间的距离是________。 解:该六面体的棱只有两种,设原正三棱锥的底面边长为 2a,侧棱为 b. 取 CD 中点 G,则 AG⊥CD,EG⊥CD,故∠AGE 是二面角 A—CD—E 的平面角.由 BD⊥ AC,作平面 BDF⊥棱 AC 交 AC 于 F,则∠BFD 为二面角 B—AC—D 的平面角. 2a b2-a2 AG=EG= b2-a2,BF=DF= ,AE=2 b 由 cos∠AGE=cos∠BFD,得
2

P
?

O

1

x

2 b2-(3 3a)2=2

4 b2-3a2.
A
b b b

2AG2-AE2 2BF2-BD2 2AG2 = 2BF2 .
F B
2a

4 4(b -32a2) 4a2b2 4 2 2 ∴ = 2 2 2 2 2 ?9b =16a ,?b= a,从而 b=2,2a=3. 3 b -a 4a (b -a ) AE=2.即最远的两个顶点距离为 3. 5. 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的六个面染色,

D
a

G

C E

每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。 则不同的染色方法共有_______ 种。(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的 上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方 案相同。) 解:至少 3 种颜色: 6 种颜色全用:上面固定用某色,下面可有 5 种选择,其余 4 面有(4-1)!=6 种方法,共 计 30 种方法;

用 5 种颜色:上下用同色:6 种方法,选 4 色:C5(4-1)! =30;6×30÷2=90 种方法; . 用 4 种颜色:C6C4=90 种方法. 用 3 种颜色:C6=20 种方法. ∴共有 230 种方法.
3 2 2

4

6. 在直角坐标平面,以(199,0)为圆心,199 为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整 数的点)的个数为________. 解:把圆心平移至原点,不影响问题的结果.故问题即求 x2+y2=1992 的整数解数. 显然 x、y 一奇一偶,设 x=2m,y=2n-1.且 1≤m,n≤99. 则得 4m2=1992-(2n-1)2=(198+2n)(200-2n).m2=(99+n)(100-n)≡(n-1)(-n) (mod 4)
?0,(当n?0,1(mod 4)时) 由于 m 为正整数,m2≡0,1 (mod 4);(n-1)(-n)≡? ?2,(当n?2,3(mod 4)时)

二者矛盾,故只有(0,±199),(±199,0)这 4 解. ∴ 共有 4 个.(199,±199),(0,0),(398,0).


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