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24 平面向量的数量积


24 平面向量的数量积 改编:周海军 一、知识要点 1.掌握两个非零向量夹角的概念和范围; 2.平面向量数量积的定义及运算; 3.平行向量数量积的性质及应用; 4.平面向量数量级的运算律; 5.平面向量数量积的坐标表示. 二、课前预习 1.已知向量 a ? (k ,3) , b ? (1,4) , c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k ? . 2.已知 | a |? 2, | b |? 5, a ? b ? ?3 ,则 | a ? b |? . 3.等腰直角三角形 ?ABC 中, | AB |?| AC |? 2 ,则 AB ? BC ? . 4.平面向量 a ? (1,2) , (m? R ) , 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 则m? c ? ma ? b b ? (4,2) , . 5.设 O 为 ?ABC 内一点, OA? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是 ?ABC 的 心. 6.若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ? 1 2 CB ? CA ,则 MA ? MB ? 6 3 . 7.已知 a ? (2,3) , b ? (?1,?2) , c ? (2,1) ,试求 a ? (b ? c) 和 (a ? b) ? c 的值. 三、典例剖析 例 1. (1)已知 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 . 1 (2)已知平面向量 a, b(a ? 0, a ? b) 满足 | b |? 1 ,且 a 与 b ? a 的夹角为 120 ,则 | a | 的取值范围是 0 . ?x ? y ? 3 ? 0 ? (3)已 知 P ( x, y ) 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 ? 0 , O 为 坐 标 原 点 , A(3,4) , 则 | OP | cos?A OP的 最 大 值 ? x ?1 ? 0 ? 是 . (4)若向量 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,非零向量 a 与 b 的夹角是 . 例 2.已知 a ? (1,2) , b ? (1,1) ,且 a 与 a ? ? b 的夹角为锐角,求实数 ? 的取值范围. 例 3.已知向量 a ? (sin x, ) , b ? (cosx,?1) (1)当向量 a 与向量 b 共线时,求 tan x 的值; (2)求函数 f ( x) ? 2(a ? b) ? b 的最大值,并求函数取得最大值时的 x 的值. 3 2 例 4.已知非零向量 AB 与 AC 满足 ( AB | AB | | AC | ? AC ) ? BC ? 0 且 AB | AB | | AC | ? AC ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 思考:求证:若 AP ? ? ( AB | AB | cos B ? AC | AC | cos C ) , ? ? [0,??) ,则点 P 的轨迹一定经过 ?ABC 的垂心. 四、作业反馈 2 1. | a |? 6 3, | b |? 1, a ? b ? ?9 ,则 a 与 b 的夹角是 . 2.已知下列各式,其中正确的序号是 2 ①| a | ? a ; 2 . 2 2 2 ④ ( a ? b) ? a ? 2a ? b ? b . 2 2

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