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导数(一)(解析版)


导数
一、导数的概念与运算
?p p ? 1.曲线 y ? x ? cos x 在点 ? , ? 处的切线方程为 ?2 2?

. 2x ? y ?

p ?0 2
.-1

2.若直线 y ? x ? b 是曲线 y ? x ln x 的一条切线,则实数 b ?

3.

已知直线 ax ? by ? 3 ? 0 与 f ( x) ? xe x 在点 P(1,e) 处的切线互相垂直,则

a ? b

.-

1 2e

4.若曲线 C1 : y ? ax3 ? 6 x2 ? 12 x 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的两条切线互相垂直,则实数 a 的值 为 .?

1 3e

5.在平面直角坐标系 xOy 中,记曲线 y ? 2 x ?

m ( x ? R, m ? ?2) 在 x ? 1 处的切线为直线 l .若直 x
.―3 或―4 . 1

线 l 在两坐标轴上的截距之和为 12,则 m 的值为 6.曲线 y ? ?

1 ( x ? 0) 与曲线 y ? ln x 公切线(相同的切线)的条数为 x

7.已知点 P 是函数 f ( x) ? cos x(0 ? x ? . ?

?
3

) 图象上一点,则曲线 y ? f ( x) 在点 P 处的切线斜率的

最小值为

3 2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y ? ln x 在 x ? e ( e 为自然对数的底数)处的切线与直线 ax ? y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值为 . ?e 9.在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 C:y=e 上一点,直线 l:x+2y+c=0 经过点 P,且与曲线 C 在点 P 处的切线垂直,则实数 c 的值为 .-4-ln2 二、利用导数研究函数的性质 10.函数 f ? x ? ?
x

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限的充要条件是 3 2

6 3 ? ?a?? 5 16

2 11.已知函数 f ( x) ? x x ? 3 , x ? [0, m] ,其中 m ? R, 当函数 f ( x ) 的值域为 [0,2] 时,则实数 m 的

取值范围

. ?1, 2?

1

12.设函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) ,对任意的 x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x 2 ,且在 (0,??) 上
f ?( x )

? x .若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围

. (??,1]

13.若函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 x ? a 在区间 [2, 4] 上单调递增,则实数 a 的取值范围是



(??, 2] ? [5, ??)

14.设 f ( x) ? 4 x3 ? mx2 ? (m ? 3) x ? n ( m , n ? R )是 R 上的单调增函数,则 m 的值为

.6

2

15.函数 f ( x) ? a x ? x 2 ( a ? 1 )有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 16.设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ln x ? ax . (1)若 a ? 3 ,求曲线 y ? f ? x ? 在 P ?1, ?3? 处的切线方程; (2)若 f ? x ? 有零点,求实数 a 的取值范围; (3)若 f ? x ? 有两个相异零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e2 . 解:在区间 ? 0, ??? 上, f ?( x) ?

. (1 , e e )

1 1 ? ax ?a ? . x x

(1)当 a ? 3 时, f ? ? x ? ? 1 ? 3 ? ?2 ,则切线方程为 y ? ? ?3? ? ?2 ? x ? 1? ,即 2 x ? y ? 1 ? 0

(2)①若 a ? 0 , f ( x) ? ln x 有唯一零点 x ? 1 . ②若 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 是区间 ? 0, ??? 上的增函数,

Q f (1) ? ?a ? 0 , f (ea ) ? a ? aea ? a(1 ? ea ) ? 0 ,? f (1) ? f (ea ) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 ? 0, ??? 有
唯一零点. ③若 a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ?

1 1 .在区间 (0, ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是增函数; a a

2

在区间 ( , ??) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数; 故在区间 ? 0, ??? 上, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? ln

1 a

1 a

1 ? 1 ? ? ln a ? 1 . a

1? 1 ?1? ? 由 f ? ? ? 0 即 ? ln a ? 1 ? 0 ,解得: a ? .故所求实数 a 的取值范围是 ? ?? , ? . a e? e ? ? ?

(3) 设 x1 ? x2 ? 0, Q f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0, ?ln x1 ? ax1 ? 0,ln x2 ? ax2 ? 0

?ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 ) , ln x1 ? ln x2 ? a( x1 ? x2 )
原不等式

x1 ? x2 ? e2 ? ln x1 ? ln x2 ? 2 ? a( x1 ? x2 ) ? 2 ?

ln x1 ? ln x2 x 2( x1 ? x2 ) 2 ? ? ln 1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2



x1 x 2( x1 ? x2 ) 2(t ? 1) . ? t ,则 t ? 1 ,于是 ln 1 ? ? ln t ? x2 x1 ? x2 t ?1 x2

设函数 g (t ) ? ln t ?

1 4 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? ?0 (t ? 1) ,求导得: g ?(t ) ? ? t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2

故函数 g (t ) 是 ?1, ?? ? 上的增函数,

? g (t ) ? g (1) ? 0 ,即不等式 ln t ?

2(t ? 1) 成立,故所证不等式 x1 ? x2 ? e2 成立. t ?1

17.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? (b ? a) x ( a、 b 是不同时为零的常数),导函数为 f ? ( x) .
3 2

(1)当 a ?

1 时,若存在 x ?[?3, ?1] ,使得 f ? ( x) ? 0 成立,求 b 的取值范围; 3

(2)求证:函数 y ? f ? ( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点; (3)若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x) ? ? t ,在 [?1, t ](t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4

3

解:(1)当 a ?

