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人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案


科目:高二数学选修 2-1 导学案

编制人:张 鹏

审批人:白建林

编制日期:2011 年 12 月 09 日

第三章第 3 课时
学习目标:
1、 2、

空间向量的数量积运算

① (? a) ? b = ② a ?b ③

(数乘的结合律) (交换律) (分配率)

?

掌握空间向量夹角的概念及表示方法; 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。

a ? (b ? c) ?

课前预习案
一、?教材助读,知识归纳: 1、两个向量的夹角: 夹角的形成:角 ?AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作:< a , b >。
? ?
? ?

课堂探究案
一、?例题讲解,合作探究: 探究 1,问题解决 垂直问题 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线 垂直。 (三垂线定理) 如图,已知 PO,PA 分别是平面 ? 的垂线、斜线,AO 是 PA 在平面 ? 内的射影, l ? ? , 且 l ? OA ,求证: l ? PA 。

a

A
b
? <a ,b > ?
? ?

a

?P
?A

O

? ?

b

B

O

A

?

l

夹角的范围:
? ? ?

< a , b >=0 时,a 与 b 的方向 特别地:如果< a , b >= 2、两个向量的数量积
? ? ? ?

?

a 与 b 的方向 ; < a , b >= ? 时,
则称 a 与 b 互相垂直,并记作
? ?

?

?



变式练习 1 如图所示,已知正四面体 O-ABC 的棱长为 a,用向量法证明 AB ? OC。?.


? ?

(1)已知空间两个非零向量 a , b ,则 | a || b | cos? a, b? 叫做 a , b 的数量积 记作 a ? b ,即: a ? b = 。变形式:cos< a , b >=
? ?

?

?



特别地:①零向量与任何向量的数量积为 0,即 0 ? a =0 ② a?a = ③a

探究 2,问题解决长度问题 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且两两 夹角是 60°,求对角线 AC1 的长。
A1 D A D1 B1 C C1

a a cos? a, a? ? | a |2

?

? b ? a ?b ? 0

B

3、空间向量数量积的运算律:
- 1 -

科目:高二数学选修 2-1 导学案

编制人:张 鹏

审批人:白建林

编制日期:2011 年 12 月 09 日

变式练习 2 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=4,AD=3,AA1=5, ? BAD =90 ,
o

D1 A1 D A B B1 C

C1

?BAA 1 = ?DAA 1 =60 ,求 AC
o

1

的长。

1、已知| a |=2,| b |=3,< a , b >=60 ,则 a ? b = | a -2 b |= 2 2、已知| a |= 2 2 ,| b |= , a ? b =- 2 ,则 a , b 所夹的角为 2 3、如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,
o

?

?

?

?

。 。

则 AB1 与 C1B 所成角的大小为多少度?
A1 B1 C1

1
A B C

探究 3,问题解决 夹角问题 已知 a,b 是异面直线,A、B∈a,C、D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且 AB=2,CD=1,求 a、b 所成的角。
A B a

4、线段 AB,BD 在平面 ? 内,BD ? AB,线段 AC ? ? ,且 AB=a,BD=b,AC=c,求 C,D 间的距离。
C

c

D b a B

?
C D b

A

二、?知识再现,归纳总结 1 空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质. 2 两向量数量积的应用: ①利用| a |
? ?
2

a (也就是| a |= a? a ) =a · ,求解有关线段的长度问题.
? ? ?
? ?

?

?

?

? ?

②利用 a ⊥ b ? a ? b =0 判断两直线的垂直问题( a , b 为非零向量). ③利用 cos< a , b >=
? ?

a? b

| a || b |

?

?

,求解有关两直线的夹角问题.

课后练习案
- 2 -


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