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2016-2017学年高中数学 第四章 圆与方程 27 直线与圆的位置关系课时作业


课时作业 27

直线与圆的位置关系

——基础巩固类—— 1.直线 4x-3y-2=0 与圆 x +y -2x+4y-11=0 的位置关系是( A.相离 C.相交过圆心 B.相切 D.相交不过圆心 |4×1-3×?-2?-2| 8 = ,圆的 2 2 5 4 +?-3?
2 2

)

析:圆心(1,-2)到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= 半径 r=4.所以 d<r. 又圆心(1,-2)不在直线 4x-3y-2=0 上,故选 D. 答案:D

2.圆 x +y =4 上的点到直线 x-y+2=0 的距离的最大值为( A.2+ 2 C. 2 B.2- 2 D.0

2

2

)

解析:圆心(0,0)到直线 x-y+2=0 的距离 d= 2,∴所求最大距离为 2+ 2. 答案:A 3.已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值 为( ) A.-2 C.-6
2 2 2 2

B.-4 D.-8

解析:由圆的方程 x +y +2x-2y+a=0 可得, 圆心为(-1,1),半径 r= 2-a. 圆心到直线 x+y+2=0 的距离为 |-1+1+2| d= = 2. 2 4 2 2 2 由 r =d +( ) 得 2-a=2+4,所以 a=-4. 2 答案:B 4.经过点 P(2,-1)且被圆 C:x +y -6x-2y-15=0 所截得的弦最短时的直线 l 方程 为( ) A.2x-y-6=0 C.x+2y=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y=0
2 2

1

解析:圆的方程为(x-3) +(y-1) =25.圆心 C(3,1). 所以点 P 在圆内.当 CP⊥l 时,弦长最短. 1+1 1 又 kCP= =2.∴kl=- . 3-2 2 1 ∴直线 l 的方程为 y+1=- (x-2), 2 即 x+2y=0. 答案:C 5.圆 C:(x+1) +(y-2) =8 到直线 l:x+y+1=0 的距离为 2的点的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4
2 2

2

2

)

|-1+2+1| 解析:圆的半径为 2 2,圆心 C(-1,2)到直线 l 的距离为 d= = 2,如图 2 所示,圆上有 3 个点到直线 l 的距离等于 2. 答案:C 6.直线 x-2y+5=0 与圆 x +y =8 相交于 A、B 两点,则|AB|=________. 解析:圆心到直线的距离为 d= 所以|AB|=2 8-5=2 3. 答案:2 3 7.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x-4y-4=0 相交于点 A,B 两点, 且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 解析:圆的标准方程为(x+1) +(y-2) =9,圆心 C(-1,2),半径 r=3.∵AC⊥BC, ∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d= =3,解得 a=0 或 a=6. 2 3 2 |-1-2+a| |a-3| 3 2 ×3= ,即 d= = = ,即|a-3| 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2

5 5

= 5,

2

答案:0 或 6 8.实数 a(a>0)取什么值时,直线 x+y-2a+1=0 与圆(x-a) +(y+1) =a. (1)相离;(2)相切;(3)相交. 解:圆(x-a) +(y+1) =a 的圆心为(a,-1),半径为 a,则圆心(a,-1)到直线 x +y-2a+1=0 的距离为 |a-1-2a+1| a d= = , 2 2 a (1)当 > a,即 a>2 时,直线和圆相离; 2 a (2)当 = a,即 a=2 时,直线和圆相切; 2 a (3)当 < a,即 0<a<2 时,直线和圆相交. 2 9.(1)圆 C 与直线 2x+y-5=0 切于点(2,1),且与直线 2x+y+15=0 也相切,求圆 C 的方程; (2)已知圆 C 和 y 轴相切, 圆心 C 在直线 x-3y=0 上, 且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7, 求圆 C 的方程. 解:(1)设圆 C 的方程为(x-a) +(y-b) =r . ∵两切线 2x+y-5=0 与 2x+y+15=0 平行, |15-?-5?| ∴2r= =4 5,∴r=2 5, 2 2 2 +1 |2a+b+15| ∴ =r=2 5,即|2a+b+15|=10,① 2 2 +1 |2a+b-5| =r=2 5,即|2a+b-5|=10,② 2 2 +1 又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直, ∴ b-1 1 = ,③ a-2 2
2 2 2 2 2 2 2

?a=-2, ? 由①②③解得? ?b=-1. ?

∴所求圆 C 的方程为(x+2) +(y+1) =20. (2)设圆心坐标为(3m,m), ∵圆 C 和 y 轴相切,得圆的半径为 3|m|, |2m| 2 ∴圆心到直线 y=x 的距离为 = 2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得 9m =7+ 2 2m ,∴m=±1,
3
2

2

2

∴所求圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9 或(x+3) +(y+1) =9. ——能力提升类—— 10.过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A.2 6 C.4 6 B.8 D.10 )

2

2

2

2

D+3E+F+10=0 ? ? 解析: 设过 A, B, C 三点的圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, 则?4D+2E+F+20=0 ? ?D-7E+F+50=0
2 2 2 2 2



解得 D=-2,E=4,F=-20,所求圆的方程为 x +y -2x+4y-20=0,令 x=0,得 y +4y - 20 = 0 ,设 M(0 , y1) , N(0 , y2) ,则 y1 + y2 =- 4 , y1y2 =- 20 ,所以 |MN| = |y1 - y2| = ?y1+y2? -4y1y2=4 6.故选 C. 答案:C 11.已知直线 l:y=x+b,曲线 C:y= 1-x ,它们有两个公共点,则 b 的取值范围 是________. 解析:
2 2

方程 y=x+b 表示斜率为 1 的平行直线系;方程 y= 1-x 表示单位圆位于 x 轴及其上 方的半圆,如图所示. 当 l 通过 A(-1,0),B(0,1)时,l 与 C 有两交点,此时 b=1,记为 l1; 当 l 与半圆相切时,此时 b= 2,切线记为 l2; 当 l 夹在 l1 与 l2 之间时,l 和 C 有两个不同的公共点. 因此 1≤b< 2. 答案:[1, 2) 12.在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 解析:因为直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,
4

2

半径最大,此时半径 r= 2,故所求圆的标准方程为(x-1) +y =2. 答案:(x-1) +y =2 13.已知曲线 C:x +y -4ax+2ay-20+20a=0. (1)证明不论 a 取何实数,曲线 C 必过定点; (2)当 a≠2 时,证明曲线 C 是一个圆,且圆心在一条直线上; (3)若曲线 C 与 x 轴相切,求 a 的值. 解:(1)证明:曲线 C 的方程可变形为(x +y -20)+(-4x+2y+20)a=0.
?x +y -20=0, ? 由? ? ?-4x+2y+20=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

?x=4, ? 解得? ? ?y=-2.

点(4,-2)满足 C 的方程,故曲线 C 过定点(4,-2). (2)证明:配方得(x-2a) +(y+a) =5(a-2) , ∵当 a≠2 时,5(a-2) >0, ∴C 的方程表示圆心是(2a,-a),半径是 5|a-2|的圆.
? ?x=2a, 设圆心坐标为(x,y),则有? ?y=-a, ?
2 2 2 2

1 消去 a 得 y=- x, 2 1 故圆心必在直线 y=- x 上. 2 5± 5 (3)由题意知 5|a-2|=|a|,解得 a= . 2

5


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