1 1 1 2 2 2 时, f ? ( x) ? x ? 2bx ? (b ? ) ? ( x ? b) ? b ? b ? ,其对称轴为直线 x ? ?b . 3 3 3

当?

? ? 26 26 ? ?b ≥ ?2, ? ?b ? ?2 解得 b ? ,当 ? ,无解,所以 b 的取值范围为 ( ?? , ) . 15 15 ? ? ? f ? (?3) ? 0, ? f ? (?1) ? 0
1 ,适合题意. 2

⑵ 因为 f ? ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? (b ? a) ;解法 1 当 a ? 0 时, x ? ?

2 当 a ? 0 时, 3x ? 2

b b b x ? ? 1 ? 0 ,令 t ? ,则 3x2 ? 2tx ? t ? 1 ? 0 . a a a 1 2 1 ? 0. 4 1 , 0) 内有零点; 2 1 2

令 h( x) ? 3x2 ? 2tx ? t ?1 ,则 h( ? ) ? ?

当 t ? 1 时, h(0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (?

当 t ≤ 1 时, h(?1) ? 2 ? t ≥1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 ( ?1, ? ) 内有零点.

因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点.

综上可知,函数 y ? f ? ( x) 在 (?1, 0) 内至少有一个零点.

解法 2

1 b ? 2a . f ? (0) ? b ? a , f ? (?1) ? 2a ? b , f ? (? ) ? 3 3

1 1 由 a、 b 于不同时为零,所以 f ? ( ? ) ? f ? (?1) ? 0 , 或 f ?(? ) ? f ?(?1) ? 0 故结论成立. 3 3
(3)因为 f ( x) ? ax ? bx ? (b ? a) x 为奇函数,所以 b ? 0 ,所以 f ( x) ? ax ? ax ,
3 2 3

3 又 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 f ( x) ? x ? x .

因为 f ?( x) ? 3( x ?

3 3 3 3 3 3 ( , ??) 上是增函数,在 [? )( x ? ) ,所以 f ( x) 在 (??, ? )、 , ] 3 3 3 3 3 3

上是减函数.由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1, x ? 0 .

4

当 ?1 ? t ≤ ?

1 1 3 3 3 3 时, f (t ) ≥ ? t ? 0 ,即 t ? t ≥ ? t ? 0 ,解得 ? ; ≤t ≤? 4 4 3 2 3

当?

1 3 3 ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,解得 ? ? t ? 0; 4 3 3

当 t ? 0 时,显然不成立;

当0 ? t ≤

1 1 3 3 3 时, f (t ) ≤ ? t ? 0 即 t ? t ? ? t ? 0 ,解得 0 ? t ≤ ; 4 4 3 3

当t ?

1 3 1 3 2 3 3 3 8 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 或 ? t ? f ( ,故 或t ? . )?? ?t ? 4 3 4 3 9 3 2 9

所以,所求 t 的取值范围是 ?

3 3 8 3 或t ? . ≤ t ? 0 ,或 0 ? t ? 2 2 9

18.已知二次函数 h( x) ? ax ? bx ? c (其中 c ? 3), 其中导函数 y ? h' ( x) 的图象如图,设
2

f ( x) ? 6 ln x ? h( x)
y
(1)求函数 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线斜率;

h' ( x)

1 (2)若函数 f ( x ) 在区间 (1, m ? ) 上是单调函数,求实数 2

O

(4,0) (0,?8)

x

m 的取值范围;
(3)若函数 y ? ? x, x ? (0,6) 的图象总在函数 y ? f ( x) 图 象的上方,求 c 的取值范围. 解:⑴

f ' ( x) ? 2 x ? 8 ? f ( x) ? 6 ln x ? x 2 ? 8x ? c ? f ' ( x) ?

6 ? 2x ? 8 x

f ' (2) ? ?1 ,所以函数 f ( x)在点(3, f (3)) 处的切线斜率为-1.
⑵ f ' ( x) ?

6 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 8 ? ,? x ? 0 x x

5

x

(0,1)

1

(1,3)

3

(3,??)

f ' ( x)

+

0



0

+

f ( x)







? f ( x) 的单调递增区间为(0,1)和 (3,??) ? f ( x) 的单调递减区间为(1,3).

1 ? 1? m ? ? 1 1 5 ? 2 要使函数 f ( x) 在区间 (1, m ? ) 上是单调函数,则 ? ,解得 ? m ? 2 2 2 ?m ? 1 ? 3 ? ? 2
⑶ 由题意, 恒成立,得 恒成立,

2 即 c ? ? x ? 7 x ? 6ln x

恒成立,设 g ( x) ? ?x ? 6ln x ? 7 x, x ? ? 0,6?, 则c ? g( x)min
2

g ' ( x) ? ?2 x ?

6 ? 2 x 2 ? 7 x ? 6 ? (2 x ? 3)(x ? 2) ?7 ? ? x x x
3 2

因为 x ? 0,?当x ? ( ,2)时,? g ' ( x) ? 0, g ( x)为增函数

当 x ? (0, )和(2, ??)时,? g '( x) ? 0, g ( x)为减函数 ? g ( x) 的最小值为 g ( )和g (6) 的较小者.

