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1965年第七届IMO试题(不含答案)


第七届(1965 年) 民主德国 柏林(Berlin,German Democratic Republic)
1. 找出所有的 x(0≤x≤2π)使其满足 2 cos x ? 1 ? sin 2x ? 1 ? sin 2x ? 2 。 (南斯 拉夫) 2. 如下方程组
? a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? 0 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? a23 x3 ? 0 ?a x ? a x ? a x ? 0 ? 31 1 32 2 33 3

其中 x1、x2、x3 未知。系数满足以下条件: a) a11、a22、a33 为正数; b) 其余系数是负数; c) 在每个方程中,系数的和是正数。 证明该方程组只有唯一解 x1=x2=x3=0。 (波兰) 3. 给出四面体 ABCD, 其中 AB 和 CD 长度分别为 a 和 b。 异面直线 AB 和 CD 的 距离为 d,夹角为 ω。四面体 ABCD 被平面 ε 分为两部分,平面 ε 平行于 AB 和 CD。AB 和 CD 到平面 ε 的距离的比为 k。计算出这两部分的体积之比。 (捷克斯 洛伐克) 4. 找出所有满足条件的四个实数 x1、x2、x3、x4,它们中任何三个数的乘积加上 第四个数的和都等于 2。 (苏联) 5. 给出三角形 OAB,其中∠AOB 是锐角。M 是边 AB 上除 O 外的任意一点,从 M 点向 OA 和 OB 作垂线,垂足为 P、Q。设三角形 OPQ 的垂心为 H。当 M 在 下列范围移动时,求 H 的轨迹。 a) 边 AB; b) 三角形 OAB 内部。 (罗马尼亚) 6. 在平面上给出了 n 个点(n≥3) 。每对点都有线段相连。令 d 为这些线段中最 长的线段的长度。 我们定义 d 就是这个点的集合的直径。证明在给出的点的集合 中长度为 d 的线段至多有 n 条。 (波兰)


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