3 2

3 2

3 9 3 3 33 3 g ( ) ? ? ? 6 ln ? 7 ? ? ? 6 ln , 2 4 2 2 4 2 g (6) ? ?36 ? 6 ln 6 ? 42 ? 6 ? 6 ln 6, ? g ( x) min ? g (6) ? 6 ? 6 ln 6. 3 9 3 9 g ( ) ? g (6) ? ? 6 ln ? 6 ln 6 ? ? 12 ln 2 ? 0, 2 4 2 4
又已知 c ? 3 ,? c ? 6 ? 6 ln 6 . 19.设函数 f ( x) ? x3 ?

b 2 x ? cx 2

(b, c ? R) .

6

(1) b ? 2 , c ? ?1 ,求 y ? f ( x) 的单调增区间; (2) b ? ?6 , g ( x) ? f ( x) ,若 g ( x) ≤ kx 对一切 x ? ?0, 2? 恒成立,求 k 的最小值 h(c) 的表达 式; 解: (1) f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? x( x2 ? x ? 1) ? ( x ?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ) x( x ? )?0 2 2

?

?1 ? 5 ?1 ? 5 ? x?0或 x? 2 2

?1 ? 5 ?1 ? 5 1 , ?1) 与 ( , ??) 为 .所以 ( 2 2 3 ?1 ? 5 ?1 ? 5 1 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? y ? f ( x) 单调增区间; 同理 f ( x) ? 0 ? x ? 或0 ? x ? 2 2 3 1 所以 (0, ) 为 y ? f ( x) 单调增区间 3
f ?( x) ? 3x2 ? 2x ? 1 ? ( x ? 1)(3x ? 1) ? 0 ? x ? ?1 或 x ?

综上 y ? f ( x) 的单调增区间为 (

?1 ? 5 ?1 ? 5 1 , ?1) , (0, ) , ( , ??) -----7 分 2 2 3

(2) g ( x) ≤ kx 即 | x3 ? 3x2 ? cx |≤kx .当 x ? 0 时,上式对一切 x ?[0, 2] 恒成立;

当 x ? (0, 2] 时,即 | x2 ? 3x ? c |≤k 对一切 x ? (0, 2] 恒成立.∴ h(c) ? | x2 ? 3x ? c |max , x ? (0, 2]

9 ①当 c≥ 时, | x2 ? 3x ? c |max 在 x ? 0 时取得,∴ h(c) ? c 4
②当 c ?

9 9 9 时, (ⅰ)若 c ? 0 则 c ? ? c ? 2 ? c ? 0 ,所以 | x2 ? 3x ? c | max ? ? c . 4 4 4 9 9 因为 2 ? c ? ? c ,且 c ? 2 ? c 所以 c ? 2 不会是最大值; 4 4

(ⅱ) 0 ? c ?

9 9 ? ? 9 c (c ? ), c ( ? c ? ), ? ? 9 ? ? 8 8 4 所以 | x 2 ? 3x ? c |max ? max{ c, ? c } ? ? .由①,②,得 h(c) ? ? . 9 9 9 4 ? ? c ( c ≤ 9 ). ? ? c ( c ≤ ). ? ? 8 8 ?4 ?4
2 2 20.设函数 f (x) = x ln x - ax +b 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? ? x ? b .

7

(1)求实数 a 及 x0 的值; (2)求证:对任意实数 b ? (0, ) ,函数 f ( x ) 有且仅有两个零点.

e 2

解: (1) f '( x) ? 2 x ln x ? x ? 2ax . ?

?2 x0 ln x0 ? x0 ? 2ax0 ? ?1,
2 2 2 ?? x0 ln x0 ? ax0 ? x0 ? b ? b.

由(2)得 ln x0 ? a ? 1 ,代入(1)得 x0 ? 1 ,于是 a ? 1 .

21.已知函数 f ( x) ? e x (其中 e 是自然对数的底数) , g ( x) ? x2 ? ax ? 1 , a ? R . (1)记函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,且 a ? 0 ,求 F ( x) 的单调增区间;

8

(2)若对任意 x1 , x2 ? ?0,2? , x1 ? x2 ,均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值 范围. (1)因为 F ? x ? ? f ( x) ? g ( x) ? e x x 2 ? ax ? 1 ,所以 F ? ? x ? ? ex ? ? x ? ? a ? 1?? ? ? x ? 1? ,令 F ? ? x ? ? 0 , 因为 a ? 0 ,得 x ? ?1 或 x ? ? ? a ? 1? ,所以 F ? x ? 的单调增区间为 ? ??, ?a ? 1? 和 ? ?1, ?? ? ; (2)因为对任意 x1 , x2 ? ?0,2? 且 x1 ? x2 ,均有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 不妨设 x1 ? x2 ,根据 f ( x) ? e x 在 ?0,2? 上单调递增, 所以有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 对 x1 ? x2 恒成立, 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对 x1 , x2 ? ?0,2? , x1 ? x2 恒成立,

?

?

? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) 即? 对 x1 , x2 ? ?0,2? , x1 ? x2 恒成立, ? f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 )
所以 f ( x) ? g ( x) 和 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,2? 都是单调递增函数, 当 f ?( x) ? g ?( x) ≥ 0 在 ?0,2? 上恒成立, 得 e x ? ? 2 x ? a ?≥ 0 在 ?0,2? 恒成立,得 a ≥ ? e x ? 2 x 在 ?0,2? 恒成立, 因为 ? e x ? 2 x 在 ?0,2? 上单调减函数,所以 ? e x ? 2 x 在 ?0,2? 上取得最大值 ?1, 解得 a ≥ ?1 . 当 f ?( x) ? g ?( x) ≥ 0 在 ?0,2? 上恒成立, 得 e x ? ? 2 x ? a ?≥ 0 在 ?0,2? 上恒成立,即 a ≤ e x ? 2 x 在 ?0,2? 上恒成立, 因为 e x ? 2 x 在 ?0,ln 2? 上递减,在 ?ln 2,2? 上单调递增,所以 e x ? 2 x 在 ?0,2? 上取得最小值 2 ? 2ln2 , 所以 a ≤ 2 ? 2 ln 2 , 所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,2 ? 2ln 2? .

?

?

?

?

?

?

22.若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点.已知函数

9

f ( x) ? ax3 ? 3x ln x ? a(a ?R).
(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值;

(2)若 f ( x ) 在区间 ( , e) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. (注:e 是自然对数的底 数)

1 e

10

23.已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? mx ? n .
x

(1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) .

①若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值;

②当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围;

11

(2)设函数 r ( x) ?

1 nx ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . ? f ( x) g ( x)

解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e x ? mx ? n)? ? e x ? m ,

所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m ,

又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x ,

将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 .

(2)当 n ? 0 时,可得 h?( x) ? (e x ? mx)? ? e x ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ?
x

1 , e

①当 m ?

1 时, h?( x) ? e x ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 1 1 ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,从而 ? ? m ? . e e e e

所以只需 h( ?1) ?

②当 m ?

1 时,由 h?( x) ? e x ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e

当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增.

所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m ,

令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以

1 1 ? m ? e .综上所述, m ? [? , e) . e e

n x 1 nx 1 1 4x (3)由题意, r ( x) ? . ? ? x? m ? x? n e f ( x) g ( x) e x ? 4 x? m
而 r ( x) ?

1 4x ? ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 ,令 F ( x) ? ex (3x ? 4) ? x ? 4 , x e x?4
x x

则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e (3x ?1) ? 1 ,令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? e (3x ? 2) ,

12

因 x ? 0 ,所以 G?( x) ? 0 , 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 ,

从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . 24.已知函数 f ? x ? ? ex , g ? x ? ? x ? m , m ? R . (1)若曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? g ? x ? 相切,求实数 m 的值; (2)记 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,求 h ? x ? 在 ?0, 1? 上的最大值;
f ? x ? 2?

(3)当 m ? 0 时,试比较 e

与 g ? x ? 的大小.

解: (1)设曲线 f ? x ? ? ex 与 g ? x ? ? x ? m 相切于点 P ? x0 , y0 ? ,由 f ? ? x ? ? e x ,知 e 0 =1 ,
x

解得 x0 ? 0 ;又可求得点 P 为 ? 0, 1? ,所以代入 g ? x ? ? x ? m ,得 m ? ?1 . (2)因为 h ? x ? ? ? x ? m? ex ,所以 h? ? x ? ? ex ? ? x ? m? ex ? ? x ? (m ?1) ? ex , x ?[0,1] . ①当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, h? ? x ? ? 0 ,此时 h ? x ? 在 ?0, 1? 上单调递增, 所以 h ? x ?max ? h ?1? ? ?1 ? m? e ; ②当 0 ? m ? 1 ? 1 即 1 ? m ? 2 时,当 x ? ? 0,m ?1? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减, 当 x ? ? m ?1,1? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增, h ? 0? ? ?m , h ?1? ? ?1 ? m? e . (i)当 ?m ? ?1 ? m? e ,即

e ? m ? 2 时, h ? x ?max ? h ? 0? ? ?m ; e ?1 e 时, h ? x ?max ? h ?1? ? ?1 ? m? e ; e ?1

(ii) 当 ?m ? ?1 ? m? e ,即 1 ? m ?

③当 m ? 1 ? 1 , 即 m ? 2 时,h? ? x ? ? 0 , 此时 h ? x ? 在 ?0, 所以 h ? x ?min ? h ? 0? ? ?m . 1? 上单调递减,

13

综上,当 m ?

e e 时, h ? x ?max ? ?1 ? m? e ;当 m ? 时, h ? x ?max ? ?m . e ?1 e ?1
f ? x ? 2?

(3)当 m ? 0 时, e

=ee , g ? x ? ? x ,
x?2

①当 x ? 0 时,显然 e

f ? x ?2?

? g ? x? ;

x?2 f ? x ? 2? ②当 x ? 0 时, ln e =lnee ? ex?2 , ln g ? x ? ? ln x ,

记函数 ? ? x ? =e 则??? x? =

x?2

? ln x ?

1 ? e x ? ln x , e2

1 1 1 ? e x ? ? e x?2 ? , 可知 ?? ? x ? 在 ? 0,+?? 上单调递增, 又由 ? ? ?1? ? 0 , ?? ? 2? ? 0 知, 2 e x x
0

?? ? x ? 在 ? 0,+?? 上有唯一实根 x0 ,且1 ? x0 ? 2 ,则 ? ? ? x0 ? =e x ?2 ?

1 1 , ? 0 ,即 e x0 ? 2 ? ( ? ) x0 x0

当 x ? ? 0, x0 ? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递减;当 x ? ? x0, +?? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递增,

所以 ? ? x ? ? ? ? x0 ? =e 0

x ?2

? ln x0 , 结合( ? )式 e x0 ?2 ?

1 ,知 x0 ? 2 ? ? ln x0 , x0
2

x 2 ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? 1? 1 ? x0 ? 2= 0 ? ? 0 ,则 ? ? x ? =ex?2 ? ln x ? 0 , 所以 ? ? x ? ? ? ? x0 ? = x0 x0 x0
即e
x ?2

? ln x ,所以 ee

x?2

? x .综上, e f ? x ?2? ? g ? x ? .
f ? x ? 2?

(说明:若学生找出两个函数 y ? e

与 y ? g ? x ? 图象的一条分隔线,如 y ? x ? 1 ,然后去证

e f ? x?2? ? x ?1 与 x ?1 ? g ? x ? ,且取等号的条件不一致,同样给分)
25.已知函数 f ? x ? ? 1 ? ln x ?

k ? x ? 2? x

,其中 k 为常数.

(1)若 k ? 0 ,求曲线 y ? f ? x ? 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 k ? 5 ,求证: f ? x ? 有且仅有两个零点;

14

(3)若 k 为整数,且当 x ? 2 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求 k 的最大值. (参考数据 ln8=2.08,ln9=2.20,ln10=2.30) 1 解: (1)当 k=0 时,f(x)=1+lnx.因为 f ?(x)= ,从而 f ?(1)=1.又 f (1)=1, x 所以曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程 y-1=x-1,即 x-y=0. 10 x-10 (2)当 k=5 时,f(x)=lnx+ -4.因为 f ?(x)= 2 ,从而 x x 当 x∈(0,10),f ′(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(10,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=10 时,f(x)有极小值. 因 f(10)=ln10-3<0,f(1)=6>0,所以 f(x)在(1,10)之间有一个零点. 10 4 4 因为 f(e )=4+ 4 -4>0,所以 f(x)在(10,e )之间有一个零点. e 从而 f(x)有两个不同的零点. k(x-2) x+xlnx (3)方法一:由题意知,1+lnx- >0 对 x∈(2,+∞)恒成立,即 k< 对 x∈(2,+ x x -2 x+xlnx x-2lnx-4 ∞)恒成立.令 h(x)= ,则 h?(x)= . 2 x- 2 (x-2) x-2 设 v(x)=x-2lnx-4,则 v?(x)= .当 x∈(2,+∞)时,v?(x)>0,所以 v(x)在(2,+∞)为增 x 函数.因为 v(8)=8-2ln8-4=4-2ln8<0,v(9)=5-2ln9>0, 所以存在 x0∈(8,9),v(x0)=0,即 x0-2lnx0-4=0. 当 x∈(2,x0)时,h?(x)<0,h(x)单调递减,当 x∈(x0,+∞)时,h?(x)>0,h(x)单调递增. x0+x0lnx0 x0-4 x0 所以当 x=x0 时,h(x)的最小值 h(x0)= .因为 lnx0= ,所以 h(x0)= ∈(4,4.5). x0-2 2 2 故所求的整数 k 的最大值为 4. 方法二:由题意知,1+lnx- k(x-2) >0 对 x∈(2,+∞)恒成立. x

k(x-2) x-2k f(x)=1+lnx- ,f ?(x)= 2 . ①当 2k≤2,即 k≤1 时,f?(x)>0 对 x∈(2,+∞)恒成 x x 立,所以 f(x)在(2,+∞)上单调递增.而 f(2)=1+ln2>0 成立,所以满足要求.

15

②当 2k>2,即 k>1 时,当 x∈(2,2k)时,f ′(x)<0, f(x)单调递减,当 x∈(2k,+∞),f ′ (x)>0,f(x)单调递增.所以当 x=2k 时,f(x)有最小值 f(2k)=2+ln2k-k. 1-k 从而 f(x)>0 在 x∈(2, +∞)恒成立, 等价于 2+ln2k-k>0. 令 g(k)=2+ln2k-k, 则 g?(k)= k <0,从而 g(k) 在(1,+∞)为减函数.因为 g(4)=ln8-2>0,g(5)=ln10-3<0 , 所以使 2+ln2k-k<0 成立的最大正整数 k=4.综合①②,知所求的整数 k 的最大值为 4. 三、导数在实际生活中的应用 25.如图,有一个长方形地块 ABCD ,边 AB 为 2 km , AD 为 4 km .地块的一角是湿地(图中阴影 部分) ,其边缘线 AC 是以直线 AD 为对称轴,以 A 为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘 线 AC 上一点 P 的直线型隔离带 EF , E , F 分别在边 AB , BC 上(隔离带不能穿越湿地,且占地 面积忽略不计) .设点 P 到边 AD 的距离为 t (单位: km ) ,△ BEF 的面积为 S (单位: km 2 ) . (1)求 S 关于 t 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)是否存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km 2 ?并说明理由. (1)如图,以 A 为坐标原点 O , AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系, 则 C 点坐标为 (2, 4) . 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , A 把 (2, 4) 代入,得 4 = a ? 2 ,解得 a = 1 ,所以抛物线的方程为 y = x .
2

D

C F

P

E

B

2

因为 y ?= 2 x , 所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 . 令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 , 得 F (2,4t - t 2 ) , 所以 S ?

t 2

1 t 1 (2 ? )(4t ? t 2 ) , 所以 S ? (t 3 ? 8t 2 ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] . 2 2 4

(2) S ? ?

1 2 3 4 4 (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) , 由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ? , 3 4 4 3 4 3 4 3

所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , 2] 上是减函数,

所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ?

4 3

64 64 17 ? 3? ? 3, .又因为 27 27 27

所以不存在点 P ,使隔离出的△ BEF 面积 S 超过 3 km2 . 26.如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图.已知 AB 为直径,且 AB ? 2 km, O 为圆心, C 为圆 周上靠近 A 的一点, D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD ∥ AB .现在准备从 A 经过 C 到 D 建造

AC ,C 到 D 是线段 CD .设 ?AOC ? x (rad) ,观光路线总长为 一条观光路线,其中 A 到 C 是圆弧 ?

16

y (km) .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)求观光路线总长的最大值. (1)由题意知, ? AC ? x ?1 ? x ,
C

D B

CD ? 2 cos x ,

A

O

因为 C 为圆周上靠近 A 的一点, D 为圆周上靠近 B 的一点,且 CD // AB ,

所以 0 ? x ?

? ? ?? 所以 y ? x ? 2cos x , x ? ? 0, ? (2)记 f ? x ? ? x ? 2cos x ,则 f ?( x) ? 1 ? 2sin x , 2 ? 2? ? , 6
x 列表

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

(0, )

? 6

? 6
0

(

? ? , ) 6 2

f ?( x )
f (x) 所以函数 f ? x ? 在 x ?





递增

极大值

递减

π ? ? 处取得极大值,这个极大值就是最大值, 即 f ( ) ? ? 3 , 6 6 6 ? ? 3 千米. 6

答:观光路线总长的最大值为

27.右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是一个矩形 ABCD,上部是圆弧 AB,该圆弧所在圆的圆 心为 O.为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗 EFGH(其中 E,F 在圆弧 AB 上, G,H 在弦 AB 上).过 O 作 OP?AB,交 AB 于 M,交 EF 于 N,交圆弧 AB 于 P.已知 OP=10, 2 MP=6.5(单位:m) ,记通风窗 EFGH 的面积为 S(单位:m ) . P (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠POF=θ (rad),将 S 表示成 θ 的函数; (ii)设 MN=x (m),将 S 表示成 x 的函数; (2)试问通风窗的高度 MN 为多少时,通风窗 EFGH 的面积 S 最大?
D (第 17 题图) C A E H M O N F G B

解: (1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故 OM=3.5.

17

(i)在 Rt△ONF 中,NF=OFsinθ =10sinθ ,ON=OFcosθ =10cosθ . 在矩形 EFGH 中,EF=2MF=20sinθ ,FG=ON-OM=10cosθ -3.5, 故 S=EF×FG=20sinθ (10cosθ -3.5)=10sinθ (20cosθ -7). 7 即所求函数关系是 S=10sinθ (20cosθ -7),0<θ <θ 0,其中 cosθ 0= . 20 (ii)因为 MN=x,OM=3.5,所以 ON=x+3.5. 在 Rt△ONF 中,NF= OF -ON = 100-(x+3.5) =
2 2 2 2

351 2 -7x-x . 4

在矩形 EFGH 中,EF=2NF= 351-28x-4x ,FG=MN=x, 故 S=EF×FG=x 351-28x-4x . 即所求函数关系是 S=x 351-28x-4x ,0<x<6.5. (2)方法一:选择(i)中的函数模型: 令 f(θ )=sinθ (20cosθ -7), 则 f ′(θ )=cosθ (20cosθ -7)+sinθ (-20sinθ )=40cos θ -7cosθ -20.………… 10 分 4 5 2 由 f ′(θ )=40cos θ -7cosθ -20=0,解得 cosθ = ,或 cosθ =- . 5 8 4 4 因为 0<θ <θ 0,所以 cosθ >cosθ 0,所以 cosθ = .设 cosα = ,且 α 为锐角, 5 5 则当 θ ∈(0,α )时,f ′(θ )>0 ,f(θ )是增函数;当 θ ∈(α ,θ 0)时,f ′(θ )<0 ,f(θ ) 4 是减函数,所以当 θ =α ,即 cosθ = 时,f(θ )取到最大值,此时 S 有最大值. 5 即 MN=10cosθ -3.5=4.5m 时,通风窗的面积最大. 方法二:选择(ii)中的函数模型:因为 S= x (351-28x-4x ) ,令 f(x)=x (351-28x-4x ), 则 f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). 9 9 13 因为当 0<x< 时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当 <x< 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减, 2 2 2 9 所以当 x= 时,f(x)取到最大值,此时 S 有最大值.即 MN=x=4.5m 时,通风窗的面积最大. 2 28.如图, 在 P 地正西方向 8 km 的 A 处和正东方向 1 km 的 B 处各有一条正北方向的公路 AC 和 BD ,
2 2 2 2 2 2 2

18

现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F .为缓解交通压力,决定从 P 地分别向 AC 和

? BD 修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF .设 ?EPA ? ? (0 ? ? ? ) . 2
(1)为减少对周边区域的影响,试确定 E , F 的位置,使 ?PAE 与 ?PFB 的面积之和最小; (2)为节省建设成本,试确定 E , F 的位置,使 PE ? PF 的值最小. (1)在 Rt△PAE 中,由题意可知 ?APE ? ? ,AP=8,则 AE ? 8 tan ? . E C 北 东 D

1 所以 S? PAE ? PA ? AE ? 32 tan ? .同理在 Rt△PBF 中, ?PFB ? ? , 2
PB=1,则 BF ?

F

1 1 1 ,所以 S? PBF ? PB ? BF ? .故△PAE 与 tan ? 2 2 tan ?

?
A P B

O 1 1 1 ≥ 2 32 tan ? ? △PFB 的面积之和为 32 tan ? ? =8,当且仅当 32 tan ? ? ,即 2 tan ? 2 tan ? 2 tan ? 1 tan ? ? 时取等号,故当 AE=1km,BF=8km 时,△PAE 与△PFB 的面积之和最小. 8 (2)在 Rt△PAE 中,由题意可知 ?APE ? ? ,则 PE ?

8 . cos ?

同理在 Rt△PBF 中, ?PEB ? ? ,则 PF ?

1 . sin ?

令 f (? ) ? PE ? PF ?

8 1 ? 8sin ? cos? 8sin3 ? ? cos3 ? , 0 ? ? ? ,则 f ?(? ) ? ,令 ? ? ? cos? sin ? 2 cos2 ? sin2 ? sin2 ? cos2 ? 1 ? 1 f ?(? ) ? 0 ,得 tan ? ? ,记 tan ?0 ? , 0 ? ?0 ? , 2 2 2

当 ? ? (0, ?0 ) 时, f ?(? ) ? 0 , f (? ) 单调递减;当 ? ? (?0 , ) 时, f ?(? ) ? 0 , f (? ) 单调递增. 2 所以 tan ? ?

?

1 BP 1 时, f (? ) 取得最小值,此时 AE ? AP ? tan ? ? 8 ? ? 4 , BF ? ?2. 2 tan ? 2

所以当 AE 为 4km,且 BF 为 2km 时,PE+PF 的值最小. 29.如图, 摩天轮的半径 OA 为 50 m , 它的最低点 A 距地面的高度忽略不计. 地面上有一长度为 240 m 的景观带 MN ,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM =60 m .点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转 B 动到最高点 B 处,记 ?AOP ? ? , ? ? (0, ? ) . P (1)当 ? ?

2? 时,求点 P 距地面的高度 PQ ; 3

O ? A Q M N

(2)试确定 ? 的值,使得 ?MPN 取得最大值.

19

解: (1)由题意,得 PQ=50-50cos? .从而,当? = 即点 P 距地面的高度为 75m.

2? 2? 时,PQ=50-50cos =75. 3 3

(2) (方法一)由题意,得 AQ=50sin? ,从而 MQ=60-50sin? ,NQ=300-50sin? . NQ 6-sin? MQ 6-5sin? 又 PQ=50-50cos? ,所以 tan?NPQ= = ,tan?MPQ= = . PQ 1-cos? PQ 5-5cos? 6-sin? 6-5sin? - 1 - cos ? 5-5cos? tan?NPQ-tan?MPQ 从而 tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ)= = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 6-sin? 6-5sin? 1+ × 1-cos? 5-5cos? 12(1-cos?) 12(1-cos?) = .令 g(? )= ,? ∈(0,π ), 23-18sin?-5cos? 23-18sin?-5cos? 12×18(sin?+cos?-1) 则 g?(?)= , ? ∈(0, π ). 由 g?(?)=0, 得 sin? +cos? -1=0, 解得? = 2 (23-18sin?-5cos?) ? ? ? .当? ∈(0, )时,g?(? )>0,g(? )为增函数;当? ∈( ,?)时,g?(? )<0,g(? )为减函数, 2 2 2 所以,当? = ? ? ? 时,g(? )有极大值,也为最大值.因为 0<?MPQ<?NPQ< ,所以 0<?MPN< , 2 2 2 ? 时,?MPN 取得最大值. 2

从而当 g(? )=tan?MPN 取得最大值时,?MPN 取得最大值.即当? = (方法二)以点 A 为坐标原点,AM 为 x 轴建立平面直角坐标系,

则圆 O 的方程为 x +(y-50) =50 ,即 x +y -100y=0,点 M(60,0),N(300,0). 设点 P 的坐标为 (x0,y0),所以 Q (x0,0),且 x0 +y0 -100y0=0. NQ 300-x0 MQ 60-x0 从而 tan?NPQ= = ,tan?MPQ= = .从而 tan?MPN=tan(?NPQ-?MPQ) PQ y0 PQ y0 300-x0 60-x0 - y y0 0 tan?NPQ-tan?MPQ 24y0 = = = . 1+tan?NPQ?tan?MPQ 300-x0 60-x0 10y0-36x0+1800 1+ × y0 y0 12(1-cos?) 由题意知,x0=50sin? ,y0=50-50cos? ,所以 tan?MPN== . (下同方法一) 23-18sin?-5cos? 30.某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB ,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩 A 、 B 造价总共为 100 万元,当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中 64 ? x ? 100 ) ,中间每个桥墩的平均
2 2

2

2

2

2

2

20

造价为

80 x x x 万元,桥面每 1 米长的平均造价为 (2 ? ) 万元. 3 640

(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f ( x ) ; (2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩 A 、 B 除外)应建多少个桥墩? 解: (1)由桥的总长为 640 米,相邻两个桥墩的距离为 x 米,知中间共有 (

640 ? 1) 个桥墩, x

于是桥的总造价 f ( x) ? 640(2 ?

x x 80 640 )? x( ? 1) ? 100 , 640 3 x

即 f ( x) ? x 2 ?

3

3 640 ? 80 ? 1 80 1 51200 ? 1 80 1 x 2 ? x 2 ? 1380 =x 2 ? x 2 ? x 2 ? 1380 ( 64 ? x ? 100 ) 3 3 3 3

(表达式写成 f ( x)=x x ?

51200 80 ? x ? 1380 同样给分) 3 3 x

(2) 由 (1) 可求 f ?( x) ?

3 1 640 ? 40 ? 3 40 ? 1 1 ?3 ? x2 ? x 2? x 2, f ( x ) ? x 2 (9x 2 ? 80x ? 640 ? 80) , 整理得 2 3 3 6

640 (舍) ,又当 x ? (64,80) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (80,100) 9 640 ? 1=7 时, f ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 80 ,桥的总造价最低,此时桥墩数为 80
由 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 80 , x2 ? ? 29.一条宽为 1km 的两平行河岸有村庄 A 和供电站 C , 村庄 B 与 A, C 的直线距离都是 2km ,BC 与 河岸垂直,垂足为 D. 现要修建电缆,从供电站 C 向村庄 A, B 供电.修建地下电缆、 水下电缆的费 用分别是 2 万元 / km 、 4 万元 / km . (1) 如图①,已知村庄 A 与 B 原来铺设有电缆 AB ,现先从 C 处修建最短水下电缆到达对岸后,再 修建地下电缆接入原电缆供电,试求该方案总施工费用的最小值; (2) 如图②, 点 E 在线段 AD 上, 且铺设电缆的线路为 CE, EA, EB .若 ?DCE ? ? ,(0 ? ? ? 试用 ? 表示出总施工费用 y (万元)的解析式,并求 y 的最小值.

?
3

),

21

B A E

B

A

D

D

C C 图② 图① 解: (1)由已知可得 △ ABC 为等边三角形.因为 CD ? AD ,所以水下电缆的最短线路为 CD .

过 D 作 DM ? AB 于 M ,可知地下电缆的最短线路为 DM . 又 CD ? 1, DM ?

3 , 2

故该方案的总费用为 1? 4 ?

3 ? 2 ? 4 ? 3 (万元) 2

(2)因为 ?DCE ? ? ? 0 ? ? ?

? ?

??

1 ? , 所以 CE ? EB ? cos ? , ED ? tan ? , AE ? 3 ? tan ? . 3? 3 ? tan ? ? 2 ? 2 ?

则y?

1 1 ?4? ?2? cos ? cos ?

?

?

3 ? sin ? ?2 3, cos ?

3 ? sin ? ,则 令 g ?? ? ? cos ?

? cos 2 ? ? ? 3 ? sin ? ?? ? sin ? ? 3sin ? ? 1 , g ? ?? ? ? ? cos2 ? cos 2 ?
1 ? 3 ,记 sin ? 0 ? , ? 0 ? (0, ), 3 3 2

因为 0 ? ? ?

?
3

,所以 0 ? sin ? ?

当 0 ? sin ? ?

1 1 3 ? ,即 0 ? ? ? ?0 时, g ? ?? ? ? 0, 当 ? sin ? ? ,即 ?0 ? ? ? 时, g? ?? ? ? 0 , 3 3 3 2

所以 g ?? ?min

1 3 ? 2 2 ,从而 y ? 4 2 ? 2 3 , 此时 ED ? tan ? ? 2 , ? g (?0 ) ? 0 4 2 2 3 3?
2 . 4

因此施工总费用的最小值为( 4 2 ? 2 3 )万元,其中 ED ?

30.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为 108 ? ml ,设圆柱的高度为 h cm ,底面半径为 r cm ,且 h ? 4r ,假设该易拉罐的制造费用仅与前表

22

面积有关.已知易拉罐的侧面制造费为 m 元/ cm 2 ,易拉罐上下底面的制造费用为 n 元/ cm 2 ( m, n 为 常数). (1)写出易拉罐的制造费用 y (元)关于 r ( cm )的函数表达式,请求求定义域; (2)求易拉罐制造费最低时 r ( cm )的值.
h

V 108 解: (1)由题意,体积 V=?r h,得 h= 2= 2 . ?r r
2

2r
y=2?rh×m+2?r ×n=2? (
2

108m 2 +nr ). r

108 因为 h≥4r,即 2 ≥4r,所以 r≤3,即所求函数定义域为(0,3]. r

108m 108m 2 (2)令 f(r)= +nr ,则 f'(r)=- 2 +2nr.由 f'(r)=0,解得 r=3 r r

3

2m . n

3

①若

2m <1,当 n>2m 时,3 n

3

2m ∈(0,3],由 n

R

3

(0,3

2m ) n

3

3

2m n

3

(3

2m ,3] n

f'(r) f(r)

- 减

0

+ 增

3

得,当 r=3

2m 时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低. n

3

②若

2m ≥1,即 n≤2m 时,由 f'(r)≤0 知 f(r)在(0,3]上单调递减, n

当 r=3 时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.

23


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